二维双曲系统中波动相互作用与黎曼解的稳定性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Wave interactions and stability of the Riemann solutions for a 2?×?2 hyperbolic system

　　拉达南丹·曼达尔 | M. 赛法尔
数学与计算系，B.R. 阿姆贝德卡尔博士国立理工学院，贾兰达尔，印度

摘要
本研究关注的是一个2×2双曲型偏微分方程（PDE）系统的黎曼问题，该系统模拟了车辆交通流中的拥堵和自由流两种状态。我们利用相平面分析方法提出了两段式黎曼问题的基本波解。此外，针对三段式扰动黎曼问题，逐一讨论了所有可能的基本波相互作用，并证明了在扰动参数趋近于零时解是稳定的。最后，数值实验验证了基本波相互作用的迷人结果。

引言
双曲型偏微分方程（PDE）在数学和物理的多种应用中发挥着关键作用，包括流体力学、固体力学、交通流、声学和气体动力学等（参见[1]、[2]、[3]）。守恒定律的数学理论也由双曲PDE表征。双曲PDE的一个本质特点是，即使原始数据是平滑的，它们的解也很容易产生不连续性，这使得它们在分析和计算上都非常困难（参见[4]）。非线性双曲守恒定律中最基本的问题是黎曼问题，这是一种初始数据存在不连续性的柯西问题。许多研究者研究了压力梯度方程、浅水方程、速率型材料方程、无粘性伯格方程等数学模型的黎曼问题解（也称为基本波）（参见[5]、[6]、[7]、[8]、[36]）。由于基本波的广泛实际应用，它们在双曲守恒定律的研究中起着重要作用。实际上，基本波的相互作用是准线性双曲方程一般理论的基础。基本波的相互作用揭示了冲击波作为非线性波的额外关键特性，这不仅对于证明解的存在性至关重要，而且对于提供具有复杂几何结构的解的全面描述以及采用复杂的数值计算技术也非常重要。事实上，守恒定律的柯西问题解可以通过一系列局部黎曼问题来近似，这在随机选择方法、戈杜诺夫方法和前沿追踪方法等中都有应用。

在过去的几十年里，波相互作用在不同的物理和数学模型中得到了广泛研究。例如，Shekhar和Sharma[9]利用黎曼不变坐标分析了磁气体动力学中的基本波相互作用。Sun[10]研究了著名的Aw-Rascle交通流模型中的所有基本波相互作用，并在相互作用过程中提出了一种新的SJ波。Shen[11]讨论了色谱模型中波相互作用的稳定性和详细分析。Liu等人[12]研究了广义Chaplygin气体（GCG）模型中的波相互作用，强调了非经典波结构的出现。Fan和Zhang[13]研究了具有类似库仑摩擦的不均匀Aw-Rascle模型中的波相互作用，并证明基本波呈现的是抛物线形式而不是自相似形式。Yin等人[14]进一步讨论了带有源项的AR模型的黎曼解的存在性和稳定性。相平面分析已被用于分析多种实际情况下的经典波碰撞[15]、[16]。有关波相互作用的更多研究，读者可以参考[13]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]，这些文献涵盖了波动动力学的理论和应用方面。

在这项研究中，我们考虑了以下2×2双曲系统：
\[
\begin{cases}
\rho_t + (\eta\psi(\rho))_x = 0, \\
\eta_t + (\eta^2\psi(\rho)\rho)_x = 0,
\end{cases}
\]
该系统能够捕捉车辆交通流中的拥堵和自由流两种状态（参见[28]、[29]）。这里，$\rho$表示交通密度，$\eta\psi(\rho)\rho = v(\rho, \eta)$表示平均交通速度与相对流速$\eta$。此外，还有以下合理的假设：$\psi \in C^2([0, D]; [0, 1])$，使得$\psi(0) = 1$，$\psi(D) = 0$，$\psi'(\rho) \leq 0$，以及对于所有$\rho \in [0, D]$，有$\frac{d^2\psi(\rho)}{d\rho^2} \leq 0$。模型（1）是经典LWR（Lighthill-Whitham和Richards）交通模型的扩展（参见[30]），后者由以下方程描述：
\[
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial x}(v(\rho)) = 0,
\]
其中$v$和$\rho$分别表示交通的一般速度和密度。在经典LWR交通模型（2）中，所有驾驶员的速度被假设为均匀的。然而，在扩展模型中，速度是变化的，表示为$\eta\psi(\rho)\rho$，这反映了基于交通密度$\rho$的驾驶员行为的异质性。系统（1）可以被重新表述为以下拟线性系统：
\[
\begin{cases}
\rho_t + (\rho v(\rho, \eta))_x = 0, \\
\eta_t + (\eta v(\rho, \eta))_x = 0,
\end{cases}
\]
其中$v(\rho, \eta) = \min\{V_{\max}, \eta\psi(\rho)\rho\}$。

系统（1）是一阶拟线性双曲系统。该系统的雅可比矩阵具有两个不同的实特征值和一组完整的特征向量，这保证了信息沿特征曲线以有限速度传播。由于该模型只包含一阶空间导数而没有更高阶的导数项（扩散或色散），因此特征速度仅取决于状态变量而不随波长变化。因此，不会发生频率依赖的波传播，动力学完全是 对流的（参见[31]）。因此，系统（1）是无色散的。

在这里，我们解决了系统（1）的两个段式初始数据的黎曼问题：
\[
\begin{cases}
(\rho, \eta)|t=0 = (\rho_{\ell}, \eta_{\ell}), \quad x < 0, \\
(\rho_r, \eta_r), \quad x > 0,
\end{cases}
\]
其中$\rho_{\ell}, \eta_{\ell}, \rho_r, \eta_r$是常数。

进一步地，我们分析了在三种段式扰动初始数据下的基本波相互作用：
\[
\begin{cases}
(\rho, \eta)|t=0 = (\rho_{\ell}, \eta_{\ell}), \quad -\infty < x < -\epsilon, \\
(\rho_m, \eta_m), \quad -\epsilon < x < \epsilon, \\
(\rho_r, \eta_r), \quad \epsilon < x < \infty,
\end{cases}
\]
其中$(\rho_i, \eta_i) \equiv (i)$是常数状态，对于$i = \ell, m, r$，且$\epsilon > 0$足够小。在这项研究中，我们彻底研究了黎曼解中涉及的所有基本波相互作用，以便明确地开发出扰动黎曼问题（1）和（5）的全局解。这一讨论表明，在初始数据的局部扰动下，扰动黎曼问题（1）和（5）的解是稳定的。

在像LWR（参见[30]）和Aw–Rascle（参见[32]）这样的交通流模型中，交通速度取决于交通密度（$\rho$），即有多少车辆进入道路。在这个较少研究的系统中，交通速度$v(\rho, \eta)$不仅取决于$\rho$，还取决于车辆的相对流速$\eta$，这代表了驾驶员行为和车辆的异质性，即不同的驾驶员具有不同的最大速度。这个系统的主要技术挑战是这两个变量之间的非线性耦合。与标准的一维标量模型不同，我们不仅跟踪密度变化，还跟踪驾驶员行为（$\eta$）的演变，每当发生冲击波（S）或稀疏波（R）的相互作用时。在这项工作中，我们证明了系统在扰动消失后保持稳定并收敛到标准解。此外，波相互作用分析提供了关于交通演变的特定见解：（a）我们展示了两组减速的交通如何合并形成单一的大规模交通堵塞；（b）我们证明了两组加速的交通在过渡到自由流状态时最终会同步它们的速度；（c）基于驾驶员的行为，我们描述了交通的消散过程。

本文的其余部分组织如下。第2节中，我们解决了初始数据为（4）的系统（1）的黎曼问题。第3节讨论了系统（1）的三段式扰动黎曼问题，并证明了在初始数据的局部扰动下黎曼解是稳定的。最后，第4节提出了数值模拟以验证理论分析。

**系统（1）的两段式黎曼问题解**
系统（1）的矩阵表示为：
\[
\begin{bmatrix}
\rho & \eta \\
\eta & \psi(\rho)\psi'(\rho) + \eta^2(\psi'(\rho)\rho - \psi(\rho)\rho^2 \\
\end{bmatrix}
\]
系统（1）是严格双曲的，因为雅可比矩阵具有两个不同的特征值$\lambda_1 = \eta(\psi'(\rho) + \psi(\rho)\rho$和$\lambda_2 = \eta\psi(\rho)\rho$。同时，我们有
\[
\begin{cases}
\frac{\partial \lambda_1}{\partial \rho} \cdot r_1^{(\cdot)} = \eta\frac{d^2\psi(\rho)}{d\rho^2}, \\
\frac{\partial \lambda_2}{\partial \rho} \cdot r_2^{(\cdot)} = 0,
\end{cases}
\]
这意味着在第一和第二特征场下，当$\frac{d^2\psi(\rho)}{d\rho^2} < 0$时，它们分别是真正非线性的和线性简并的。这里，$r_1^{(\cdot)} = (\rho, \eta)T$和$r_2^{(\cdot)} = (\negative\psi(\rho), \eta(\psi'(\rho) - \psi(\rho))$。

**基本波相互作用**
本节分析了方程组（1）以及三段式扰动初始数据（5）。首先，我们考虑第一个特征场真正非线性而第二个特征场线性简并的情况。为了确保全面考虑所有可能的情况，根据初始数据的不同组合，讨论分为以下四种不同的情况：
\[
\begin{cases}
(\rho_i, \eta_i); \quad i = \ell, m, r
\end{cases}
\]
其中$v(\rho_{\ell}, \eta_{\ell}) > v(\rho_m, \eta_m)$

**结果和讨论**
我们通过进行数值实验来验证之前讨论的基本波相互作用。为了便于构建初始状态，我们使用了特定的形式$\psi(\rho) = 1 - \rho$。系统使用Lax–Friedrichs有限差分方案进行离散化（参见[35]），CFL=0.4。基本波相互作用的初始数据如下：
\[
\begin{cases}
(\rho, \eta)|t=0 = (\rho_{\ell}, \eta_{\ell}), \quad x < -0.02, \\
(\rho_m, \eta_m), \quad -0.02 \leq x < 0.02, \\
(\rho_r, \eta_r), \quad x \geq 0.02,
\end{cases}
\]
图10展示了情况A在$t=0.01$和$t=0.1$时的相互作用。

**作者声明**
拉达南丹·曼达尔：研究、形式分析、概念化。M. 赛法尔：写作——审阅与编辑、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。