非局部扩散型捕食者-竞争系统在动态栖息地中的时空动态

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Spatial-temporal dynamics for a nonlocal dispersal predator-competition system in shifting habitats

　　王静|杨飞英|李万通
兰州大学数学与统计学院，中国甘肃省兰州市730000

摘要
本文研究了在特异性栖息地中具有非局部扩散功能的捕食者-竞争系统的空间动态。首先，我们考虑了当\(sv^*\geq su^*\)且\(sv^*< su^*\)时，系统中一对强弱竞争猎物的传播速度。其中，较强的猎物\(u\)以最大线性速度\(su^*\)传播，较弱的猎物\(v\)以最大线性速度\(sv^*\)传播。而当\(sv^*< su^*\)时的相关结果可以通过(Wang等人，Discrete Contin. Dyn. Syst., 44 (2024), 1712–1746)中的相同论证获得。随后，我们得到了系统中一对强竞争猎物的传播速度的三种情况。最终，通过数值模拟，我们发现物种的生存与否取决于环境移动的速度，这与弱竞争情况不同。具体来说，对于强弱竞争猎物的情况，较弱猎物能否生存取决于其自身的捕食率；而对于强竞争猎物的情况，我们也发现速度较慢的猎物能否生存同样取决于其自身的捕食率。

引言
众所周知，生物种群生存的环境受到多种因素的影响，如地理位置、季节以及人类社会的工业化。这些因素往往使环境变得异质化，并对物种生存、物种进化以及传染病的传播产生重要影响。因此，在这种时空异质性背景下研究非线性演化方程（或系统）具有重要的实际意义。具体而言，正如[1]中所提到的，气候变化已经对生物种群的迁移、新物种的繁殖和扩散、生物与非生物环境之间的相互作用以及生物多样性产生了影响。许多生物学家和数学家推导出具有不同生长项的反应-扩散方程来研究气候变化对种群规模的影响，其中移动坐标的形式出现在线性反应或扩散项中，例如\(f(x?ct,u)\)。目前，反应-扩散模型在各种类型变化环境中的时空传播理论引起了研究人员的极大兴趣。例如，Coville [2]、Leenheer等人 [3]、De Leenheer等人 [4]、Hu等人 [5]、Li等人 [6]、Wang和Zhao [7]、Zhang和Zhao [8]、Qiao等人 [9]、Meng等人 [10]、Wang和Li [11]、Wang和Wu [12]、Zhou和Kot [13]、Wu、Wang和Zhang [14] 研究了反应-扩散方程（系统）的传播动态。最近，Qiao、Li和Wang [15] 考虑了在周期性变化栖息地中具有非局部扩散功能的弱竞争和强弱竞争Lotka-Volterra系统的强迫波和传播速度。关于进一步的研究，我们建议感兴趣的读者参考[16]。

值得指出的是，生态系统中的物种相互作用非常复杂。竞争和捕食之间的相互作用尤为显著。多年来，多种生态关系的结合吸引了研究人员对三物种模型的关注。然而，研究三物种系统的主要困难在于该系统不服从比较原理，这使得一些经典方法（例如迭代方法）无法直接应用。因此，研究人员采用了动态系统方法来解决这一问题 [17]、[35]。此外，变化环境中的三物种系统表现出复杂的动态行为，例如多层传播现象，这带来了额外的挑战。目前，已经有一些关于三物种系统随机扩散的研究结果。例如，Ahn等人 [18] 考虑了以下系统的相应柯西问题：
\(\{ut=d1uxx+r1u(α(x?st)?u?hv?aw),x∈R,t>0,\ vt=d2vxx+r2v(α(x?st)?ku?v?aw),x∈R,t>0,\ wt=d3wxx+r3w(?1+bu+bv?w),x∈R,t>0,\)对于 \(0 < h, k < 1\)，其中参数 \(h, k\) 表示竞争率。随后，Giletti和Guo [19] 在 \(h < 1 < k\) 的情况下检查了系统(1.1)的强迫波的存在性。然而，关于长距离扩散（即[20]、[34]中的非局部扩散算子）的进展相对有限。这是由于算子本身或其逆算子的非紧凑性，导致系统中相应解的规则性较低。Wang等人 [21] 通过提高核函数的规则性解决了这个问题，以研究相应非局部扩散系统(1.1)的传播速度。关于具有随机扩散或非局部扩散的三物种系统的强迫波和传播速度的进一步研究可以在[22]、[23]、[24]、[25]中找到，而离散扩散系统则在[27]中进行了研究。然而，这些研究都没有考虑参数如何影响物种的生存。在本文中，我们考虑了以下柯西系统：
\(\{ut=d1(J1*u?u)(x,t)+r1u(α(x?st)?u?hv?a1w),x∈R,t>0,\ vt=d2(J2*v?v)(x,t)+r2v(α(x?st)?ku?v?a2w),x∈R,t>0,\ wt=d3(J3*w?w)(x,t)+r3w(?1+b1u+b2v?w),x∈R,t>0,\ u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x)\)对于 \(h, k > 1\)。我们打算使用数值模拟来分析当环境以相对较低的速度移动时捕食率如何影响物种的生存——这与之前的文章方向不同。

为了得到我们的结果，我们在文章中首先做出了一些合理的假设。所有参数都是正的。我们规定 \(b1 > 1\) 或 \(b2 > 1\) 以确保捕食者能够生存。生长率函数 \(\alpha(\cdot)\) 是连续的、非递减的、有界的，并且满足 \(\alpha(?∞)<0<α(∞)\)。不失一般性（经过重新缩放），我们将 \(\alpha(∞)=1\)。核函数 \(ji(\cdot)\)（\(i=1,2,3\)）满足 \(ji(\cdot)\in c(r,r^+)\)，\(ji(?x)=Ji(x)\geq0\)，\(\int_R ji(x)dx=1\) 以及对于任何 \(\lambda \in (0, \lambda_0)\)，\(\int_r ji(x)e^{\lambda x}dx<∞\)，其中 \(\lambda_0\in (0,+∞]\)，\(i=1,2,3\)。 接下来，我们介绍一些预备知识。设 \(x=\{w(x)|w(x):R\to r\}\) 是有界的且均匀连续的，其范数为 \(\|w\|_x=\sup_x\|w(x)\)|\)。那么 \((x, \|·\|_x)\) 是一个巴拿赫空间。定义 \(x_d=\{w\in x:0\leq w(x)\leq d,\forall x\in r\}\)。我们定义集合 \(d\subset x^3\) 为 \(d=\{(u,v,w)\in x^3:0\leq u\leq1,0\leq v\leq1,0\leq w\leq b1+b2?1\}\)。我们的初始数据总是选择在集合 \(d\) 中。这里我们指出，集合 \(d\) 在由系统(1.2)生成的半流 \({s(t)}t\geq0\) 下是正不变的。 由此可知，关于(1.2)的常数平衡解有：(0,0,0)，\(e_1=(1,0,0)\) 和 \(e_2=(0,1,0)\)。此外，(i) 如果 \(b1> 1\)，存在一个半共存状态 \(E_3=(up,0,wp1)\)，其中 \(up=1+a_1^1+a_1b_1\) 且 \(wp1=b_1^{1?1}+a_1b_1\)。另外，如果 \(β_1=1?ku^{up?a_2wp1}>0\)，则 \(E_3\) 是不稳定的；(ii) 如果 \(b2 > 1\)，存在一个半共存状态 \(E_4=(0,vp,wp2)\)，其中 \(vp=1+a_2^1+a_2b_2\) 且 \(wp2=b_2^{1?1}+a_2b_2\)。另外，如果 \(β_2=1?hvp?a_1wp2}>0\)，则 \(E_4\) 是不稳定的；(iii) 在参数 \(a_1, a_2, b_1, b_2, h, k\) 满足 \(u^*, v^*, w^*\geq0\) 的条件下，存在一个稳定的共存状态 \(E_5=(u^*,v^*,w^*)\)，其中 \(u^*=1?h+a_2(b_2?h)?a_1(b_2?1)^{1?hk+a_2(b_2?hb_1)+a_1(b_1?b_2k)\)，\(v^*=a_1(b_1?k)?a_2(b_1?1)^{1?hk+a_2(b_2?hb_1)+a_1(b_1?b_2k)\)，\(w^*=b_1(1?h)?b_2(k?1)^{1?hk+a_2(b_2?hb_1)+a_1(b_1?b_2k)\)。定义 \(u^*:=\inf_{\lambda>0}\frac{d1}{\int_R J_1(y)e^{\lambda y}dy?1}\)，\(sv^*:=\inf_{\lambda>0}\frac{d2}{\int_R J_2(y)e^{\lambda y}dy?1}\)，\(sw:=\inf_{\lambda>0}\frac{d3}{\int_R J_3(y)e^{\lambda y}dy?1}+r3(?1+b_1+b_2)\lambda\)。

基于以上定义，本文的结构如下。在第2节中，我们考虑了具有一对强弱竞争猎物（\(h < 1\)）的系统(1.2)的传播速度，分为两部分，即 \(sw>min\{su^*,sv^*\}\) 和 \(swsv^*\) 的情况，我们使用数值模拟方法来获得三种物种的最终大小（见定理2）。特别是，我们找到了三种物种能够共存的区域，以及当环境移动速度相对较低时强者与捕食者能够共存的区域。在第3节中，具有强竞争猎物（\(h > 1\)）的系统(1.2)的结果（见定理5–8）是通过[21]中的相同论证得出的。此外，我们还发现对于 \(h > 1\)，速度较慢的竞争者\(v\) 是否能生存取决于捕食率；对于 \(h < 1\)，速度较慢的猎物\(v\) 是否能生存取决于当强者\(u\) 以更快的速度传播时\(v\) 的捕食率。