轴承和联轴器特性对进给驱动系统稳定性的影响

《CIRP Annals》：Influence of bearing and coupling characteristics on stability of a feed drive system

　　佐藤龙太
日本名古屋大学研究生院工程系，名古屋

**摘要**
在机床中，进给驱动通常由球 screw 驱动。尽管需要更高的控制器反馈增益，但这些增益会由于机构特性而破坏系统稳定性。本研究通过实验和仿真分析了支撑轴承和联轴器的刚度与阻尼对进给驱动系统稳定性的影响。研究发现，在应用较高增益时，通过调整这些参数可以改变系统的振荡振动模式。此外，基于极点配置分析，提出了一种新的“稳定性图”，以显示参数的合适范围。

**1. 引言**
进给驱动系统在数控机床中生成工具和工件之间的相对位置[1]。控制系统对位置指令的跟踪性能以及对外部干扰的抑制能力直接影响加工零件的质量和生产效率。因此，进给驱动系统需要更高的控制带宽和鲁棒性。根据问卷调查[2]，由于球 screw 对干扰的鲁棒性和成本效益，它是数控机床中最常用的进给驱动方式。

为了提高系统的动态性能，必须合理设计并调整其控制器。Zirn 等人[3] 提出了一种考虑输入饱和度的控制器调优策略。Altintas[4]、Erkorkmaz[5,6] 和 Verl[7] 将滑模控制概念应用于进给驱动。Sun 等人[8] 提出了一种使用干扰观测器的新级联控制原理。Verl[9] 和 Sun[10] 提出了利用额外反馈回路的半主动阻尼策略。与之相反，Kakino 等人[11] 强调将机械系统、电气系统和控制系统作为一个整体进行设计的重要性，这被称为“整体调优”概念。此外，已有研究证实机械设计因素会影响进给驱动系统的特性[12]。然而，传统研究主要集中在现有进给驱动机构的控制器设计上。尽管 Shirvani 等人[13] 关注了不同类型的机械振动模式，并为现有机构提出了主动阻尼系统，但他们的研究仍然停留在这一层面。

因此，本研究利用极点配置分析了机械部件特性对进给驱动系统稳定性的影响。极点配置方法[14] 通常用于控制器调优[15, [16], [17]]。但在本研究中，由于支撑轴承和联轴器的刚度与阻尼的影响，极点配置会发生变化。此外，提出了一种新的“稳定性图”，以表示各部件的合适刚度和阻尼范围。

**2. 球 screw 进给驱动系统及模型**
图 1 展示了本研究中研究的球 screw 进给驱动机构。图 1(a) 为实验装置，图 1(b) 为结构配置。该系统由交流伺服电机（Yaskawa SGMGV-05A，450 W）驱动。驱动扭矩通过联轴器传递给球 screw 轴，角接触轴承支撑轴的轴向位置。球 screw 的导程为 20 mm，直线球导轨负责引导工作台的平移运动。包括工作台在内的运动部件质量约为 20 kg，行程为 300 mm。系统由配备 DSP 板（DS1104，dSPACE）的 PC 控制，控制频率设定为 4 kHz。

**3. 位置和速度控制器**
进给驱动系统通常使用 P 和 PI 控制器作为位置和速度控制器[2]。此外，已有研究指出位置控制系统的伺服带宽受到速度控制系统带宽的限制[18]。因此，提高速度控制系统的带宽对于提升整体动态性能至关重要。本研究因此分析了速度控制系统的稳定性。图 2 展示了速度控制系统的框图。伺服驱动器以扭矩控制模式工作，控制器实现于 DSP 板上。扭矩指令信号通过 DA 转换器以模拟信号形式发送给驱动器，电机旋转编码器测得的电机转速数据从驱动器传输到 DSP 板。速度根据电机的转速计算得出。图中 Kvp 和 Kvi 分别表示速度控制器的比例增益和积分增益，Tf 表示驱动器中实现的扭矩指令滤波器的时间常数（设为 0 s），ωn 表示驱动器电流控制的带宽（通过电机频率响应测试确定为 1200 rad/s）[19]。

**4. 轴承和联轴器特性对系统稳定性的影响**
为了分析轴承和联轴器特性对系统稳定性的影响，建立了如图 3 所示的模型。该模型有四个自由度（DOF）：电机转速 θm [rad]、球 screw 轴转速 θs [rad]、球 screw 轴轴向位移 xs [m] 以及工作台轴向位移 xt [m]。Tm 表示电机扭矩 [Nm]，l 表示球 screw 的导程（0.02 m）。模型由方程 (1) 表示：
\[
Jmc\theta^{**2}m + cm\theta^{*}m + c\theta(\theta^{*}m - \theta^{*}s) + (KcKsKc + Ks)(\thetam - \thetas) + TmJsc\theta^{**2}s + cs\theta^{*}s + c\theta(\theta^{*}s - \theta^{*}m) + l^{2}\pi cn\{(l^{2}\pi\theta^{*}s + x^{*}s) - x^{*}t} + (KcKsKc + Ks)(\thetam - \thetas)l^{2}\pi Kn\{(l^{2}\pi\theta^{*}s + xs) - xt} = 0 \\
Msx^{**2}s + cax^{*}s + Kaxs + cn{(l^{2}\pi\theta^{*}s + x^{*}s) - x^{*}t} + Kn{(l^{2}\pi\theta^{*}s + xs) - xt} = 0 \\
Mtx^{**2}t + ctx^{*}t + cn{x^{*}t - (l^{2}\pi\theta^{*}s + x^{*}s)} + Kn{x^{*}t - (l^{2}\pi\theta^{*}s + xs} = 0
\]
**5. 刚度和阻尼变化对系统稳定性的影响**
通过锤击测试和模态分析研究了系统的振动特性。图 4 展示了测量和仿真频率响应的对比结果。仿真使用 MATLAB Simulink (2022b) 进行。在进给速度为 10 mm/s 时，利用冲击锤激励工作台以消除静摩擦的影响。同时使用三个加速度计测量工作台的轴向振动以及球 screw 轴的轴向和旋转振动。图 5 显示了测量装置。旋转加速度通过切向加速度和径向加速度的差值计算得出。

**6. 实验结果**
测量和仿真结果中观察到三个共振频率：约 300 Hz（第 1 模式）、800 Hz（第 2 模式）和超过 1 kHz（第 3 模式，见图 4）。虽然仿真与实验结果在视觉上基本吻合，但第 3 模式的频率和第 2 模式的振幅比与测量结果不完全一致。尽管如此，本研究仍尝试使用实际测量值进行讨论，尽管这会降低仿真精度。根据模态分析结果，第 1 振动模式是工作台的平移运动与球 screw 轴和电机转子的同相旋转振动耦合的结果，主要由支撑轴承的轴向刚度决定；第 2 振动模式是电机和球 screw 轴之间的旋转振动，受联轴器扭转刚度影响；第 3 振动模式是球 screw 轴的轴向振动。

**7. 刚度和阻尼变化对系统稳定性的影响**
根据模态分析，联轴器和支撑轴承特性影响第 1 和第 2 模式的振动。通过分析和实验研究了联轴器（Kc、cθ、Ka、ca）和支撑轴承（Ka、ca）的影响。可以通过选择不同类型的联轴器（图 6(a) 中展示的叶片弹簧型和树脂型）来调整联轴器特性[19]。叶片弹簧型联轴器刚度较高但阻尼系数较低，树脂型联轴器阻尼系数较高但刚度较低。通过调整预加载条件可以改变支撑轴承的刚度。图中展示了两种不同预加载条件下的轴承外壳（图 6(b)）。实验验证了预加载条件可使得轴承刚度变化近六倍。

**8. 稳定性图及其应用**
基于模型，可以绘制根轨迹图来展示稳定性变化情况。图 7 显示了联轴器和支撑轴承刚度变化的根轨迹图。分析中，速度控制器的比例增益 Kvp 和积分增益 Kvi 分别设为 0.6 和 40。速度控制系统的伺服带宽约为 120 Hz。图 7(a) 表示联轴器刚度从 500 Nm/rad 到 60,000 Nm/rad 的根轨迹图，图 7(b) 表示支撑轴承刚度从 20 N/μm 到 1000 N/μm 的根轨迹图。图中箭头表示刚度较高的方向，实线表示第 1 振动模式的根轨迹，虚线表示第 2 振动模式的根轨迹。图 7(a) 使用较低刚度的支撑轴承参数绘制，图 7(b) 使用叶片弹簧型联轴器参数绘制。结果表明，在这些联轴器特性下，第 1 模式稳定；而叶片弹簧型联轴器使得第 2 振动模式不稳定；高阻尼可以稳定这两种振动模式。

**9. 结论**
虽然根轨迹图可以说明联轴器和支撑轴承刚度与阻尼的影响，但图中并未明确显示合适的范围和组合方式。因此，在这项研究中，提出了一种稳定性图，用于表示合适的组件特性范围。稳定性图可以表示为每个振动模式对应的极点实部值的等高线图。图8和图9分别显示了耦合部件和支撑轴承的稳定性图。水平轴和垂直轴分别代表刚度和阻尼系数。测试用耦合部件和支撑轴承的参数在图上用圆形标记表示。如果极点的实部（由等高线及其值[s-1]表示）为正，则振动模式将变得不稳定。根据稳定性图可以预期，耦合特性主要影响第二振动模式。此外，阻尼对稳定性的影响大于刚度。相比之下，根据支撑轴承的稳定性图，刚度和阻尼都影响第一和第二振动模式的稳定性。有趣的是，轴承的轴向刚度较高会导致第一振动模式不稳定，而第二振动模式稳定。这种现象的原因目前尚未明确解释。作者将在未来的研究中尝试澄清这一现象。此外，较低的支撑轴承刚度会直接导致机构的总刚度降低，这会影响静态和动态性能。下一步需要明确这种权衡和最佳平衡。

图8. 耦合特性的稳定性图。
图9. 支撑轴承特性的稳定性图。

根据稳定性图，通过选择更高阻尼的耦合部件或应用陷波滤波器，可以抑制第二振动模式，因为其振动频率较高。因此，应该通过选择合适的支撑轴承刚度来设计机械组件特性以抑制第一振动模式。然后，应选择更高阻尼的耦合部件或应用陷波滤波器来抑制第二振动模式。图10展示了不同耦合部件和支撑轴承组合下的测量和仿真速度阶跃响应示例。尽管图10(a)中的速度阶跃响应显示第一振动模式（300 Hz）在振荡，但在图10(b)中的速度阶跃响应中，该模式被抑制了，且控制器增益设置没有变化。

图10. 速度阶跃响应的比较。

6. 结论

在这项研究中，使用极点放置方法分析了机械特性对进料驱动系统稳定性的影响。此外，还提出了一种新的“稳定性图”来表示组件的合适刚度和阻尼。研究清楚地表明，稳定性图可以是提高进料驱动系统性能的有效工具。

作者贡献声明
Sato Ryuta：写作 – 审稿与编辑、写作 – 原稿撰写、可视化、验证、监督、软件开发、项目管理、方法论、研究、资金获取、形式分析、数据整理、概念化。