一种用于参数化瞬态达西流在多孔介质中替代建模的离散神经算子，具备自适应采样功能

《Computers & Fluids》：A discrete neural operator with adaptive sampling for surrogate modeling of parametric transient Darcy flows in porous media

　　陈正龙|张赵|严夏|翟家宇|刘培阳|张凯
山东大学数学与跨学科科学研究中心，中国山东省青岛市266237

**摘要**
本研究提出了一种新的离散神经算子，用于具有随机参数的异质多孔介质中瞬态达西流场的替代建模。该方法整合了时间编码、算子学习和UNet来近似随机参数的向量空间与时空流场之间的映射关系。该算子基于有限体积方法，采用渗透率矩阵而非渗透系数作为替代模型的输入，以提高预测精度。此外，为了提高采样效率，开发了一种生成式潜在空间自适应采样方法，该方法利用高斯混合模型对样本空间中的泛化误差进行密度估计。通过对2D/3D单相和两相达西流场的测试案例进行验证，结果表明在有限的训练集条件下预测精度得到了显著提升。

**引言**
随着人工智能和深度学习的发展，由AI驱动的科学计算在求解偏微分方程（PDEs）方面取得了显著进展[1]、[2]、[3]。深度神经网络与PDE解决方案的结合已成为计算数学和数值分析中的变革性范式。作为描述物理系统的基本数学工具，PDEs用于描述流体动力学、热传递和电磁场传播等过程。经典的数值方法（如有限差分法、有限元法和有限体积法）长期以来一直是PDE离散化的基石。然而，这些传统方法在处理高维参数空间、不规则域以及需要大规模并行的高性能计算场景时常常遇到计算瓶颈。深度学习通过利用函数空间的通用逼近特性，建立了一种数据驱动的范式。这种方法在提供高效的PDE相关问题解决方案方面表现出巨大潜力，尤其是在涉及非线性算子和随机参数的情况下。包括卷积神经网络（CNN）用于空间相关性、循环架构（RNN）用于时间演化以及基于注意力的Transformer用于多尺度交互等方面，已被证明在构建PDE替代模型方面非常有效。值得注意的进展是神经算子的发展[4]、[5]、[6]，例如Lu等人（2021年）提出的DeepOnet[7]和Li等人（2020年）提出的Fourier Neural Operator[8]。这些方法通过学习函数空间之间的映射关系，实现了在不同输入和连续空间参数下有效求解PDE的能力。对于多孔介质中的地下流动，物理参数具有高度异质性。这类流动的替代建模可以自然地被视为离散域中的图像到图像学习。张赵[9]、[10]构建了一个基于离散物理信息的CNN模型，用于模拟瞬态两相达西流动及其替代建模[11]、[12]、[13]、[14]、[15]。

在本文中，我们提出了一种新的离散算子学习结构，该结构结合了自适应采样技术，用于在训练数据有限的情况下对地下达西流动进行替代建模。由于地下水库模拟通常成本高昂，我们只能获得有限数量的标记样本。本文的核心思想是通过优化网络结构和采样算法来提高预测精度。已经开发出神经算子来近似连续函数空间之间的映射关系。基于UNet，提出了一种新的离散神经算子，用于与有限体积离散化相关的向量空间，以提高预测精度。此外，还在潜在空间中构建了自适应采样算法，以生成质量更高的样本。

**结构安排**
第2节阐述了控制多相达西流动在异质多孔介质中的PDEs。第3节介绍了结合地质先验知识的嵌入算法，通过注意力残差卷积算子学习实现。第4节介绍了用于时空预测的自适应采样和ARonet结构。第5节展示了验证测试案例。

**章节概述**
- **初步准备和问题设定**：本节建立了具有异质随机参数场的单相达西流动和两相不可压缩流动在多孔介质中的离散化方案，以及用于构建替代模型的神经算子架构。
- **通过神经网络学习PDE解决方案**：解决与地下流动相关的PDEs的传统数值方法已经很成熟。对于参数化的PDEs，需要对每个随机参数场的实现进行数值模拟。本工作的目标是为给定的异质参数场实现构建准确的时空替代模型，以实现实时响应。该模型接受随机参数的实现，并返回相应的PDE解决方案。
- **潜在空间中的自适应采样**：根据[26]、[27]中建立的理论框架，基于NN的替代模型的总误差包括两部分：由于模型能力限制导致的近似误差和由于训练数据有限而产生的统计误差。考虑一个抽象问题公式 Lu(x) = s(x)，?x∈Ω，其中L表示包含边界条件的控制微分算子，Ω表示完整样本空间，u(x)表示PDE解场，s(x)是输入参数。
- **数值验证**：本节主要展示了使用前几节介绍的方法进行实验后的结果，包括不同模型方法的误差分布图、不同模型相对误差的表格以及测试示例的预测结果。

**结论**
我们开发了一种离散神经算子ARonet，用于替代建模具有随机参数的异质多孔介质中达西流动的时空场。实现了时间嵌入，以实现所有时间步长的端到端映射。DeepOnet和ARUnet结合使用，提高了参数空间中算子学习的精度。使用从FVM得到的渗透率矩阵作为输入，可以获得更高的精度。

**作者贡献声明**
- 陈正龙：撰写——原始草案、验证、方法论、调查、形式分析。
- 张赵：撰写——审阅与编辑、验证、方法论、概念化。
- 严夏：验证、方法论。
- 翟家宇：形式分析。
- 刘培阳：验证。
- 张凯：监督。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**
本研究得到了中国山东省自然科学基金（项目编号ZR2024MA057）、中国中央高校基本科研业务费以及山东大学青年人才未来计划的支持。