具有耗散和色散特性的广义DeGasperis-Procesi方程的周期问题的爆炸现象与冲击波峰研究

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Blow-up phenomena and shockpeakon for the periodic problem of a generalized DEgasperis-Procesi equation with both dissipation and dispersion

　　闵 Zhu | 杰宇苏 | 陈汉 | 姜子美
南京林业大学理学院，江苏南京 210037，中国

摘要
在本文中，我们研究了一个包含耗散和色散效应的广义Degasperis-Procesi（gDP）方程的周期性问题。首先，我们为强解建立了一个精确的爆破准则。接下来，通过推导几个关键的先验估计，我们证明了强解的全局存在性。此外，我们采用了两种不同的分析方法来详细描述周期问题的爆破行为。最后，我们构造了该方程的显式冲击峰解和多冲击峰解。

引言
考虑具有耗散和色散效应的gDP方程的周期问题：
$$
u_t - \alpha^2u_{xx} + mu \dot{u}_{xx} - 3u_{xxx} - u_{uxx} + k_1u_{xx} + k_2u_{xxx} + \lambda_1u - \lambda_2u_{xx} = 0, \quad t > 0, \quad x \in S, \quad u(0, x) = u_0(x), \quad x \in S
$$
其中参数 $\alpha, m > 0$ 是非线性指数，$k_i$ 和 $\lambda_i (i=1,2)$ 分别代表耗散系数和色散系数，$u_0 \in H^s(S)$ 且 $s > \frac{3}{2}$。当 $\alpha^2 = 1, m = 4, k_i = \lambda_i = 0 (i=1,2)$ 时，(1.1) 归结为标准的Degasperis-Procesi（DP）模型：
$$
u_t - u_{xx} + 4u_{ux} - 3u_{xxx} - u_{uxx} = 0
$$
该模型由Degasperis和Procesi [1]通过对三阶色散方程
$$
u + c_0u_x + \gamma u_{xx} - \beta^2u_{xxx} = (c_1u^2 + c_2u^2 + c_3u_{xxx})
$$
应用渐近可积性方法得到。方程(1.3)中的三个方程满足渐近可积性条件：Korteweg-de Vries（KdV）方程 [2]、DP方程 [1] 和Camassa-Holm（CH）方程 [3, [4], [5], [6]。具体来说，CH方程表示为：
$$
u_t - u_{xx} + 3u_{ux} - 3u_{xxx} - u_{uxx} = 0
$$
它描述了在平坦底部上单向浅水波的传播 [7]。DP方程(1.2)和CH方程(1.4)具有几个重要的性质，包括可积性和其解的爆破现象 [7, [8]。特别是，DP方程具有双哈密顿结构和高斯对表述 [8, [9]。在适当的符号条件下，爆破行为已在中进行了分析 [10]。随机DP模型的局部弱解在 [11] 中得到证明，而(1.2)的全局弱解则在 [25] 中研究。平滑孤立波的轨道稳定性和平滑周期行波的稳定性在 [12], [13] 中进行了探讨。此外，还研究了(1.2)的叠加平滑孤子的轨道稳定性 [14]。周期解的渐近行为在 [15] 中进行了分析，多峰解在 [16] 中系统研究。在适当的初始条件下，(1.2)的峰解的L2稳定性在 [17] 中得到证明。与CH方程的峰解
$$
u(t, x) = c e^{-|x - ct|}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad c > 0
$$
和周期峰解
$$
u(t, x) = c\cos(\frac{1}{2}\sin(\frac{1}{2})cosh(\frac{1}{2} - (x - ct)) + [x - ct], \quad x \in \mathbb{S}, \quad c > 0
$$
不同，DP方程的峰解是冲击峰解：
$$
u(t, x) = -\frac{1}{t} + \sin(\gamma x)e^{-|x|}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad \gamma > 0
$$
以及周期冲击峰解 [18]
$$
u(t, x) = \left(\cosh\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}\right)t + c\right) - \sin\left(x - [x]\right)e^{-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}\right), \quad x \in \mathbb{S}, \quad c > 0.0, \quad x \in \mathbb{Z}
$$
此外，DP方程对应于一个非度量欧拉方程 [19]。当 $\alpha^2 = 1, m = 4, k_2 = 0, \lambda_1 = \lambda_2$ 时，(1.1) 变为特殊形式 [20]：
$$
u_t - u_{xx} + 4u_{ux} - 3u_{xxx} - u_{uxx} + k_1u + \lambda_1u - \lambda_2u_{xx} = 0
$$
这是具有弱耗散的DP方程。研究了(1.5)解的全局存在性和爆破性。当 $k_1 = 0$ 时，多峰解在 [21] 中进行了研究。尽管gDP方程(1.1)不满足H1能量守恒，我们建立了一些控制不等式来控制 $\|u\|_{L^2(S)}$ 和 $\|u\|_{L^\infty(S)}$ 的演化。这些不等式在各种函数空间中提供了范数估计，并为证明(1.1)解的两个全局存在性结果奠定了基础。具体来说，通过控制 $\|y_0\|_{L^2}$（定理4.1）或对初始数据 $y_0$ 施加适当的单调性条件（定理4.2），可以保证全局存在性。此外，我们发展了两种互补的方法来分析(1.1)周期解的爆破行为。定理5.1和5.2基于初始数据及其在特定点的导数的逐点条件建立了爆破准则。据我们所知，之前文献中尚未出现关于(1.1)周期解的此类结果。最后，使用分布恒等式 $(1 - \alpha^2\partial_x^2)G = \delta$（其中$G$表示与$(1 - \alpha^2\partial_x^2)^{-1}$在$R$或$S$上的格林函数），我们推导出了显式冲击峰解和多冲击峰解。这似乎是首次为gDP方程推导出此类解。

本文的其余部分组织如下。第2节，我们提出了几个初步结果，包括gDP方程(1.1)的局部适定性和爆破准则。第3节，建立了周期问题(1.1)的爆破场景。第4节，证明了与(1.1)相关的周期问题的强解的两个全局存在性结果。第5节，提出并分析了周期问题(1.1)的爆破数据。最后，第6节，推导了(1.1)的显式冲击峰解和多冲击峰解。

初步知识
为了讨论关于(1.1)的周期问题的爆破现象，我们设置 $\Lambda_2 = 1 - \alpha^2\partial_x^2$，则
$$
u + (1 - \alpha^2u + k_2\alpha^2)u_x = (1 - \alpha^2 - m)\Lambda^{-2}u_x + (k_2\alpha^2 - k_1)\Lambda^{-2}u_x + (\lambda_2\alpha^2 - \lambda_1)\Lambda^{-2}u - \lambda_2\alpha^2u
$$
让我们引入核函数
$$
G(x) = \cosh\left(x - [x]\right) - \frac{1}{2}\alpha\sin\frac{1}{2}\alpha
$$
其中 $[x]$ 表示 $x$ 的最大整数部分。它是单位圆 $S$ 上 $\Lambda^{-2} = (1 - \alpha^2\partial_x^2)^{-1}$ 的基本解。因此，(1.1)可以写为
$$
u + (1 - \alpha^2u + k_2\alpha^2)u_x = R(t, x), \quad t > 0, \quad x \in S, \quad u(0, x) = u_0(x), \quad x \in S
$$

爆破场景
在本节中，我们通过应用引理2.2-2.3，建立了Besov空间 $B_p^{rs}(S)$ 中周期问题(2.2)强解的精确爆破场景。特别是当 $p = r = 2$ 时，Besov空间 $B_p^{rs}(S)$ 与Sobolev空间 $H^s(S)$ 一致。

定理3.1
设 $u_0 \in B_p^{rs}(S)$ 且 $s > \max\left(1 + \frac{1}{p}, \frac{3}{2}\right)$，$1 \leq p, r \leq \infty$。设 $T$ 是解 $u$ 的最大存在时间。如果 $T < \infty$，则
$$
\int_0^T \left(\|u(\tau)\|_{L^\infty}(S) + \|u_x(\tau)\|_{L^\infty}(S)\right) d\tau = \infty
$$
证明
对(2.2)应用 △q，我们有
$$
\Delta q(u + (1 - \alpha^2u + k_2\alpha^2)u_x) = \left[\frac{1 - \alpha^2u + k_2\alpha^2,\Delta q\right]\partial_x u + \Delta q R(t)
$$

全局存在性
在本节中，我们研究了(1.1)解的全局存在性。我们应用引理3.5来证明定理4.1，该定理为(1.1)提供了全局存在性结果。具体来说，定理4.1断言，如果初始动量 $\|y_0\|_{L^2}(S)$ 满足某个条件，则相应的解在时间上保持全局有界。

定理4.1
设 $u_0 \in H^s(S)$ 且 $s > \frac{3}{2}$，参数满足 $m = 4\alpha^2, k_2 = \alpha^2, \lambda_2 = \alpha^2\lambda_1$。假设初始动量满足
$$
\|y_0\|_{L^2}(S) < 2\alpha^2\lambda^1\left(5\sinh\left(1 - \alpha\right) - \frac{1}{\alpha^8}\right)
$$

爆破
本节关注解的爆破。定理5.1在某些关于初始导数 $u_x(0, x)$ 的假设下，为(2.2)解的有限时间爆破提供了一个充分条件。

定理5.1
设 $u_0 \in H^s(S)$ 且 $s > \frac{3}{2}$，参数满足 $0 < \lambda_2 \leq \alpha^2\lambda_1$。假设存在点 $x_0 \in S$ 使得
$$
u_x(0, x_0) < -\lambda^2 + \lambda^2\sqrt{2} + 4\alpha^2D^2 < 0
$$
其中 $D_2 = D_1 + D_2 + D_3 + D_4$，$D_i (i=1,2,3,4)$ 在(5.3)-(5.6)中定义。那么相应的解在有限时间 $T_1$ 内爆破，满足
$$
T_1 \leq T^*
$$

冲击波
本节关注(1.1)的冲击峰解和多冲击峰解，表示为
$$
u(t, x) = p(t)G(x - q(t)) + s(t)G'(x - q(t))
$$
或其线性叠加，其中 $p(t), q(t)$ 和 $s(t)$ 是关于 $t$ 的函数，格林函数 $G$ 是算子 $(1 - \alpha^2\partial_x^2)^{-1}$ 在 $R$ 或 $S$ 上的基本解，即
$$
G(x) = \frac{1}{2}\alpha e^{-|x|}, \quad x \in \mathbb{R}
$$
和
$$
G(x) = \cosh\left(x - [x]\right) - \frac{1}{2}\alpha\sin\frac{1}{2}\alpha, \quad x \in \mathbb{S}
$$
从(3.8)出发，我们可以将(1.1)重写为
$$
y_t + u + k_2\alpha^2yx + 3u_x + \lambda_2\alpha^2y + (m - 4\alpha^2)u_x + (k_1 - k_2\alpha^2)u_x + (\lambda_1 - \lambda_2\alpha^2)u = 0
$$
其中 $y = u - \alpha^2u_x$。

定理6.1

作者贡献声明
闵 Zhu：写作 —— 分审与编辑，写作 —— 原始草稿，验证，资金获取，形式分析，数据整理，概念化。
杰宇苏：软件，形式分析。
陈汉：可视化，软件。
姜子美：形式分析，数据整理。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。