将多边形块之间的交互关系编码为图神经网络，以实现快速且准确的接触力计算

《Computers and Geotechnics》：Encoding Interactions between Polygonal Blocks into Graph Neural Network for Fast and Accurate Contact Forces

　　姜峰 | 吴伟 | 王曦 | 杜彦良 | 朱和华
同济大学土木工程学院，上海，中国

摘要
在离散变形分析（DDA）中，接触力计算的隐式处理需要开-闭迭代（OCI）来达到收敛的接触状态，从而获得更准确的接触力，这使得可以使用比显式离散元方法（DEM）更大的时间步长。然而，为了提高精度，单一步的计算效率显著降低。为了解决这一瓶颈，本研究探索了一种新的数据驱动范式，研究图神经网络（GNNs）学习控制接触状态转换的复杂物理定律的能力。通过将DDA接触系统重新表述为动态图，我们提出了一个基于GNN的替代模型，该模型利用图网络的显式拓扑编码和局部信息传递，直接将块体的几何和运动状态映射到收敛的接触状态（开启、锁定或滑动），从而绕过了传统的迭代过程。通过全面的数值实验，严格验证了这种方法的可行性和物理真实性。所提出的模型对于三种类别的接触状态实现了超过97%的整体准确性，并在机械关键的开启-关闭分类中超过了99%的准确性。它展示了在未见过的摩擦系数下的强大泛化能力，有效捕捉了莫尔-库仑准则。此外，由于图网络的规模不变特性，经过训练的模型可以成功泛化到不同规模的接触数而无需重新训练。在颗粒柱坍塌的基准模拟中，GNN驱动的框架准确地再现了关于流动运动学和动态压力演化的实验观察结果，证实了替代模型保证了全局系统中的有效载荷传递和能量一致性。通过用直接推断替代迭代的OCI，所提出的方法在复杂实验场景中的计算加速范围从1.90倍到大规模系统中的5.4倍不等。本研究证明GNNs能够有效地近似接触力学的物理特性，为加速非连续介质模拟提供了一条可行且有前景的途径。

引言
离散变形分析（DDA）是一种用于模拟块状系统的变形、相互作用和运动的成熟数值方法，已广泛应用于岩石力学和岩土工程（Shi和Goodman，1985；Shi，2024）。通过将岩体表示为由刚体运动和小弹性变形控制的离散块体组成，DDA特别适合模拟具有大位移、块体分离和复杂接触相互作用的系统（Ni等人，2020b；Wu等人，2020；Xu等人，2022；Zhu等人，2016；Fan等人，2026a；Fan等人，2026b）。由于其隐式公式和与有限元位移插值的兼容性（Jing，1998），DDA表现出无条件的数值稳定性，并且即使在相对较大的时间步长下也能施加非穿透约束（Doolin和Sitar，2004；Lin和Xie，2015；Fan等人，2022）。这些有利特性在很大程度上依赖于准确且稳健的接触建模，这是DDA和其他基于非连续介质方法的核心。

在DDA中，接触建模包括两个部分：接触检测和接触力计算。首先根据几何和运动学标准识别潜在的接触（Ni等人，2020a；Wang等人，2022b；Wang等人，2019；Wu等人，2025），然后通过嵌入全局刚度矩阵中的惩罚弹簧来施加接触约束。使用开-闭迭代（OCI）来确定接触状态，以确保每个时间步长内满足非穿透和非拉伸条件。当接触被分类为关闭时，插入一个法向惩罚弹簧以施加不重叠约束；如果法向接触力变为拉伸力，则接触被重新分类为开启，并移除惩罚弹簧（Hatzor等人，2017；Jiang和Yeung，2004）。在经典的OCI框架中，接触状态通过重复组装和求解全局平衡方程来迭代更新。在此过程中，接触可能在开启和关闭状态之间切换，而关闭的接触根据莫尔-库仑准则可能进一步在锁定和滑动状态之间转换。当连续迭代之间没有接触状态变化时，迭代被视为收敛。如果在规定的迭代次数内无法达到收敛，时间步长将自动减小，表明相互作用的时间尺度短于所选的时间步长（Wu等人，2021a）。尽管OCI在概念上简单且被广泛采用，但它构成了DDA模拟中的一个主要计算瓶颈（Fu等人，2016）。重复组装和求解大的全局系统显著增加了计算成本，特别是对于涉及大量块体和快速演变接触网络的模拟。近年来，提出了许多对经典OCI的改进和替代方案，包括更严格的收敛标准（Wu等人，2020；Wu等人，2021a）、拉格朗日和增强拉格朗日公式（Bao等人，2014；Cai等人，2000；Lin等人，1996）、锥互补理论（Zheng等人，2016）以及显式时间积分方案（Mikola和Sitar，2013；Peng等人，2020；Wang等人，2022a）。虽然这些方法在某些方面提高了精度或稳健性，但它们通常引入了额外的未知数，增加了算法复杂性，或需要更小的时间步长。

在这项研究中，我们采用了完全不同的视角。我们观察到，在经典OCI收敛的预定时间步长下，得到的接触状态配置是稳定且可重复的。在这种条件下，OCI有效地定义了从块体系统的当前机械状态到收敛接触状态的确定性映射。这意味着控制接触转换的复杂物理定律可以直接从数据中学习。这一观察结果激发了使用数据驱动方法来近似这种潜在的物理映射的动机，而不是显式执行昂贵的迭代过程。

近年来，数据驱动和机器学习方法作为加速计算力学数值模拟的强大工具而出现（Wang和Yin，2025；Wang和Yin，2024；Xu和Shen，2022）。在这些方法中，图神经网络（GNNs）为在表示为图的不规则、非欧几里得数据上学习提供了自然且灵活的框架（Scarselli等人，2009；Wu等人，2021b）。通过显式编码交互拓扑并通过信息传递实现局部信息交换，GNNs特别适用于受局部相互作用和复杂关系结构控制的系统。最近的研究证明了GNNs在接触丰富的和基于粒子的系统中的有效性。例如，Mandal等人（2022）预测了颗粒组装中的力链结构，并展示了对未见过的配置的强泛化能力。Li等人（2023）使用GNNs预测了颗粒材料中的接触力网络，而Aminimajd等人（2025）对密集颗粒悬浮液中的摩擦接触网络进行了建模。这些研究突出了GNNs直接从图结构表示中捕捉接触相互作用本质物理特性的潜力。

受这些进展的启发，本研究探索了使用GNNs作为DDA中接触状态确定的替代方法。DDA中的接触相互作用系统自然形成一个图，块体通过动态演变的接触进行交互。所提出的方法不是依赖于传统的开-闭迭代，而是将DDA接触网络重新表述为图，其中块体和潜在接触表示为具有物理意义的节点和边。然后使用训练有素的GNN来推断给定时间步长下每个潜在接触的收敛接触状态（开启、锁定或滑动）。通过绕过显式的开-闭迭代，所提出的方法显著降低了计算成本，同时保持了原始DDA公式的物理一致性。

本文的其余部分组织如下。第2节概述了DDA，并介绍了基于图的接触网络表示以及用于接触状态预测的GNN公式。第3节描述了数据集构建、网络架构和训练策略。第4节提供了数值示例来评估所提出方法的准确性和效率。最后，在第5节得出结论。

**DDA概述**
在DDA中，可变形块体被视为基本的计算单元。每个块体的位移分解为刚体运动和内部变形。块体i的广义位移向量表示为
\[Di = uc + vc\] \[r\] \(\varepsilon_x\varepsilon_y\gamma_{xy}^T\)，
其中\(uc\)和\(vc\)表示质心\((x_0, y_0)\)的位移；\(r\)是刚体旋转；\((\varepsilon_x,\varepsilon_y,\gamma_{xy})\)分别是法向应变和剪切应变。块体i上任意点\((x,y)\)的位移\((u,v)\)可以表示为