具有高度非线性系数的跳跃-扩散随机微分延迟方程的补偿型随机θ方法的强收敛性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Strong convergence of compensated stochastic theta methods for jump-diffusion stochastic differential delay equations with highly nonlinear coefficients

　　姚一凡 | 杨旭
中国矿业大学数学学院，江苏省徐州市，221116，中华人民共和国

摘要
在这项研究中，我们重新审视了由李等人（Int. J. Comput. Math., 90(5):1057-1071, 2013）首次提出的用于跳跃-扩散随机延迟微分方程的补偿随机θ方法（CSTMs）。与之前使用的全局Lipschitz性和线性增长假设不同，我们严格证明了CSTMs的强收敛性，并确定了其强收敛速率，该速率在θ ∈ [1/2, 1]的范围内可以任意接近1/2，前提是系数满足一般的单调性和超线性增长条件。关键的创新在于建立了精确解的规则性质，通过误差分解技术推导出全局误差估计，并利用解的H?lder连续性获得了局部截断误差的精确界限，从而提供了系统的收敛性分析。数值实验支持了理论结果。

引言
本文关注以下伊藤型跳跃-扩散随机延迟微分方程（JSDDEs）的数值近似：
{dX(t) = f(X(t), X(t?τ))dt + g(X(t), X(t?τ))dW(t) + h(X(t?τ), X((t?τ)?))dN(t), t∈(0,T], X(t) = φ(t), t∈[?τ,0],
其中T > 0是一个固定常数，X(t?τ) := lims→t? X(s)，f: Rd×Rd→Rd，g: Rd×Rd→Rd×m，h: Rd×Rd→Rd。这里W(t)是一个m维维纳过程，N(t)是一个强度为λ > 0的标量泊松过程，两者都定义在一个带有过滤F = {Ft}t∈[0,T]的完备概率空间(Ω,F,P)上，满足通常的条件。假设W和N是相互独立的。将所提出的分析扩展到具有独立分量的向量值跳跃的情况是直接的。关于系数f、g、h和初始函数φ的精确假设将在下一节中给出。
随机微分方程（SDEs）是基本的连续时间模型，在金融、化学、生物学和工程等领域有着广泛的应用[1], [2], [3], [4]。一个重要的扩展是随机延迟微分方程（SDDEs），它结合了噪声和历史依赖性，使得能够对具有记忆效应的系统进行建模。在许多应用中，时间延迟至关重要。在种群动态中，延迟捕捉了成熟期和妊娠时间[5]；在神经网络中，信号传输延迟是由于有限的传播速度[6]；在金融中，时间滞后模拟了投资者反应时间和市场微观结构效应[7], [8]；在控制系统中，通信延迟无处不在[9]。关于SDDEs及其应用的全面处理，我们参考[2], [10]。为了进一步增强建模能力并更好地捕捉现实世界的复杂性，通常将跳跃过程整合到SDEs和SDDEs中，从而产生了跳跃-扩散SDEs（JSDEs）和跳跃-扩散SDDEs（JSDDEs）。这些方程特别适用于描述金融市场中的突然波动、生态系统的突然变化和系统的瞬间故障[11], [12], [13], [14]。本文重点讨论JSDDEs，其中记忆、扩散和跳跃之间的相互作用引入了独特的分析和数值挑战。
由于JSDDEs的显式解很少可用，因此开发有效的数值方法对于理论分析和实际应用都是必不可少的。这激发了对JSDDEs数值分析的广泛研究，许多工作涉及收敛性、稳定性和实现方面；例如，参见[15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24]及其中的参考文献。对于跳跃-扩散问题，补偿数值方法——其中泊松过程被其补偿鞅对应物替代——通常比非补偿方法提供更好的非线性稳定性[25]。此外，补偿机制在离散层面上保持了驱动跳跃噪声的鞅结构。这对于具有超线性系数的非线性问题特别有益，因为它减少了误差增长并放宽了通常限制显式离散化的步长限制。因此，出现了大量关于补偿方案的工作：对于标准JSDEs，参见[26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36]；对于更复杂的JSDDEs情况，可以参考[18]。
随机θ方法（STMs）为SDEs和SDDEs的数值解提供了一个统一且灵活的框架。通过θ ∈ [0, 1]参数化，STMs家族包括显式Euler-Aruyama（θ=0）、梯形（θ=1/2）和隐式后向Euler（θ=1）方法作为特殊情况。这种参数灵活性使得可以在计算效率和数值稳定性之间进行调整。此外，对于θ > 0，隐式性质放宽了显式方案典型的步长限制，促进了高效的长时模拟，同时保持了捕获底层连续时间过程的统计特性所需的离散时间鞅结构。由于这些优点，STMs在SDEs和SDDEs中的应用已经被广泛研究；例如，参见[37], [38], [39], [40], [41]及其中的参考文献。基于这些见解，自然而强大的综合方法出现了：将补偿技术整合到STMs框架中，得到了补偿随机θ方法（CSTMs）。
早期的工作[18]将分析扩展到了JSDDEs，并在全局Lipschitz性和线性增长条件下建立了CSTMs的强收敛性和改进的稳定性。最近，对于无延迟情况，王等人[33]检查了具有超线性增长漂移、扩散和跳跃系数的JSDEs的CSTMs的强收敛性——这是对Lipschitz框架的重要扩展。然而，当前文献中严重缺失的是对系数具有超线性增长的JSDDEs的CSTMs的强收敛性分析。这一未探索的领域，即超线性系数的复杂性与时间延迟的记忆效应的交叉，是我们研究的核心动力。
为了填补这一空白，我们分析了漂移、扩散和跳跃系数都可能超线性增长的JSDDEs的CSTMs的强收敛性。具体来说，我们在系数满足一般单调性和多项式增长条件的情况下进行了分析（见假设2.1–2.3）。这种设置引入了两个必须克服的基本挑战，每个挑战都源于现有分析的局限性。首先，超线性系数的存在结合了延迟项，打破了JSDDE分析中传统使用的全局Lipschitz框架[18]。由于他们的证明技术严重依赖于Lipschitz界限来控制误差传播，因此不能直接扩展到我们的设置。需要新技术来处理超线性系数的局部Lipschitz性质，同时考虑记忆效应。其次，虽然[33]成功处理了超线性系数，但他们的分析严重依赖于JSDEs的马尔可夫结构，在没有延迟的情况下简化了误差传播的估计。相比之下，JSDDEs中的记忆存在破坏了这种马尔可夫性质，引入了对过去状态的依赖性，必须仔细控制。当系数超线性增长时，这种过去的依赖性会随时间放大误差，使得误差传播分析变得更加复杂。此外，补偿泊松过程虽然提高了稳定性，但在存在记忆的情况下需要仔细处理其鞅性质——这在[33]的无延迟设置中不会出现的技术微妙之处。
为了克服这些挑战，我们发展了一个新的分析框架，包括以下关键步骤。我们首先建立了精确解的适定性，并证明了包括矩界限和Lp意义下的H?lder连续性在内的关键规则性质。这些初步结果为后续的收敛性分析提供了必要的基础。然后通过系统的误差分解方法进行收敛性分析：（i）我们推导出一个全局误差估计，将均方误差表示为局部截断误差及其条件期望之和；（ii）我们利用解的H?lder连续性和系数的局部Lipschitz性质获得了这些局部截断误差的精确界限，尽管缺乏全局界限。我们的主要结果表明，对于θ ∈ [1/2, 1]并且在适当的步长限制下，CSTMs在均方意义上收敛，其收敛速率可以任意接近1/2。这首次证明了即使面对超线性增长和时间延迟的复合复杂性，CSTMs仍然保持其强收敛保证。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了必要的假设和初步结果。第3节介绍了CSTMs并分析了它们的强收敛性及其速率估计。最后，第4节提供了数值实验来验证理论发现。

章节片段
预备知识
让|·|和?·, ·?分别表示Rd上的欧几里得范数和内积。对于一个矩阵A∈Rd×m，我们用|A|:=trace(ATA)表示其Frobenius迹范数，其中AT表示A的转置。这里d,m∈N，N表示正整数集。让C([?τ,0];Rd)表示从[?τ,0]到Rd的连续函数空间，配备了上确界范数∥ξ∥=sup?τ≤t≤0|ξ(t)|。
对于r ≥ 2，用LF0r([?τ,0];Rd)表示所有F0-可测量的C([?τ,0];Rd)值随机变量ζ的集合。

补偿随机θ方法
我们现在介绍用于近似方程(1)解的补偿随机θ方法（CSTMs）。让θ ∈ [0, 1]是一个固定参数。选择两个正整数M和m，使得Δt=TM=τm，其中Δt > 0表示均匀步长。网格点为tn=nΔt，n=0,1,?,M。
方案3.1
对于初始步骤，设置
Zn=φ(nΔt)，n=?m,?m+1,?,0。
对于n=1,2,?,M
Zn=Zn?1+θfλ(Zn,Zn?m)Δt+(1?θ)fλ(Zn?1,Zn?1?m)Δt+g(Zn?1,Zn?1?m)ΔWn?1+h(Zn?1,Zn?1?m)ΔN?n?1，
其中维纳和补偿泊松增量为ΔWn?1:=W(tn)?

数值结果
在本节中，我们提出数值实验来验证第3节中建立的CSTMs的强收敛性质。
示例1。我们考虑以下JSDDEs：
dX(t) = (aX(t)?bX3(t)+X(t?τ))dt + cX2(t)dW(t) + d(X2(t?)+X(t?τ)?)dN(t)，t∈(0,T)，
其中a,b,c,d∈R是常数，初始条件由φ(t)=|t|12+1给出，对于t∈[?τ,0]。这里，{W(t)}t ∈ [0,T]是一个标量维纳过程，{N(t)}t ∈ [0,T]是一个强度为λ的标量泊松过程。

结论
在本文中，我们建立了具有超线性增长漂移、扩散和跳跃系数的JSDDEs的CSTMs的强收敛性。通过分析精确解的规则性质，通过误差分解方法进行全局误差估计，并利用解的H?lder连续性得出局部截断误差的精确界限，我们证明了对于所有θ ∈ [1/2, 1]，强收敛速率可以从下面任意接近1/2。

CRedI
作者贡献声明
姚一凡：撰写——原始草稿。杨旭：撰写——审稿与编辑、验证、监督、方法论。

利益冲突声明
作者声明与本文的发表没有利益冲突。