在波数限制条件下，利用随机傅里叶方法生成的合成湍流中能量与谱一致性的评估

《Computers & Fluids》：Evaluation of energy and spectral consistency in synthetic turbulence generated by the random Fourier method under wavenumber bounds

　　林鸿源|刘毅|王世召
中国科学院力学研究所，北京100190

摘要
随机傅里叶方法（RFM）因数学上的简便性而被广泛用于生成合成湍流。然而，预设输入与合成结果之间仍存在偏差，而这些误差的根源尚未得到充分评估，这主要是由于历史上依赖于经验波数界限。本研究评估了波数界限对RFM生成的湍流动能和能量谱一致性的影响。研究结果表明，重新校准谱系数是一致性的前提，但单独这样做是不够的。我们发现，提高上限波数界限可以通过减少与有限网格分辨率相关的误差来提高动能的一致性，而这些误差在校准后仍然存在。降低下限波数界限可以消除仅通过增加傅里叶模式数量无法解决的谱缺陷。此外，我们发现，将波数界限扩展到奈奎斯特极限之外以恢复湍流动能会违反网格约束，并通过引入混叠伪影而降低谱的保真度。这些发现阐明了波数界限在确保RFM生成的合成湍流的能量和谱一致性方面的不同作用，为流体力学应用中选择参数提供了实际指导。

引言
合成湍流的生成对于各种理论、数值和建模研究至关重要[1]、[2]，应用范围从宽带空气动力学[2]、[3]、[4]到粒子扩散[5]、[6]、[7]。最近，由于涡流分辨率计算流体动力学的巨大进步，合成方法因其效率而受到了广泛关注[8]、[9]。它们现在被广泛用于构建真实的边界条件，为直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和分离涡模拟（DES）[1]、[10]、[11]提供湍流流体，并为混合雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）/LES方法[12]提供非稳态界面。然而，如果生成的湍流不够准确，可能会引入人为噪声伪影或扭曲正在研究的物理机制[8]、[13]。因此，以预设的统计属性生成合成湍流是一个关键挑战。
在过去的几十年中，提出了许多合成湍流生成技术，包括随机傅里叶方法（RFM）[5]、[14]、合成涡流方法（SEM）[10]、[11]、[15]、[16]和数字滤波方法[2]、[8]、[17]。数字滤波方法由于其能够满足预设的雷诺应力和积分尺度而成为一种有前景的方法[2]。同时，Jarrin等人[10]引入了SEM，为LES生成湍流边界条件提供了一个有效的框架。Poletto等人[11]随后提出了一个无散度的SEM版本，以满足旋度约束，Skillen等人[15]在精度和计算效率方面进一步改进了SEM。另一方面，RFM由Kraichnan[5]首次提出，由于其概念上的简单性和便利性而得到了广泛应用[1]、[18]。值得注意的是，RFM在统计一致性方面存在两个主要缺陷：（i）能量级别的误差，表现为总湍流动能（TKE）的差异[19]；（ii）谱级别的误差，表现为离散波数范围内的湍流动能谱（E(κ)）的失真[18]。
关于TKE的一致性，湍流动能谱的谱系数和允许的波数范围都至关重要。Karweit等人[23]将Pao的谱修正[20]、[21]纳入冯·卡门谱[22]，建立了广泛采用的冯·卡门-鲍谱，该谱提供了谱和波数幅度之间的显式关系。Béchara等人[24]进一步通过TKE和耗散约束表达了系数，但没有提供具体数值。Bailly和Juvé[25]假设了无限雷诺数，忽略了指数项，并提出了特定系数。最近，Guglielmi等人[19]引入了一个局部调整方程，以使合成TKE与目标TKE更加一致。然而，系数校准依赖于理想化的谱表示，且在有限网格分辨率下持续的残余TKE误差尚未得到系统评估。

E(κ)的一致性主要由波数范围决定。选择其下限和上限κmin和κmax的各种标准总结在表1中。Karweit等人[23]根据实验数据限制了范围；Béchara等人[24]使用了积分尺度和Kolmogorov波数；Bailly和Juvé[25]将范围与计算域大小和网格分辨率联系起来；Casalino和Barbarino[26]提出了一种经验系数方法。这些标准大多基于物理尺度（例如积分尺度），而不是数值设置（例如计算域大小和网格分辨率）。因此，当经验定义的界限与实际网格约束不一致时，可能会出现意外误差。Saad等人[18]、[27]进一步将波数范围与采样理论联系起来，明确将范围与网格约束联系起来。然而，他们的分析没有包括谱系数校准，导致TKE的显著差异。此外，他们报告了两个未解决的问题：（i）在积分尺度附近持续的能量缺陷，无法通过增加模式数量或采用对数分布来消除；（ii）谱误差与模式数的非单调依赖性，超过104个模式后误差再次增加，但仍保持在5%–10%之间。这些未解决的问题表明，仅仅增加模式数量不足以确保谱一致性，波数界限的重要性将在本工作的后续部分进一步阐明。
总之，虽然以前的研究已经解决了系数确定或提出了经验波数标准，但对误差来源的关注较少，这可能导致实际应用中的意外差异。在本工作中，我们阐明了波数界限对湍流动能和能量谱一致性的影响。结果表明，TKE误差主要源于高波数截断，而E(κ)误差源于低波数覆盖不足，并强调在选择波数时必须考虑网格约束以避免非物理差异。这些结果阐明了RFM的误差来源，并为提高计算流体动力学和计算空气动力学应用中的统计一致性提供了实际指导。

本文的其余部分安排如下。第2节介绍了理论框架和误差定义。第3节讨论了测试案例及其相应的结果。最后，在第4节得出结论。

随机傅里叶方法的基础
随机傅里叶方法用于在离散网格上生成满足预设统计约束的波动速度场，使得离散能量谱在网格允许的波数范围内与目标谱匹配，总湍流动能与预设值匹配。实际上，该方法通过叠加一组有限的随机傅里叶模式来合成湍流。首先，目标能量谱是……

数值实验设计与基础参数
在预设的湍流动能谱中，合成湍流的统计特性受到谱系数和用于合成的波数范围的双重影响。在数值实现中，这个范围实际上受到方程（13）的约束：计算域大小L决定了理论下限κmin，而空间网格分辨率Δx决定了上限奈奎斯特限制κmax。因此，改变网格参数会修改波数范围。

结论
本研究系统地评估了在使用随机傅里叶方法（RFM）时，在有限网格和有界波数范围限制下，合成湍流与预设目标之间的能量和谱一致性。为了阐明误差的来源，研究评估了湍流动能（TKE）和湍流动能谱（E(κ)）的差异。首先阐明了谱系数校准对TKE的影响。在此基础上，进行了一系列……

CRediT作者贡献声明
林鸿源：撰写 – 原稿编写、可视化、验证、方法论、调查、数据管理、概念化。
刘毅：验证、正式分析、数据管理、概念化。
王世召：撰写 – 审查与编辑、监督、资金获取、概念化。

手稿准备过程中生成AI辅助技术的声明
在准备本工作时，作者使用了ChatGPT来提高可读性、语法和语言表达。使用该工具后，作者根据需要对内容进行了审查和编辑，并对发表文章的内容负全责。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

致谢
本工作得到了国家自然科学基金委员会非线性力学多尺度问题优秀研究组计划（项目编号12588201）、国家自然科学基金（项目编号12425207和12102439）以及中国科学院基础研究青年科学家项目（项目编号YSBR-087）的支持。