具有时变延迟和多链接的随机复杂网络通过模式依赖控制实现概率稳定性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Stability in probability of stochastic complex networks with time-varying delays and multi-links via mode-dependent control

　　董后 | 王海琳 | 赵欣 | 李文雪
哈尔滨工业大学（威海）数学系，威海，264209，中华人民共和国

**摘要**
本文研究了具有时变延迟和多链接的随机复杂网络（SCNTDM）的概率稳定性。这些网络受模式依赖的控制策略支配，该策略在无限可数状态空间上进行马尔可夫切换。在适当的假设下，通过应用图论和李雅普诺夫方法，我们建立了概率稳定性的严格充分条件。此外，还强调了模式依赖的控制策略在实现概率稳定性中的作用。然后将理论结果应用于楚阿电路，并进行数值模拟以验证理论分析的有效性。

**引言**
由于复杂网络在通信、生物和工程系统中的广泛应用，对其研究受到了广泛关注 [1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]。早期的研究主要集中在振荡器的同步模型上，包括Kuramoto模型 [8] 和Winfree模型 [9]。21世纪初复杂网络理论出现后，大量的研究工作致力于阐明网络动态、拓扑结构和耦合机制之间的关系 [10]，[11]，[12]，[13]，[14]。这些研究揭示了诸如小世界 [15] 和无尺度特性 [16] 等普遍特征，这些特征在现实世界系统中经常观察到。此外，这些发现促进了生物学、工程学和金融学等领域能够对实际网络进行建模和分析 [17]，[18]。因此，对网络上的耦合系统（CSNs）的研究具有重要的理论和实践意义。

在现实世界系统中，节点之间的相互作用往往受到时变延迟的影响，这在无线通信和交通网络中屡见不鲜 [19]，[20]，[21]。这类延迟通常取决于系统的内部状态或其环境条件。研究表明，时变延迟可能会使系统变得不稳定，并导致复杂的动态行为，如振荡和分岔 [22]，[23]，[24]。近年来，已经提出了一些方法来分析具有时变延迟的系统，包括具有不等式约束的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数、输入输出框架和分布式延迟近似 [25]，[26]，[27]，[28]。然而，大多数研究集中在确定性或单节点系统上，关于随机耦合网络系统中时变延迟的理论成果仍然相对较少。因此，将时变延迟纳入网络上的耦合系统的建模和分析中对于准确捕捉系统动态和提高控制策略的鲁棒性至关重要。

除了时变延迟外，许多现实世界的网络系统还受到随机干扰的影响，包括环境波动和通信噪声 [29]，[30]，[31]，[32]。这些因素进一步复杂化了系统动态，并对稳定性分析提出了重大挑战。马尔可夫切换已被证明是模拟操作模式之间随机转换的高度有效框架，现有文献大多关注具有有限数量模式的系统 [33]，[34]，[35]。另一方面，反馈控制结构在实际工程系统中得到广泛应用，其非线性和层次特性往往对控制器设计构成挑战 [36]。近年来，提出了基于模式依赖的控制策略，通过利用模式特定信息来提高控制性能 [37]，[38]。此外，段函数的出现为表示网络系统中的延迟依赖行为提供了一种统一的方法 [39]。尽管取得了这些进展，但关于涉及无限状态马尔可夫切换、随机耦合和反馈结构的耦合系统稳定性的理论成果仍然有限 [40]，[41]，[42]，[43]。这类系统（SCNTDM）结合了多种动态机制，在建模和分析方面带来了新的挑战，这激发了本研究的动机。

本文研究的SCNTDM具有广泛的实际背景，例如无线通信网络、智能电网和交通流系统，这些系统通常表现出多种类型的连接、信号传输延迟以及受环境干扰影响的随机切换。将马尔可夫切换扩展到无限可数状态空间，不仅能够更准确地描述现实世界系统中潜在的无限操作模式（如信道状态或负载变化），而且当实际系统中的模式数量足够大时，无限状态公式可以通过截断或概率加权近似有效地近似有限状态系统的行为 [44]，同时避免了由于状态空间截断而导致的动态特性扭曲的风险。

本文通过研究一类非线性耦合系统来应对上述挑战，这些系统结合了耦合、时变延迟、层次反馈结构和在无限可数状态空间上的马尔可夫切换。在所提出的模型中，每个节点都配备了层次反馈结构，系统演化由两个因素控制：遵循马尔可夫过程的模式转换和随机干扰。节点之间的相互作用通过耦合项表示。我们设计了一种模式依赖的控制策略，并使用分段定义的函数在统一的分析框架内管理时变延迟。这种处理大大降低了由多种切换模式引起的分析复杂性。为了进行稳定性分析，为耦合系统构建了一个全局李雅普诺夫函数。结合无穷小生成器理论和积分不等式，我们建立了保证系统状态收敛到概率稳定均衡的充分条件。所提出的方法适用于各种动态网络场景，并有效地描述了在无限可数状态空间下马尔可夫切换下的长期动态行为。与现有结果相比，我们的方法具有更强的通用性和分析灵活性。本研究的主要贡献总结如下：
• 本文研究了一类同时涉及无限可数状态空间中的马尔可夫切换、时变延迟、反馈结构和网络耦合的非线性系统，从而提高了模型的适用性和理论通用性。
• 通过将段函数与模式依赖的控制策略结合起来，我们构建了一种基于李雅普诺夫函数的功能性稳定性分析方法。
• 本研究中推导出的稳定性准则不仅简洁且可验证，而且通过对楚阿电路的理论分析和数值模拟得到了验证，证明了所提出方法的可行性和有效性。

**本文的其余部分组织如下。** 第2节介绍了一些基本符号、定义、引理和主要模型。第3节给出了SCNTDM概率稳定性的核心理论结果。第4节将主要理论发现应用于楚阿电路。第5节提供了数值模拟以验证理论分析。最后，第6节总结了本文。

**符号说明**
在本小节中，我们将介绍一些将在整篇文章中使用的符号，除非另有说明。设 Z+={1,2,?}, n,l∈Z+ 和 L={1,2,?,l}。用 R=(?∞,+∞), R+1=[0,+∞), 和 Rn 表示n维欧几里得空间。符号 |?·?| 表示向量的欧几里得范数或矩阵的迹范数。AT 表示矩阵A的转置。用 diag(a1,?,an) 表示主对角线上有 a1, ???, an 的对角矩阵。让 C([?t0,0];Rn) 表示连续函数的空间。

**主要结果**
在本节中，我们检验了 [39] 中定理3.1的条件，以研究SCSTDM的稳定性。

**定理1**
基于每个顶点系统的局部李雅普诺夫函数 Vk(xk)=|xk|2，在假设1–4下，构造的全局李雅普诺夫函数 V(?t) 满足以下两个性质：
C1：存在常数 c1, c2 > 0，使得对于所有 ?t∈C([?t0,0]→Rn)，以下成立：
c1|?t(0)|2 ≤ V(?t) ≤ c2|?t(0)|2，
其中 V 将在证明中后续定义。
C2：存在常数 δ > 0，函数 a(i)∈R。

**楚阿电路的应用**
楚阿电路因其简单性和易于构建而广泛应用于各个领域。图1(a)展示了一个单一的楚阿电路。实际上，电路参数（如电阻、电容和电感）常常由于外部环境影响而发生变化，可以将其建模为一个由马尔可夫过程 α(t)控制的切换系统。它由以下微分方程描述：
{dvC1(t)dt = 1/R(α(t))C1(α(t)) ? [vC1(t) + vC2(t)] ? 1/C1(α(t))f(vC1(t))

**数值示例**
在本节中，我们将主要理论结果应用于分析楚阿电路的一个具体实例。每个单独的楚阿电路（见图1）被视为有向图 G中的一个节点。我们考虑了一个由10个耦合的楚阿电路组成的复杂网络，该网络可以用一个有10个节点的有向图表示，如图2(a)所示。在网络拓扑中，红色实线、灰色实线和绿色虚线代表不同类型的连接。

**结论**
本文研究了在无限可数状态空间中马尔可夫切换下SCNTDM的概率稳定性。通过引入模式依赖的控制策略并利用段函数来建模延迟依赖的动态，建立了一个统一的分析框架。构建了一个与切换模式无关的全局李雅普诺夫函数，并将概率测度纳入以处理可变的延迟。在适当的假设下，我们……

**作者贡献声明**
董后：撰写——原始稿件、概念化。
王海琳：撰写——原始稿件、软件、概念化。
赵欣：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、形式分析、概念化。
李文雪：撰写——原始稿件、监督、方法论。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响到本文报告的工作。