使用高阶随机Galerkin SBFEM方法对土结构相互作用系统进行时域随机断裂分析

《Computers & Geosciences》：Time-domain stochastic fracture analysis of soil-structure interaction systems using a high-order stochastic Galerkin SBFEM

　　穆罕默德·古尔|杜成斌|王伟
河海大学力学与工程科学学院，南京211100，中国

**摘要**
由于材料不确定性、复杂的波浪传播和实际的地震激励效应的综合作用，水坝-基础系统的定量地震评估仍然具有挑战性。本文提出了一种高阶随机Galerkin缩放边界有限元方法（SGSBFEM），用于分析具有空间变化不确定材料属性和斜入射地震波的土-结构相互作用。该方法采用高阶缩放边界离散化方法，适用于有界和无界域，能够半解析地处理辐射阻尼并高效地进行波浪传播建模，同时降低空间维度。地震荷载通过域缩减方法（DRM）引入，在该方法中，入射的P波和SV波被转化为截断计算域上的等效节点力。材料不确定性通过Karhunen-Loève展开（KLE）离散化来建模，而系统响应则通过多项式混沌展开（PCE）表示，并通过随机Galerkin投影进行传播。这种方法生成了一个块结构确定性系统，能够在离散算子之间传播随机耦合。通过包括自由场半空间中的波浪传播和半空间中带边缘裂纹的弹性块在内的基准问题验证了所提出的方法，预测响应与解析解和基准参考解吻合良好。该框架进一步应用于重力坝系统的地震分析。与蒙特卡洛模拟（MCS）的比较表明，所提出的方法在显著降低的计算成本下能够准确再现参考统计特性。结果说明了材料变异性和采用的相关结构如何影响关键响应指标，包括位移和动态应力强度因子（DSIFs），并强调了仅依赖于确定性预测的潜在局限性。此外，所提出的方法为大型耦合土-结构系统中的高保真随机波浪传播和断裂评估提供了基础。

**引言**
混凝土重力坝是水电发电、供水和防洪的关键基础设施，因此其地震安全性是地震工程中的核心问题。早期的分析方法为水坝-基础相互作用提供了宝贵的物理洞察；然而，这些方法依赖于理想化的几何形状和简化假设，限制了它们在具有复杂峡谷地形、异质基础和强波-结构相互作用效应的实际场地中的应用（Alembagheri和Ghaemian，2013年；Chen等人，2019年）。因此，数值方法，尤其是有限元方法（FEM），已成为地震分析中模拟坝体、水库和基础域的标准工具（Mohammadnezhad等人，2019年；Fok和Chopra，1986年）。尽管取得了这些进步，但两个基本挑战仍然存在：有效无界基础域的严格处理以及地震波输入的准确表示，特别是对于斜入射的体波。

为了应对第一个挑战，开发了一系列人工边界条件（ABCs）来抑制来自截断计算域的虚假波反射。局部ABCs包括粘性弹簧边界（Chen等人，2021年）、无限元（Hariri-Ardebili和Mirzabozorg，2013年）、非反射边界（Givoli，2004年）和完美匹配层（Basu和Chopra，2003年），它们提供了计算效率，但通常需要较大的缓冲区，并且表现出频率依赖的准确性限制。全局ABCs，如边界元素方法（Beskos，1987年）、薄层方法（Kausel，1994年）和Dirichlet到Neumann映射（Givoli，2014年），更严格地执行辐射条件，但通常会导致更高的算法复杂性和计算成本。在这种背景下，由Wolf和Song首次提出的缩放边界有限元方法（SBFEM）（Wolf和Song，1998年；Wolf和Song，1995年；Song和Wolf，1997年）成为一个特别吸引人的框架。通过引入缩放边界坐标系，SBFEM在径向提供了半解析表示，同时仅对边界进行离散化。这种表述使得无界域的Sommerfeld辐射条件得到精确满足（Chen等人，2014年），无需特殊增强即可准确捕获应力奇异性（Song和Vrcelj，2008年；Tian等人，2018年），能够灵活处理多边形子域（Chen等人，2018年；Zhang和Song，2019年），并与传统FEM相比显著降低了空间维度。这些特性使SBFEM成为波浪传播分析和水坝-基础相互作用问题的强大工具（Zhuo等人，2024年；Li等人，2019年）。

第二个挑战是地震输入的真实规范。除了抑制虚假反射外，ABCs还必须允许规定的入射波场无失真地进入截断域；这需要一种专门的加载处理方法。早期方法在刚性基础/坝上施加基础加速度或引入简化输入（Tan和Chopra，1995年；Lin等人，2007年），但这些方法通常忽略了基础波的传播和衰减，可能会偏置预测响应。为此，通过将总场分解为入射/自由场和散射分量，开发了等效力公式（Bazyar和Song，2017年；Wolf，1985年）。其中，域缩减方法（DRM）已成为广泛采用的框架（Bielak，2003年；Yoshimura，2003年）。DRM引入了一个自由场辅助模型，并通过沿狭窄界面层施加等效节点力将原始外部源问题重构为内部源问题，而ABCs设计为仅吸收散射场。许多DRM-ABC耦合策略已在各种工程模拟中得到广泛应用（Sotoudeh等人，2019年；Zhang和Taciroglu，2021年；Ren等人，2025年）。在SBFEM框架内，Qu等人（Qu等人，2021年；Qu等人，2022年）首次将DRM与低阶SBFEM离散化结合用于水坝-基础应用，Wang等人（2024年）随后将其扩展到三维分层半空间中的波浪散射分析。虽然低阶元素通常用于实现便利，但高阶离散化可以显著减少所需的自由度（DOFs），而不会影响波浪传播分析的准确性（Birk等人，2012年；Chen和Dai，2017年；Song，2009年）。最近，Wang等人（2025年）将DRM纳入高阶SBFEM公式中，提供了一种系统化的方法，通过等效内力表示将斜入射的P波和SV波引入大规模水坝-基础模型。

尽管最近的确定性进展显著提高了水坝-基础系统时域地震模拟的保真度，但大多数实际分析仍然假设材料属性是确定的。实际上，由于施工实践、老化、环境暴露和地质异质性，坝体和基础岩石的机械属性表现出明显的空间变异性。实验证据也证实了老化混凝土坝的强空间异质性（Salamon和Hariri-Ardebili，2024年），这推动了在坝工程中越来越多地使用随机场描述。例如，基于Weibull的异质性模型已被用于研究分布式裂纹和损伤演变（Cen等人，2016年；Zhong等人，2011年），随机FEM研究量化了空间相关性如何影响弹性动态响应，表明响应变异性随归一化相关长度的增加而增加（Hariri-Ardebili等人，2019年）。早期的随机研究进一步表明，材料参数的不确定性可以显著改变瞬态响应水平和失效裕度（Hariri-Ardebili等人，2018年；Sanchez Lizarraga和Lai，2014年）。尽管蒙特卡洛模拟（MCS）在概念上适用于不确定性传播，但对于大规模时域问题来说，计算成本过高（Van Vinckenroy和de Wilde，1995年；Papadrakakis和Papadopoulos，1996年）。这一限制激发了对谱随机有限元方法（SSFEM）的兴趣，在该方法中，不确定性通过随机场的Karhunen-Loève展开（KLE）和随机响应的多项式混沌展开（PCE）来表示，实现了无样本的侵入式框架，并且对于足够平滑的随机系统具有快速收敛性（Stefanou，2009年；Allaix和Carbone，2013年；Matthies和Keese，2005年；Zakian和Khaji，2018年；Chen等人，2023年）。在重力坝应用中，SSFEM结果表明，基于平均材料属性的确定性分析可能无法完全表示随机响应特性，因为不确定性效应取决于特定的关注量，可能会减少或增加关键响应指标（Zeng等人，2024年；Ngah和Young，2007年）。这些研究还表明，相关长度在控制响应分散中起着重要作用。然而，许多随机研究仍基于传统的FEM框架，而现有的基于SBFEM的随机研究通常采用简化的均匀随机变量参数化并结合模型阶数缩减（Hu等人，2025年；Gul等人，2026年；Shen等人，2024年）。

SBFEM已逐步扩展到不确定性量化和随机断裂分析。Long等人（Long等人，2015年；Long等人，2016年；Wang等人，2022年）将材料属性的空间变化随机场纳入SBFEM公式中，以实现随机断裂建模，包括基于扰动的方案和适用于弹性和粘弹性问题的自适应递归算法。随后，Do等人（2017年）开发了随机Galerkin缩放边界有限元方法（SGSBFEM），在该方法中，杨氏模量通过KLE离散化为空间随机场，随机响应使用PCE在Galerkin谱框架内近似，从而能够高效评估定义在随机域上的裂纹问题的随机位移和应力强度因子（SIFs）。Mathew等人（2020年）将进一步推广该框架到多个独立随机场，并在子域内引入多项式表面拟合，以提高不同相关长度下的准确性和鲁棒性。这些研究展示了SBFEM与随机公式之间的强兼容性，并相对于MCS实现了显著的计算效率提升。然而，现有的随机SBFEM发展主要集中在传统SBFEM框架内的静态或粘弹性动态问题上。

尽管在确定性高阶SBFEM公式、基于DRM的地震输入处理以及限于静态和简化粘弹性动态问题的随机SBFEM研究方面取得了重要进展，但仍缺乏一种结合这些进展的统一方法，用于水坝-基础系统的时域随机地震分析。在本研究中，从早期工作中采用的确定性方法组件是有界和无界域的高阶SBFEM公式以及基于DRM的斜入射地震波的等效力表示。在此基础上，本文通过将有界域中的杨氏模量表示为通过KLE的空间相关随机场，并通过PCE和侵入式随机Galerkin投影在非确定性系统中传播结果不确定性，将公式扩展到随机框架。这种扩展实现了早期确定性公式中不具备的能力，即直接在时域评估水坝-基础系统中的随机地震响应和与断裂相关的量，同时保留了高阶SBFEM框架在波传播方面的准确性和效率优势。这为分析大型水坝-基础系统中空间材料不确定性对地震土-结构相互作用和断裂行为的影响提供了集成计算框架。

本工作的其余部分组织如下。第2节回顾了基于KLE和PCE的空间随机场离散化。第3节介绍了高阶SBFEM公式的控制方程。第4节介绍了SBFEM的侵入式随机Galerkin扩展。第5节提出了数值验证和示例应用。最后，第6节总结了主要结论。本研究的目标不仅是证明该公式化的可行性，还通过收敛性分析、基准测试比较以及工程规模应用来评估其在当前研究范围内的数值稳健性。验证结果表明，该研究提出并验证了一种适用于时域分析的高阶SGSBFEM方法，该方法能够处理具有空间变化材料特性的二维平面应变系统，并包括与断裂相关的响应指标。该公式化方法将高阶SGBFEM离散化技术与控制方程的随机Galerkin PCE方法结合在一起，同时利用KLE（克里金插值）来表示潜在随机场的空间不确定性。响应统计数据通过单次耦合随机求解获得，为后续分析提供了可靠的基础。

作者贡献声明：
Muhammad Gul：撰写原始稿件、验证方法、研究方法设计、数据分析。
Chengbin Du：审阅和编辑稿件、研究指导、方法论制定、资金筹措、概念框架构建。
Wei Wang：验证方法、研究方法设计。

利益冲突声明：
作者声明他们没有已知的财务利益冲突或个人关系，这些因素可能影响本文所报告的工作结果。

致谢：
作者衷心感谢中国国家重点研发计划（项目编号：2018YFE0122400）的财政支持。