利用无网格径向基函数方法对耦合的分布式阶贝塞尔分数阶偏微分方程（Bessel fractional PDEs）进行数值研究

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Numerical investigation of coupled distributed-order Bessel fractional PDEs using meshless radial basis function methods

　　穆罕默德·侯赛因·德拉赫尚 | 萨法尔·伊兰杜斯特-帕克钦
伊朗塔布里兹大学数学、统计学与计算机科学学院应用数学系

**摘要**
本研究提出了一种新型的完全耦合的分布式阶贝塞尔分数模型，用于描述两个相互作用变量。该模型通过时间上的分布式阶贝塞尔导数捕捉记忆效应，并借助里兹分数算子实现异常的空间扩散。所采用的完全离散数值方案结合了基于卷积的时间近似方法与空间上的无网格径向基函数离散化技术，从而能够实现精确且高效的仿真。通过能量方法进行的收敛性和稳定性分析证明了该方法在时间和空间上都表现出无条件稳定性和接近二阶的收敛性。两个数值示例展示了所提方法的表现：一个具有精确解的示例验证了误差估计和收敛率，另一个示例则突显了该方法在处理无封闭形式解问题时的有效性。研究结果证实了该方法的高精度和鲁棒性，为模拟具有记忆效应和非线性相互作用的复杂时空现象提供了一种新的工具。

**引言**
近年来，分数微分方程[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]因能够准确描述表现出异常扩散、长程时间关联和非局部相互作用的过程而受到了广泛关注，这些现象在复杂的物理、生物和工程系统中很常见。与传统的整数阶模型不同，分数导数天生具有记忆效应和遗传特性，为描述粘弹性材料、异质介质中的传输、多孔结构中的扩散以及具有记忆依赖性相互作用的人口动态提供了自然的框架。从数学角度来看，分数导数提供了一种广义的微积分体系，扩展了经典的微分算子，允许动态响应具有连续的谱，并带来更丰富的解的行为。

**分布式阶（DO）分数导数**[7]、[8]、[9]、[10]、[11]通过在整个导数阶数范围内积分的方式扩展了单阶分数导数的概念，从而能够更灵活地表示具有多尺度时间动态的过程。在许多实际系统中，记忆效应并不是均匀的，可能会随时间演变或在不同的时间尺度上变化。DO导数特别适用于这种情况，因为它们允许多个分数阶数的加权，并且能够捕捉单阶导数无法捕捉的复杂松弛现象。因此，在建模具有异质性或时间依赖性记忆效应的过程中，它们比传统的分数导数具有明显优势。贝塞尔分数导数[12]、[13]通过引入一个与时间变化相关的奇异性项，进一步增加了时间复杂性，该项反映了变化的阻尼或扩散特性。将贝塞尔导数与分布式阶公式相结合，得到了分布式阶贝塞尔分数导数，这种导数结合了两种方法的优势。这种导数能够模拟记忆效应不仅在时间上是非局部的，而且在整个分数阶谱上也是连续演变的系统，从而捕捉到标准分数导数无法表示的微妙时间结构和长期相关性。因此，分布式阶贝塞尔分数系统的研究在数学上具有丰富性，在物理上也非常重要，为分析具有异质记忆和空间相互作用的复杂耦合过程提供了强大的框架。

**模型描述**
我们考虑一个完全耦合的分布式阶贝塞尔分数系统，其中每个变量的时间演化依赖于记忆积分内的异质相互作用，同时伴随着空间上的里兹扩散和非线性相互作用。设$v(x, y, t)$和$M(x, y, t)$表示时间$t \in (0, T)$内空间域$\Omega \subset \mathbb{R}^2$中的两个相互作用的状态变量。耦合系统定义为：
$$
B_t\omega(\sigma)v(x,y,t) = \frac{1}{\Gamma(\theta-1)} \int_{0}^{t}(t-z)\theta^{-2}e^{-\psi_1(t-z)[Ax\partial^\alpha v(x,y,z) \partial|^x\alpha + \eta_1 v(x,y,z)M(x,y,z) + \mu_1 M_2(x,y,z)] \, dz + \lambda_1 v(x,y,t)(1 - v(x,y,t)K_1),$$
$$
B_t\omega(\sigma)M(x,y,t) = \frac{1}{\Gamma(\theta-1)} \int_{0}^{t}(t-z)\theta^{-2}e^{-\psi_2(t-z)[Ay\partial^\beta M(x,y,z) \partial|^y\beta + \eta_2 v^2(x,y,z) + \mu_2 v(x,y,z)M(x,y,z)] \, dz + \lambda_2 M(x,y,t)(1 - M(x,y,t)K_2),
$$
对于$(x, y) \in \Omega$且$0 < t \leq T$。初始条件为：
$$
v(x,y,0) = v_0(x,y), \quad M(x,y,0) = M_0(x,y), \quad (x,y) \in \Omega,
$$
边界条件为：
$$
v(x,y,t) = 0, \quad M(x,y,t) = 0, \quad (x,y) \in \partial\Omega, \quad 0 < t \leq T.
$$

分布式阶贝塞尔分数导数[12]定义为：
$$
B_t\omega(\sigma)\phi(t) = \int_{0}^{\infty} B_{\gamma,0+\sigma}\phi(t)\omega(\sigma) \, d\sigma,
$$
其中$B_{\gamma,0+\sigma}$是阶数为$\sigma$的左侧贝塞尔分数导数，其定义为：
$$
B_{\gamma} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \gamma t \frac{\partial}{\partial t}, \quad \gamma > 0.
$$

空间上的里兹分数导数[19]、[20]、[21]、[22]定义为：
$$
\partial^\alpha\phi(x,y,t) \partial|^x\alpha = -\frac{1}{2\cos(\pi\alpha/2)(aD_x^\alpha + xDb^\alpha)\phi(x,y,t),
$$
$$
\partial^\beta\phi(x,y,t) \partial|^y\beta = -\frac{1}{2\cos(\pi\beta/2)(cD_y^\beta + yD_d^\beta)\phi(x,y,t),
$$
左侧和右侧的黎曼-刘维尔导数[23]定义为：
$$
aD_x^\alpha\phi(x,y,t) = \frac{1}{\Gamma(2-\alpha)} \int_a^x(x-s)\phi(s,y,t) \, ds,
$$
$$
cD_y^\beta\phi(x,y,t) = \frac{1}{\Gamma(2-\beta)} \int_c^y(s-x)\phi(s,y,t) \, ds,
$$
$$
yD_d^\beta\phi(x,y,t) = \frac{1}{\Gamma(2-\beta)} \int_y^d(s-y)\phi(x,s,t) \, ds.
$$

所有参数定义如下：
$A_x, A_y > 0$是空间扩散系数；$\alpha, \beta \in (1, 2]$是里兹阶数；$\theta \in (1, 2]$是记忆核的阶数；$\psi_1, \psi_2 \geq 0$是每个积分的指数衰减参数；$\gamma > 0$是贝塞尔参数；$\omega(\sigma)$是分布式阶权重，满足$\int_{0}^{\infty}\omega(\sigma)\, d\sigma = W > 0$；$\lambda_1, \lambda_2 > 0$是逻辑增长率；$K_1, K_2 > 0$是承载能力；$\eta_1, \eta_2 > 0$是记忆积分内的相互作用系数；$\mu_1, \mu_2 > 0$是二次自相互作用系数；$v_0(x, y), M_0(x, y)$是初始剖面；$\Omega$是带有边界$\partial\Omega$的空间域；$T > 0$是最终时间；$a, b, c, d$是黎曼-刘维尔导数的空间限制。

方程(1.1)和(1.2)定义的耦合分布式阶贝塞尔分数系统在模拟复杂的记忆驱动现象方面代表了重要进展。这些方程通过分布式阶贝塞尔分数导数考虑了异质的时间记忆效应，捕捉了标准单阶或经典分数模型无法表示的多尺度和长期相关性。记忆积分内的两个状态变量$v(x, y, t)$和$M(x, y, t)$之间的耦合使得系统能够反映相互作用、非线性反馈和交叉扩散效应，这些在生物种群、化学反应或耦合传输过程中很常见。里兹空间导数的引入使得能够模拟异质介质中的异常非局部扩散。与经典或单阶分数模型相比，该系统在捕捉记忆效应、空间非局部性和非线性相互作用之间的相互作用方面提供了更大的灵活性和准确性。因此，方程(1.1)和(1.2)为分析具有时空异质性和空间非局部性的复杂物理、生态和工程系统提供了一个统一的、灵活且高度精确的数学框架。

**数值方法**
尽管解析方法在理解分数微分方程的理论结构中起着基础性作用，但其适用性通常仅限于具有理想化假设的简化模型。在许多实际问题中，尤其是涉及分数算子、分布式阶数、非局部核、复杂几何形状、变量系数或非线性项的问题中，封闭形式的解析解要么不存在，要么极其难以推导。另一方面，数值方法为近似这些复杂模型的解提供了一个强大且灵活的框架。它们允许研究人员处理现实的边界和初始条件，探索多维问题，并在解析方法失效时研究解的定性行为。此外，数值方案能够实现高效的仿真、稳定性和收敛性分析以及理论结果的验证。因此，数值方法不仅是解析技术的补充，而且对于现代分数微分方程的实际研究至关重要。近年来，涉及里兹型算子的分数偏微分方程的数值方法受到了广泛研究。?elik和Duman[19]使用Crank–Nicolson方案高效解决了带有里兹分数导数的分数扩散方程，证明了该方法的稳定性和准确性。Almeida[24]研究了基于里兹–Caputo导数的分数问题的变分公式，为分数变分微积分提供了严格的解析框架。Che等人[25]分析了分数反应-扩散系统中的模式形成和复杂动态，强调了里兹分数导数对新兴空间结构的影响。Patra[20]推导了带有里兹分数导数的分数薛定谔方程的解析相似解，展示了其在量子力学中的应用。Shen等人[26]提出了用于时空分数平流-扩散方程的高效数值近似技术，其中涉及里兹–Caputo导数。Shamseldeen等人[27]研究了Caputo–Riesz–Feller分数波动方程，并提供了解析解和近似解以及延续性结果。无网格方法已成为解决分数偏微分方程的引人注目的替代方案，特别是在复杂几何形状上。Dehghan等人[28]分析了一种用于时间分数扩散-波动方程的无网格方法，并严格研究了其稳定性和收敛性。Gu和Sun[29]使用无网格框架解决了具有变阶导数的三维时间分数扩散方程，展示了无网格技术在更高维度中的灵活性。Abbazzadeh和Dehghan[31]开发了一种用于二维分布式阶时间分数扩散-波动方程的改进无网格方法，并提供了误差估计。Mirzaee和Samadyar[32]提出了用于分数随机平流-扩散方程的有限差分和无网格径向基函数方法的组合。Hosseininia等人[33]使用无网格技术研究了涉及Mittag–Leffler核的非线性变阶时间分数反应-扩散方程。Shivanian和Jafarabadi[34]将谱无网格径向点插值方法应用于具有分数导数的广义二级流体的Rayleigh–Stokes问题。Kosari[35]引入了用于分布式阶时间分数平流-扩散模型的混合无网格RBF和B样条方法，而Derakhshan[36]分析了非线性分布式阶Caputo模型的无网格Newmark方案的稳定性和收敛性。

所提出的数值近似方法被选为高效且准确地解决所建议的具有非线性反应项和里兹空间导数的耦合分布式阶贝塞尔分数模型。该模型结合了非局部时间记忆、长程空间相互作用和强非线性耦合，这些特性使得传统数值方法难以直接应用。传统的数值方法（如有限差分、有限元和有限体积法）通常需要结构化的网格、复杂的域离散化和解的高规性。相比之下，所提出的完全离散数值方法结合了时间上的分数卷积积分和基于无网格径向基函数（RBF）的空间离散化，特别适用于分数和非局部模型。该近似方法的一个主要优势是它能够自然地处理非局部算子。分布式阶贝塞尔分数导数引入了时间上的加权记忆效应，而里兹分数导数导致了长程空间相互作用。所采用的数值框架在不引入人工边界条件或对分数算子进行截断的情况下捕捉到了这两种效应。此外，无网格RBF近似避免了网格生成，因此对于复杂几何形状和不规则计算域具有高度灵活性。这种灵活性显著降低了预处理成本，并在将模型扩展到更高维度或异质介质时提高了鲁棒性。完全离散方案在空间上实现了二阶精度，在时间上接近二阶精度，这一点通过收敛性和数值实验得到了验证。与传统的有限差分方法相比，所提出的方法在更少的网格点下提供了更高的精度，从而降低了大规模仿真的计算成本。此外，该方法的矩阵表述形式产生了稀疏且结构良好的线性系统，可以使用标准迭代求解器高效求解。

**论文结构**
本文的其余部分安排如下：第2节介绍了关于分布式阶贝塞尔分数算子的必要预备知识。该节详细描述了左侧贝塞尔分数导数、分布式阶公式及其基本数学特性，为后续的数值开发和分析奠定了基础。定义以严谨且自包含的方式呈现，包括相关的积分表示形式以及与贝塞尔算子相关的超几何函数的属性。第3节重点讨论了使用有限差分方案对分布式阶贝塞尔分数导数的数值近似。首先描述了时间离散化和温控记忆积分的半离散近似。该方法旨在准确处理由分布式阶贝塞尔分数导数产生的卷积型积分，包括积分权重的显式表达式和卷积系数。提供了详细的推导和示例公式，以确保清晰性和可重复性，并强调了时间记忆如何被嵌入到半离散方案中。第4节介绍了半离散方案的收敛性分析。重点讨论了分布式阶贝塞尔分数导数的正性属性，这在建立严格的能量估计中起着关键作用。推导了半离散误差方程，并应用了离散Gr?nwall不等式来证明在适当的规律性假设下时间的二阶收敛性。理论分析为时间近似的稳定性和准确性提供了清晰的理解，为后续的空间离散化奠定了坚实的基础。第5节介绍了使用径向基函数的无网格最小二乘近似方法来求解里兹分数导数。本节描述了在散布节点上近似空间分数阶导数、构造径向基函数以及以矩阵形式表述离散导数算子的方法。该方法允许在没有结构化网格的情况下进行高效且灵活的空间离散化，特别适用于复杂几何形状。详细解释了离散黎曼-刘维尔积分的计算、二阶导数的求值以及在无网格框架中组装全局系统的方法。第6节开发了一种完全离散的数值方案，用于处理耦合的分布阶贝塞尔系统。半离散的时间近似与无网格的空间离散化相结合，构建了一个能够有效求解耦合系统的完全离散方案。使用能量方法严格分析了完全离散方案的收敛性，并证明了其无条件稳定性。提供了明确的矩阵表达式以方便高效实现，并且所有非线性项都经过仔细处理以保持稳定性和收敛性质。第7节专门讨论数值示例和模拟。提出了两组实验：一组具有精确解，用于验证所提方案的准确性和收敛性；另一组没有精确解，通过计算绝对误差和收敛率来展示完全离散方法的有效性。这些示例说明了该方法在解决复杂的耦合分布阶分数系统时的灵活性、准确性和鲁棒性。表格和图表提供了对理论收敛阶数的定量和视觉确认，并讨论了各种模型参数对解行为的影响。最后，第8节提供了结论性意见。总结了该工作的主要贡献，包括开发了一种新颖的耦合分布阶贝塞尔分数模型、基于径向基函数的无网格空间离散化方法、完全离散方案的严格收敛性和稳定性分析以及通过全面数值模拟进行的验证。该部分强调了所提模型和数值方法的新颖性，突出了其在科学和工程领域广泛应用的可能性。

初步介绍：分布阶贝塞尔分数算子
在本节中，我们介绍了将在耦合系统(1.1)-(1.2)中使用的分布阶贝塞尔分数积分和导数算子[12]。设w(t)是在[0, ∞)上足够平滑的函数。带有参数γ>0的左侧分布阶贝塞尔分数积分定义为
(Bγ,0+?δw)(t)=1Γ(2δ)∫0t(τt)γ(t2?τ22t)2δ?1×2F1(δ+γ?12,δ;2δ;1?τ2t2)w(τ)dτ，
其中高斯超几何函数[12]为
2F1(a,b;c;z)=∑k=0∞(a)k(b)k(c)kzkk!,|z|<1，
(q)k表示Pochhammer函数。

使用有限差分对分布阶贝塞尔分数导数进行数值近似
在本节中，我们开发了一种完全离散的数值方案来近似分布阶贝塞尔分数导数。该方法保持了分数积分的结构，包括超几何核，适用于如v(x, y, t)和M(x, y, t)这样的耦合系统。设w(t)是在t∈[0, T]上定义的足够平滑的函数。分布阶贝塞尔分数导数由方程(3.14)定义如下：
Btω(σ)w(t)=∫01Bγ,0+σw(t)ω(σ)dσ，
其中ω(σ)是一个...

半离散方案的收敛性分析
在本节中，我们严格分析了第3.1节中提出的半离散数值方案的收敛性。我们的分析采用了能量方法，该方法提供了一种系统化的方式来估计数值误差随时间的增长，同时考虑了由分布阶贝塞尔分数导数和缓和积分引起的记忆效应。

定理4.1 分布阶贝塞尔分数导数的正性
设?(t)∈C2[0, T]是足够平滑的函数，Btω(σ)是分布阶贝塞尔分数导数...

使用径向基函数的无网格最小二乘法近似Riesz分数导数
在本节中，我们提出了一种无网格数值方法来近似出现在(1.7)、(1.8)和(1.9)中的空间Riesz分数导数。该方法基于径向基函数(RBFs)和最小二乘配置法。Riesz导数用左侧和右侧黎曼-刘维尔分数导数表示，这些导数通过求和法离散化，从而能够在散布节点上进行精确且灵活的评估。设{(xi,yj)}i=1,j=1Nx,Ny...

完全离散数值方案用于耦合分布阶贝塞尔系统
在本节中，我们为在(1.1)和(1.2)中定义的耦合分布阶贝塞尔分数系统提出了一种完全离散的数值方案。目标是离散化时间和空间变量，以便获得实用的计算方法。对于时间变量，我们采用了第3节中描述的半离散方案，该方案考虑了分布阶贝塞尔分数导数和缓和记忆积分。对于空间变量，我们用Riesz...

数值示例和模拟
在本节中，我们提出了一些数值示例来验证为耦合分布阶贝塞尔分数系统(6.83)–(6.84)开发的全离散方案的准确性、收敛性和效率。所有模拟都在具有均匀狄利克雷边界条件的矩形域Ω=[a,b]×[c,d]上执行。时间和空间步长分别用Δt、hx和hy表示。当有精确解时，使用精确解来计算数值误差...

结论
在这项工作中，我们提出了一个新颖的完全耦合的分布阶贝塞尔分数系统，用于两个相互作用变量v(x, y, t)和M(x, y, t)，该系统结合了空间Riesz分数扩散和非线性相互作用项。选择分布阶贝塞尔分数导数使得对记忆效应的建模更加灵活且具有物理意义，而Riesz导数能够捕捉到两个方向上的异常空间扩散。

资助声明
本研究没有收到公共、商业或非营利部门任何特定的资助。

作者贡献声明
Mohammad Hossein Derakhshan：撰写——原始草稿，验证，监督，软件，资源，概念化。
Safar Irandoust-Pakchin：形式分析，方法学，软件，验证，撰写——审阅和编辑。

利益冲突声明
作者确认他们与这项工作没有财务或非财务上的利益冲突。作者声明他们没有已知的可能会影响本文所报告工作的财务利益或个人关系。