二维粗糙裂缝中牛顿流体稳态湍流的数值求解

《Computers and Geotechnics》：Numerical solution of steady-state turbulent flow of newtonian fluid in a two-dimensional rough fracture

　　陶丽|张强|陈忠伟|韩桂雷
中国矿业大学力学与土木工程学院，中国徐州221116

**摘要**
岩石体内的粗糙裂缝广泛存在，是流体流动的主要通道。根据雷诺数的不同，流体流动通常可以分为层流和湍流。由于流线高度无序以及明显的涡旋结构，湍流本身就难以准确预测。复杂的裂缝结构进一步加剧了流动行为的复杂性。为应对这些挑战，本研究提出了一个基于雷诺平均纳维-斯托克斯方程（RANS）的湍流模型，并对近壁区域进行了精细化处理。该模型通过数值模拟得到了验证，能够很好地评估粗糙裂缝中的时间平均压力和速度分布。结果表明，波动速度的方向与剪切方向一致，并且随着剪切位移的增加而减小。当裂缝开口增大时，沿主流方向的峰值波动速度显著增加。随着雷诺数的增加，湍流耗散成为主要的能量损失机制。这种现象在粘性亚层稍上的区域尤为明显，最大湍流能量损失发生在y/h ≈ 0.03时。此外，在湍流条件下，水力梯度与流量之间的高阶非线性关系与经典的Forchheimer二次模型存在显著偏差，尤其是在较高雷诺数或复杂裂缝几何形状的情况下。所提出的湍流模型为描述粗糙裂缝中的湍流特性和理论研究提供了实用的参考。

**引言**
在地质过程的长期影响下，岩石体内形成了大量的粗糙裂缝。这些裂缝构成了复杂的渗流网络，是控制流体迁移和传输的主要通道（Zhang等人，2017；Zhang等人，2018）。由于几何结构的巨大差异，裂缝内的流动行为具有高度不确定性，使得准确预测变得极其困难（Xiong等人，2019；Xiong等人，2020）。图1显示了裂缝的发展过程及流体流动状态。根据雷诺数的不同，流体流动状态可分为层流和湍流。在层流中，流体沿着规则路径移动；而湍流则以强烈的不稳定性、无序的流线和明显的涡旋结构为特征，这大大增加了流动行为的分析难度。因此，研究粗糙裂缝中的湍流行为不仅更具挑战性，也是揭示流体流动机制的理论基础和关键支持。

早期的关于流体流动特性的研究包括变粗糙度管道模型（Nikuradse，1933）和平板通道模型（Lomize，1951）。然而，随着人们对裂缝流动复杂性的认识越来越深入，推动了众多新理论和方法的发展（Konzuk和Kueper，2004；Wang和Cardenas，2016；Wang等人，2020）。裂缝流动研究的主要挑战之一是自然裂缝的复杂几何形状。在宏观尺度上，岩石体可以表示为单一裂缝或相互连接的裂缝网络（Finenko和Konietzky，2024a；Finenko和Konietzky，2024b）。但在微观尺度上，节理表面形态和粗糙度的差异显著增加了准确描述流动行为的难度（Crandall等人，2010；Zou等人，2017）。早期的研究通常使用基于线性达西流的平滑平行板模型，并从纳维-斯托克斯方程推导出经典的立方定律（Dimadis等人，2014；Brush和Thomson，2011）。许多研究者通过引入机械开口、等效水力开口和节理粗糙度等参数对立方定律进行了修正（Barton等人，1985；Xie等人，2015）。然而，随着流速的增加，水力梯度与流量之间的关系逐渐变得非线性（Zimmerman等人，2004；Zhang和Nemcik，2013）。为了捕捉这种非线性行为，引入了Forchheimer方程（Bear，1972；Liu等人，2016a；Liu等人，2016b），后续研究提出了在非达西流动状态下估算水力参数的方法（Javadi等人，2010；Zhou等人，2016；Liu等人，2020）。对于更为复杂的裂缝，Huang等人（2024）提出了一个多平行板等效模型和一个改进的有效流动阻力模型，该模型基于立方定律和等效水力回路，从而建立了在三轴应力下裂缝开口变化的控制方程。然而，Forchheimer方程的经验性质限制了其适用性，前述研究主要集中在通过各种建模方法简化裂缝结构以实现水力计算。

除了裂缝结构本身的影响外，流体的流动状态也是控制其水力行为的关键因素。在实际流动过程中，较高的流速会使流体大多处于湍流状态（Skjetne等人，1999；Klammler等人，2016；Huang等人，2018）。Anthonyrajah等人（2013）引入了壁面剪切应力，并结合李点对称性分析了裂缝内的湍流流动，推导出裂缝长度、体积和半宽度的群不变解，并分析了平均流速的演变。Basu和Chakrabarti（2018）基于连续介质动力学开发了一个裂缝流动模型，观察到裂缝形态与湍流速度分布之间的相似性。Zhu（2018）提出了一个基于分形开口和裂缝网络方向的有效裂缝概念，并推导出与分形特性、流动行为和水力梯度相关的有效开口解。该方法不依赖于达西定律，能够在一个理论框架下统一层流和湍流。Wang等人（2022）考虑了从湍流到层流的转变，并建立了透水和不透水储层的平面裂缝模型。研究表明，流体泄漏会增强裂缝内的湍流强度，湍流起始的阈值时间取决于流体性质和储层参数。Fang等人（2022）通过分离单个裂缝内的层流和湍流流动，模拟了二维和三维裂缝网络中的稳态地下水流动。然而，使用层流方程往往会高估地下水速度，而湍流方程可能低估它。裂缝开口对不同流动状态及二维或三维裂缝流动之间的潜在误差有显著影响。

然而，现有关于粗糙裂缝中湍流特性的研究主要依赖于数值模拟，近壁区域的处理仍然是一个关键问题。同时，裂缝中的流量与水力梯度之间存在非线性关系。但实际上，由于裂缝几何形状和流动状态的变化，这种关系更为复杂。为应对这些挑战，本研究提出了一个基于RANS的粗糙裂缝中湍流特性的理论模型，并对近壁区域进行了精细化处理。讨论了时间平均压力和速度的空间分布，进一步分析了波动速度、能量损失和非线性行为。结果表明，所提出的湍流模型能够有效评估不同节理粗糙度、裂缝开口和剪切位移下粗糙裂缝中的水力特性。

**部分摘录**
**粗糙裂缝的稳态湍流模型**
在流体力学中，湍流是指流体质量点表现出随机波动的流动状态，而稳态湍流则是恒定湍流的附加时间属性，具体指的是流场的时间平均参数不随时间变化的湍流形式。尽管瞬时量仍有随机波动，但其统计平均值保持稳定。两者之间的核心区别在于湍流的...

**粗糙裂缝模型的构建**
Barton（1973）提出的标准节理粗糙度曲线是表征岩石粗糙度最常用的方法，已广泛应用于裂缝渗流研究中。它通过节理粗糙度系数（JRC）量化表面粗糙度，有效反映了裂缝表面的物理特性。为了系统研究不同JRC对流动特性的影响，建立了四个代表性的粗糙裂缝模型...

**时间平均和瞬时水力梯度的定义**
水力梯度（J）是水力分析中的关键物理量，用于描述单位长度的压头损失，J=-ΔP/L。它受到流体性质、裂缝特性和流动条件的影响。Forchheimer方程J=AQ+BQ2通过引入二次速度项能够很好地描述某些非线性流动行为，适用于裂缝或多孔介质中的过渡流动或弱湍流状态（Chen等人，2015；Zhang等人，2015；...）

**结论**
本研究提出了一种量化粗糙裂缝中湍流特性的理论模型。基于这一理论框架，系统地分析并讨论了流体的非线性行为。主要结论如下：
(1) 本研究提出的流动模型能够有效表征粗糙裂缝内的湍流行为，准确捕捉了压力和速度场的分布模式。该模型考虑了实际...

**作者贡献声明**
陶丽：撰写——审阅与编辑、原始稿撰写、可视化、验证、软件使用、资源准备、方法论、调查、形式化分析、数据整理、概念化。
张强：撰写——审阅与编辑、监督、资源准备、方法论、调查、资金获取、概念化。
陈忠伟：撰写——审阅与编辑、监督、资源准备。
韩桂雷：撰写——审阅与编辑、监督、资源准备。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**
作者感谢国家自然科学基金（52474157，52074269）和中国留学基金委员会项目（202406420057）的财政支持。