几乎可以确定，带有异步间歇噪声的复值随机耦合系统具有指数稳定性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Almost sure exponential stability of complex-valued stochastic coupled systems via asynchronous intermittent noise

　　韩浩明|袁启明|刘岩
东北大学信息科学与工程学院，沈阳，110819，中国

**摘要**
本文研究了具有间歇性噪声的复值随机耦合系统的稳定性。与现有间歇性噪声控制研究中考虑的同步间歇性噪声不同，本文研究了异步间歇性噪声，这种噪声能够更好地表征影响复杂网络中不同节点的噪声干扰的异质性。为了解决由异步间歇性噪声引起的分析难题，提出了一种新的平均同步控制率（ASCR）概念，即所有节点同时受到噪声作用的总持续时间与耦合系统总时间的比值。与传统的平均控制率相比，ASCR仅依赖于关于同步控制间隔的假设，为异步间歇控制提供了一个新的分析框架。此外，还扩展了一类广义的Gronwall不等式，以适用于异步间歇性场景。利用这些工具，通过图论和Lyapunov方法的结合，推导出了复值随机耦合系统达到稳定性的几个充分条件。最终，将本文提出的理论结果应用于二阶耦合振子模型，并通过数值模拟验证了其有效性。

**引言**
耦合系统在当代科学和工程的许多领域中广泛存在，例如生物学领域[1]、通信领域[2]、光学领域[3]等。作为耦合系统的基本动态行为之一，稳定性对于耦合系统的可靠应用至关重要。例如，在生物神经网络中，稳定的耦合神经元有助于在更短的时间内模拟高度复杂的相互连接的神经元网络[1]。因此，近年来耦合系统的稳定性受到了广泛关注[4][5]。此外，由于实际中不可避免的噪声存在，耦合系统可能会经历剧烈波动并消耗额外能量以维持稳定性。因此，研究随机耦合系统的稳定性具有重要意义。值得注意的是，大多数稳定性研究都集中在实值耦合系统上。然而，许多实际应用基于复数。例如，与传统的实值神经网络相比，复值神经网络可以同时处理和保留振幅和相位信息[6]。因此，研究复值随机耦合系统的稳定性具有更广泛的应用价值。

为了稳定系统，通常需要设计适当的控制策略，如间歇控制[7][8]、采样数据控制[9][10]、模糊控制[11][12]等。然而，在某些情况下，随机系统仅通过噪声本身的作用就能实现稳定性，而无需额外的控制器。这一现象最初由Khasminskii[13]研究，他成功地通过两个白噪声源稳定了一个二维线性系统。受这一开创性工作的启发，获得了一些关于通过噪声稳定系统的结果[14][15][16]。与连续噪声相比，间歇性噪声更符合实际物理系统的动态特性。一个典型的例子是光伏发电系统。云层的随机漂移导致光伏阵列在遮挡状态和未遮挡状态之间交替转换，从而导致光伏输出功率的间歇性随机波动。因此，间歇性噪声引起了研究人员的更多关注， Recent studies have shown that coupled systems can achieve desired performance by intermittent noise with appropriate parameters such as noise intensity and intermittent period。例如，Zhang等人提出使用非周期性间歇采样随机噪声来稳定多智能体的误差系统[17]；通过具有非周期性间歇通信噪声的共识协议实现了多智能体的几乎必然指数一致性[18][19]。然而，据我们所知，关于通过间歇性噪声稳宂数值随机耦合系统的研究仍然很少，这激发了本文的工作。

值得注意的是，在上述关于通过间歇性噪声稳定耦合系统的研究中，每个节点的噪声间隔是同步的，即耦合系统中所有节点的间歇性噪声的开始和结束时间是一致的。然而，由于不同环境因素或它们自身的特性，每个节点的间歇性噪声持续时间在实践中可能会有所不同。为了说明这一点，考虑大规模通信网络的场景。基站分布在广阔的区域，不同地理区域之间的运营环境差异导致各个基站的噪声持续时间不同。鉴于这种现象在现实工程系统中的普遍性，本文重点研究了在异步间歇性噪声下随机复值耦合系统的稳定性。与传统的间歇性噪声相比，异步间歇性噪声需要考虑各个节点之间噪声的异步特性，这显著增加了模型的复杂性，需要探索新的理论工具和分析方法来应对异步间歇性噪声带来的挑战。

基于上述讨论，本文研究了在异步间歇性噪声下随机复值耦合系统的几乎必然稳定性。与现有的间歇性噪声研究[20][21]不同，本文考虑的间歇性噪声是异步的，这更加现实，但也给耦合系统的稳定性分析带来了困难。由于[20][21]中提出的传统间歇性噪声方法不适用于异步间歇性噪声，本文扩展了一类广义的Gronwall不等式来应对异步间歇性噪声带来的挑战，并提出了一种新的平均同步控制率（ASCR）概念来处理异步间歇性噪声。随后，基于广义Gronwall不等式和ASCR，通过结合Lyapunov方法和图论，推导出了实现随机复值耦合系统几乎必然指数稳定性的几个充分条件。最后，将这些理论结果应用于二阶耦合振子模型，并通过数值例子验证了这些结果的有效性。本文的主要贡献可以总结如下：
（1）本文首次系统地研究了在异步间歇性噪声下随机复值耦合系统的稳定性。与现有的间歇性噪声研究[20][21]相比，本文考虑了一个更现实的场景，即每个节点的间歇性噪声间隔的开始和结束时间或持续时间各不相同。这种异步设置更加通用和灵活，因为它更符合实际工程系统固有的异步干扰特性。
（2）由于每个节点的间歇性噪声间隔不同，传统的平均控制率方法不再适用。为了解决异步间歇性噪声引起的困难，提出了ASCR的概念。此外，本研究扩展了一类传统的Gronwall不等式，以获得在异步间歇性噪声下随机复值耦合系统的几乎必然指数稳定性准则。

**符号说明**
设N={1,2,…,N}。R表示实数，R0+=[0,+∞)。将n维复数空间表示为Cn，xˉ表示x∈Cn的共轭。完整的概率空间定义为(Ω,F,F,P)，其中递增且右连续的过滤器F={Ft}t≥0，而F0包含所有P-null集。设B(t)为一维布朗运动。上标“T”表示向量或矩阵的转置，复向量的范数表示为|x|=xTxˉ。E(·)表示数学期望。用λmax(·)和λmin(·)分别表示Hermite矩阵的最大和最小特征值。矩阵A的范数表示为|A|=λmax(ATAˉ)。用i表示虚数单位，即i=?1。如果存在从任意两个不同节点zi到zj的有向路径，则具有权重矩阵V=(υ?ij)N×N的加权有向图(Ω,V)是强连通的。定义(Ω,(υ?ij)N×N的拉普拉斯矩阵为V(Ω)=(Vij)N×N，其中Vii=∑i≠jυ?ij，Vij=?υ?ij（i≠j）。

**初步研究和模型描述**
具有间歇性噪声的复值耦合系统表示为：
{PLXALIGNEDdzi(t)=(θi(zi(t),t)+∑j=1NsijCij(zi(t),zj(t)))dt+φi(zi(t),t)dB(t),t∈[ζki,ξki)，zi(t)=(θi(zi(t),t)+∑j=1NsijCij(zi(t),zj(t)))dt,t∈[tk,tk+1)?[ζki,ξki)，PLXALignment
其中zi∈Cn表示节点i的状态，θi∈Cn×R0+→Cn，sij≥0表示节点i和节点j之间的耦合强度，Cij∈Cn×Cn→Cn表示相关的耦合函数，φi∈Cn×R0+→Cn表示间歇性噪声，tk+1?tk=L是控制周期。

**主要结果**
本节建立了复值耦合系统(1)的几乎必然指数稳定性定理，在证明定理1之前，我们首先陈述一些关于θi(zi, t)、φi(zi, t)和Cij(zi, zj)的必要假设：
**假设1**
存在正常数ui、vi、wi和μij，使得|zˉiTθi(zi,t)+ziTθˉi(zi,t)|≤ui|zi|2，|φi(zi,t)|≤wi|zi|，ziTφi(zi,t)≥vi|zi|2，|Cij(zi,zj)|≤μij(|zi|+|zj|)。

**应用实例：随机耦合振子**
在本节中，研究了随机耦合振子（SCOs）的稳定性，二阶振荡器系统可以表示为：
z¨i1(t)+δiz˙i1(t)+zi1(t)+ρi(zi1(t))=0。
设zi2(t)=z˙i1(t)+εizi1(t)。考虑耦合和随机干扰，该系统可以描述为：
{dzi1(t)=(zi2(t)?εizi1(t))dt+σ(t)φi1(zi1(t),t)dB(t)，dzi2(t)=((?δi+εi)zi2(t)+(δiεi?εi2?1)zi1(t)?ρi(zi1(t))+∑n=1NsijCij(zi1,zj1))dt+σ(t)φi2(zi2(t),t)dB(t)，
其中εi,δi∈C1，zi1(t),zi2(t)∈C1。

**数值模拟**
在本节中，提出了几个系统(24)的数值模拟，以证明理论结果的可行性。首先，指定了具有16个节点的邻接矩阵的权重：
s2,16=s3,16=s5,16=s16,6=s16,9=s16,12=4×10??；
s13,2=s3,13=s5,15=s15,6=s9,14=s14,12=2×10??；
s41=s34=s76=s87=s9,10=s10,11=1×10??；
s14,13=s15,14=s13,15=5×10??；
s74=s4,10=s10,7=7×10??；
s12=s58=s11,12=2×10??；
s23=s65=s12,9=3×10??。
矩阵中的所有其他元素均设为0。

**结论**
本文研究了在异步间歇性噪声下复值随机耦合系统的几乎必然指数稳定性。为了解决不同节点的异步间歇性噪声间隔带来的分析复杂性，提出了一种新的ASCR概念，并扩展了一类广义Gronwall不等式。通过将这些工具与图论和Lyapunov方法结合，推导出了几个实现几乎必然指数稳定性的充分条件。

**作者贡献声明**
韩浩明：形式分析、概念化。
袁启明：撰写——原始草稿、可视化。
刘岩：监督、方法论。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。