用于可压缩流场的最优加权最小二乘动力学无网格方法

《Computers & Fluids》：Optimally weighted least squares kinetic meshfree method for compressible flows

　　**Mayuri Verma | Anil Nemili**
**数学系，BITS Pilani - 海得拉巴校区，海得拉巴，500078，印度**

**摘要**
无网格最小二乘动量迎风方法（LSKUM）的鲁棒性和准确性取决于与迎风方案中空间导数近似相关的加权最小二乘矩阵的条件数。在各向异性、高度拉伸或不规则点分布的情况下，由于模板中几何平衡的丧失，这些矩阵的条件数会很大。较大的条件数会降低准确性、引起振荡收敛，甚至导致代码发散。尽管已经提出了各种加权策略来克服这些挑战，但它们并不是专门为了最小化条件数而设计的。本文介绍了一种具有最小条件数最小化特性的最优加权LSKUM的开发方法。通过结合离散伴随矩阵的梯度算法，找到了产生最小条件数的最优权重分布。将这种最优加权LSKUM应用于二维和三维无粘可压缩流体流动的标准测试案例中。数值结果表明，最优权重能够更好地捕捉各向异性、高度拉伸和不规则点分布的影响，与其他加权策略相比，可以获得更准确的解和更快的残差收敛速度。

**引言**
无网格方法作为一种替代传统基于网格的方案，已成为解决流体流动问题的有吸引力的方法。一些著名的无网格方法包括基于光滑粒子流体动力学的方法[1][2][3]、广义有限差分方法[4][5][6][7][8][9][10]、无单元Galerkin方法[11][12]、移动最小二乘方法[14][15]、径向基函数方法[16][17][18]以及混合无网格方法[19][20][21]。
其中，特别值得关注的是最小二乘动量迎风方法（LSKUM）[5][22]。LSKUM是一种基于动量理论的迎风方案[23]，属于广义有限差分方法类。LSKUM的基本思想是通过动量通量分裂（KFVS）方案[23]将迎风特性引入控制方程（Euler或Navier-Stokes方程）。随后，使用加权最小二乘原理来近似迎风方案中的分裂通量导数。在过去二十年中，基于LSKUM的无网格求解器已成功应用于各种领域，包括复杂几何形状下的流动[24][25][26][27]、运动边界和航空弹性问题[28][29][30]、强旋转流动[31]以及空气动力形状优化[32][33]。

LSKUM需要在感兴趣的配置周围分布点，并为每个点指定一组邻居。在无网格术语中，点分布被称为点云，而邻居集合则称为连通性或完整模板。为了实现迎风特性，使用从完整模板派生的分裂模板来评估分裂通量导数。通常可以使用简单或嵌合网格生成器、四叉树方法或前沿推进技术[34]来生成点云[35]。此外，在[36][37]中提出了选择最小尺寸完整模板的策略。

在LSKUM中，计算域内的任意点P0处，与二维和三维空间导数近似相关的加权最小二乘矩阵表示为：
$$
\sum_{i=1}^{N} w_i \Delta_x^2, \sum_{j=1}^{N} w_j \Delta_x \Delta_y, \sum_{i=1}^{N} w_i \Delta_x \Delta_z, \sum_{j=1}^{N} w_j \Delta_y \Delta_z
$$
其中，求和是对点P0的所有邻居Pi进行的。Δxi=xi?x0，Δyi=yi?y0，Δzi=zi?z0。wi表示分配给邻居Pi的正权重。文献中提出了多种加权策略[29][38]。选择wi=1会导致P0的所有邻居具有相同的权重，但这会导致更强的耗散特性，因为模板中最远的邻居会对空间导数的近似产生显著影响。相反，如果将权重设置为距离的递减函数（wi=1/di，其中d≥2），可以减少截断误差，从而增强局部性[5]。这里，di是P0与其邻居Pi之间的笛卡尔距离。一些研究者成功地使用wi=1/di2进行了无粘和粘性层流模拟[27][39]。

加权LSKUM的鲁棒性和准确性关键在于连通性的质量。数学上，这可以通过方程(1)中的加权最小二乘矩阵的条件数来量化。对于各向同性模板，这些矩阵通常条件良好。然而，当模板中出现几何平衡丧失时，条件数会显著增加。这种情况通常发生在邻居在空间中分布不均匀时，例如邻居在各向异性分布、拉伸或围绕某点不规则排列时。在湍流流动或多体配置的点云中经常观察到这种不良的连通性。当点及其邻居位于二维中的直线或三维中的平面上时，也会出现条件数不良的情况。这种不良连通性不仅会降低准确性，还可能导致代码发散[25]。权重选择也会影响条件数。然而，我们事先并不知道哪个p值能使给定模板的条件数达到最小。

为了防止由于不良连通性导致的代码发散，采用了多种策略[25]。在[25]中，通过基于加权最小二乘矩阵行列式、奇异值分解和多项式导数测试来评估连通性的优度。当分裂模板不满足这些条件时，要么使用完整模板，要么向分裂模板中添加额外的邻居。虽然完整模板可以防止代码发散，但在许多点使用完整模板会导致迎风偏置，从而可能引起数值不稳定性[29]。另一方面，添加邻居会增加截断误差[29][38]。为了提高鲁棒性，在另一项研究[40]中，选择权重使得最小二乘矩阵成为对角矩阵或迎风方向成为最小二乘矩阵的特征方向。这种方法使得最小二乘矩阵的行列式不为零，从而防止代码发散。然而，这种方法在高度拉伸的模板上存在局限性。为了避免与高度拉伸点分布相关的条件数不良问题，在[31]中选择分裂模板的方式是使最小二乘矩阵对角占优。在这种情况下，所有邻居都被赋予相同的权重。

这些工作引发了这样一个问题：是否可以通过明确定义的优化标准来确定权重，以提高加权LSKUM的鲁棒性。在这项研究中，尝试将找到最小化加权最小二乘矩阵条件数的权重作为优化问题来表述。目标函数定义为条件数的函数，而控制变量则是分配给邻居的权重。通过结合离散伴随矩阵的梯度算法获得最优权重。

本文的结构如下：第2节介绍了无粘可压缩流动的加权LSKUM的基本理论，并推导了一阶LSKUM的截断误差。讨论了邻居数量和权重选择对截断误差的影响。第3节详细介绍了最优加权LSKUM。第4节展示了数值结果，证明了最优加权LSKUM的鲁棒性和准确性。最后，第5节得出结论。

**2D欧拉方程的加权LSKUM**
本节介绍了基于二维欧拉方程的无网格LSKUM基本理论，这些方程用于描述无粘可压缩流体流动。微分形式下的二维欧拉方程为：
$$
\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial G_x}{\partial x} + \frac{\partial G_y}{\partial y} = 0
$$
其中U是守恒向量，Gx和Gy分别是x和y方向的通量向量。这些向量表示为：
$$
U = \rho u_1, \quad G_x = \rho u_1 p + \rho u_1^2 u_1 u_2 p + \rho e, \quad G_y = \rho u_2 \rho u_1 u_2 p + \rho u_2^2 p + \rho e
$$
这里，ρ是质量密度，u1和u2是流体的笛卡尔分量。

**最优加权LSKUM**
加权LSKUM的鲁棒性严重依赖于方程(11)中出现的加权最小二乘矩阵的条件数。在各向同性模板上，该矩阵通常条件良好。图1显示了点P0周围的各向同性完整模板和分裂模板。而在各向异性、高度拉伸或不规则模板上，最小二乘矩阵的条件数会变差。图2(a)展示了一个高长宽比的拉伸模板。

**数值结果**
在本节中，我们通过将最优加权LSKUM应用于二维和三维无粘可压缩流动的标准测试案例来评估其鲁棒性和准确性。测试案例包括NACA 0012翼型后的亚音速流动、两元素Williams翼型、MDA三元素翼型以及半球-圆柱体配置；Onera M6翼型上的跨音速流动；以及NACA 0012翼型上的超音速流动。计算结果与使用其他权重的LSKUM得到的结果进行了比较。

**结论**
加权最小二乘动量迎风方法（LSKUM）的鲁棒性和准确性取决于分配给邻居的权重选择以及与模板相关联的加权最小二乘矩阵的条件数。在各向异性、高度拉伸和不规则模板上，几何平衡的丧失会导致相应的最小二乘矩阵条件数增大。为了防止由于条件数不良导致的无网格代码发散，早期研究提出了多种策略。

**作者贡献声明**
Mayuri Verma：撰写——原始草稿、软件开发、方法论研究、形式分析。
Anil Nemili：撰写——审稿与编辑、撰写——原始草稿、监督、概念化研究。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文报道的工作。