在极冷的壁面条件下，采用具有通量重构方案的高稳健性壁面建模大涡模拟

《Computers & Fluids》：Robust wall-modeled large-eddy simulation with flux reconstruction scheme under extremely cold wall conditions

　　冈野康仁|长冈隆纪
日本宇宙航空研究开发机构，神奈川县相模原市中央区吉野台3-1-1，252-5210，日本

**摘要**
在壁面模拟的大涡模拟（WMLES）中，通量重构（FR）方案在靠近壁面的单元中可能会遭受数值不稳定性的影响，因为这些单元的网格尺寸比壁面解析的大涡模拟中使用的单元要粗得多，且雷诺剪切应力没有得到充分解析。由于缺乏解析的雷诺剪切应力，绝热壁条件下的速度梯度被高估了。在冷壁条件下，温度梯度增大，从而增加了数值不稳定的可能性。为了解决这个问题，我们提出了一种增强WMLES中FR方案数值稳健性的方法。在匹配点高度以下的区域内引入人工粘性（AV）来补偿缺乏的雷诺剪切应力。AV的法向剖面通过组合线性函数和van Driest阻尼函数来定义。AV的大小使用局部人工扩散率方法进行评估。在冷壁条件下的湍流通道流动数值实验表明，所提出的方法即使在壁温与恢复温度之比为0.1的极端冷壁条件下也能实现稳定的数值模拟，而使用传统方法则会导致模拟发散。这种方法对于在极端冷壁条件（如液体火箭发动机燃烧室）下进行WMLES至关重要。

**引言**
准确预测壁面热通量在液体火箭发动机的设计和开发中至关重要。如果燃烧室壁面热通量的预测不准确，可能会缩短发动机的使用寿命。在最坏的情况下，燃烧室壁的熔化或侵蚀可能导致灾难性的任务失败。在早期设计阶段，通常使用雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方法来预测壁面热通量，因为其计算成本较低。然而，RANS方法无法有效捕捉边界层分离和再附着的本质非稳态流动现象[1] [2]。这些限制促使人们使用更高保真度的方法，如大涡模拟（LES），它可以捕捉重要的非稳态流动动态。为了准确预测壁面热通量，LES技术可以分为壁面解析LES（WRLES）和壁面模拟LES（WMLES）[3] [4]。

WRLES通过解析整个边界层直至粘性亚层来提供高精度。然而，对于典型的液体火箭发动机应用中的高雷诺数流动，由于需要在壁面附近使用极细的网格和异常小的时间步长，WRLES的计算成本变得非常高[5] [6]。此外，所需的网格点数N和时间步长Nt分别与雷诺数Re成近似朗伯德比N～Re1.86和Nt～Re6/7的关系[6]。因此，WRLES在实际设计周期中是不可行的。

WMLES[4] [7] [8]旨在克服这一问题。在WMLES中，仅解析边界层的外层，并对内层效应进行建模以评估壁面的剪切应力和热通量。使用基于常微分方程的壁面模型[7]或代数壁面模型[9]来评估壁面剪切应力和热通量，并将其作为边界条件施加在壁面上。因此，与WRLES相比，网格点数显著减少。此外，由于在壁面附近使用较大单元，时间步长也增加了。这大大降低了计算成本，同时保持了流场的高预测精度。

同时，不连续有限元方法（DFEMs），如通量重构（FR）[10] [11] [12]、不连续伽辽金[13]和谱差分[14] [15]方法也受到了关注，因为这些方法能够处理复杂的几何形状并适用于大规模并行计算。DFEMs的应用领域包括飞机周围的流动[16]、高超音速流动[17]和多相流动[18]。通过在各计算单元内引入自由度，DFEMs在空间上实现了高精度。此外，它们的单元局部化形式天然适合并行计算[19]。因此，DFEMs适用于进行大规模数值模拟，如LES。在本研究中，我们重点关注这些方法中的FR方案。

也有研究探讨了WMLES与DFEMs结合的应用和方法[20] [21] [22] [23] [24]。通过在整个计算域内仅使用四面体单元，并结合高阶空间精度和壁面模型，NASA的高升力通用研究模型的空气动力系数得到了准确预测[20]。然而，WMLES与DFEMs的结合仍然存在数值问题。多项研究[21] [22] [23]报告了靠近壁面的单元中的数值振荡。在WMLES中，计算网格未能解析匹配点高度以下的区域中的湍流。在该区域，由于缺乏满足应力平衡方程的雷诺剪切应力，速度梯度被高估[7]。因此，在这种具有陡峭速度梯度的网格上进行高阶多项式逼近时容易引起数值振荡。有限差分方法可以通过在壁面附近使用低阶单边差分以及适当的壁面边界条件[7] [25] [26]来抑制这种数值振荡，从而提高数值稳定性和精度。除了壁面模型提供的项外，粘性通量也是使用这种边界条件进行评估的。然而，DFEMs即使在壁面相邻单元中也使用高阶插值。直到最近，这些方法的适当壁面边界条件尚未得到充分讨论。因此，DFEMs需要一种稳定的策略。

在这种情况下，福岛等人[24]提出了一种适用于绝热壁条件的稳健数值方法，通过引入适当的边界条件进行梯度计算，并仅在壁面相邻单元的法向方向应用模态滤波器[27]。然而，当这种方法应用于Tw/Tr=0.2和0.1这样的极端冷壁条件时，数值模拟变得不稳定并失败，这些条件通常用于燃烧室中的壁温Tw与恢复温度Tr的比值。在冷壁条件下，WMLES中靠近壁面的单元的温度剖面会出现数值误差[28]。因此，在冷壁条件下比在绝热壁条件下更容易引起数值振荡。之前的研究[29]使用低耗散有限体积方法在极端冷壁条件下进行WMLES时并未报告数值不稳定性。然而，我们发现当使用FR方案进行WMLES时，WMLES会因数值不稳定性而发散，如第3节所述。因此，需要一种更稳健的方法来确保在冷壁条件下使用DFEMs进行WMLRS的可靠性。

在本研究中，提出了一种通过FR方案增强WMLES稳健性的方法，以预测燃烧室中的壁面热通量。所提出的方法即使在极端冷壁条件下也能实现稳定的数值模拟。通过在靠近壁面的区域引入人工粘性（AV），显著提高了数值稳健性。

第2节概述了数值方法。第3节介绍了在极端冷壁条件下WMLES的数值不稳定性。第4节详细解释了所提出方法的原理。第5节的数值实验表明，即使在Tw/Tr=0.2和0.1这样的极端冷壁条件下，所提出的方法也能实现稳定的数值模拟。最后，第6节提供了结论。

**章节片段**
**控制方程和离散化**
WMLES使用LS-FLOW-HO[30]进行，这是一种由日本宇宙航空研究开发机构（JAXA）开发的高阶非结构化六面体网格求解器，采用FR方案。控制方程系统是三维可压缩纳维-斯托克斯方程。

FR方案在每个计算单元内使用解点（SPs）来定义物理变量。通过基于SPs上的物理变量进行多项式逼近，实现了高阶空间精度。

**问题描述（极端冷壁条件下的WMLES数值不稳定性）**
我们描述了在极端冷壁条件下WMLES中出现的数值不稳定性。据我们所知，没有先前的研究将FR方案应用于此类条件，而且这类不稳定性在文献中受到有限的关注。使用湍流通道流动来描述极端冷壁条件下WMLES的数值不稳定性。数值设置的详细信息见第5.1节。

**提出的方法**
人工粘性μAV通过以下公式添加到分子粘性μf中：μ=μf+μAV。
热 conductivity κ通过以下公式计算：κ=μf+μAVCpPr。

我们观察到，当单元内出现AV的虚假振荡时，数值不稳定性很容易发生。在这种情况下，梯度的多项式逼近会放大这些振荡，可能导致模拟发散。因此，需要一个平滑的AV剖面来构建一种稳健的方法。

**提出的方法验证（Tw/Tr=0.8）**
首先在适中墙温条件下验证了所提出的方法。需要再次说明的是，Tw和Tr分别代表壁温和绝热壁温。绝热壁温（称为恢复温度）可以通过Tr=Tc1+γ?1rMc2/2计算，其中r和下标（?）c分别代表常数和通道中心的变量。常数r设置为0.89[44]。使用湍流通道流动作为示例。

**结论**
本研究提出了一种能够在极端冷壁条件下使用FR方案进行WMLES的方法。通过在匹配点高度以下的区域内引入AV，提高了数值稳健性。AV在壁法向的剖面由线性函数和van Driest阻尼函数给出。AV的大小通过LAD方法进行评估。在验证案例中，结果与DNS数据在流向速度方面表现出极好的一致性。

**作者贡献声明**
冈野康仁：写作——原始草稿，可视化，验证，监督，方法论，调查，正式分析，数据整理。
长冈隆纪：写作——审稿与编辑，监督，项目管理，概念化。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文所述的工作。

**致谢**
作者衷心感谢东北大学的河合祥教授和北海道大学的寺岛宏教授在人工粘性公式化方面提供的宝贵建议。我们使用了JAXA Supercomputer System generation 3（JSS3）来获得模拟结果。