采用扩散界面方法对两相流中不溶性表面活性剂的建模进行了改进的数值研究

《Computers & Fluids》：Enhanced numerical approaches for modeling insoluble surfactants in two-phase flows with the diffuse-interface method

　　山下修 | 松下真太郎 | 勇金哲也
东京理化学研究所，工程学院，日本东京目黑区大冈山2-12-1，邮编152-8550

**摘要**
表面活性剂存在于两相流的界面处，并显著影响流体动力学。为了全面理解这种含有表面活性剂的流动，数值模拟至关重要，而这种方法需要能够准确模拟表面活性剂在界面处的传输过程。在本研究中，我们专注于基于扩散界面法的不溶性表面活性剂的界面传输模型，并提出了两种提高其准确性的方法：(a) 采用一种避免对具有急剧梯度的变量进行空间导数的公式；(b) 允许独立于界面宽度指定δ函数的宽度。这些方法简单实用，不会导致计算成本显著增加、实现复杂性提高或界面捕捉精度下降。此外，它们保持了流体和表面活性剂质量的离散守恒性。我们进行了一系列数值测试以验证所提出方法的有效性。最后，我们提出了一个难以精确解决的挑战性测试案例，该案例之前未被讨论过。我们期望这个案例能够作为评估和比较文献中提出的各种方法的宝贵基准。

**引言**
理解含有表面活性剂的两相流的特性对于许多实际应用至关重要。表面活性剂吸附在界面上，通过局部降低表面张力和引发马朗戈尼效应显著影响两相流。这些现象已被应用于多个领域，包括洗涤剂[1]、食品工业[2]、提高石油采收率[3][4]、土壤修复[5]以及微流控技术[6][7][8]。为了进一步推进这些应用，需要对含有表面活性剂的两相流有更深入的了解。

数值模拟被广泛用于研究涉及表面活性剂的两相流[9][10][11][12][13][14]，它们能够评估实验上难以测量的量，如界面浓度场[15]和局部力分布。此外，能够自由调整参数使得研究特定变量对流动的影响变得直接。因此，数值模拟已成为分析含表面活性剂两相流的宝贵工具，并在过去几年引起了大量研究关注。

准确模拟表面活性剂的传输对于可靠地模拟含表面活性剂的两相流至关重要。对于本研究中考虑的不溶性表面活性剂，其传输过程由移动界面上的对流-扩散方程控制。为了实现高精度模拟，已经开发了基于不同界面捕捉和界面追踪方法的多种模型。例如，基于流体体积法[16][17]、水平集法[18][19][20][21][22]以及前沿追踪法[23][24][25]提出了相应模型。然而，这些方法在同时确保流体和表面活性剂的质量守恒的同时保持算法简单性方面面临挑战。

本研究重点使用扩散界面法（特别是相场法）来建模表面活性剂的传输，相场法在流体质量守恒和隐式处理界面动态拓扑变化方面优于其他方法。因此，它被广泛用于两相流的数值模拟[26][27][28][29][30][31][32]。使用相场法建模表面活性剂传输的研究也非常活跃[33][34][35][36][37][38][39][40]。特别是Teigen等人提出的模型[36]因其简单性和保持表面活性剂质量的能力而具有优势。对该模型进行了进一步改进，包括防止由数值误差导致的非物理负浓度的方法[41]和能够适应实际扩散系数的扩展[42][43]。

本研究的目的是提出进一步提高基于相场的不可溶性表面活性剂界面传输模型准确性的方法。具体来说，我们提出了以下两种方法：
• 采用避免对具有急剧梯度的变量进行空间导数的公式。我们考虑了两种传输模型，它们都是现有模型的推广形式。尽管这些公式在数学上在平衡状态下是等价的，但我们证明了在实际模拟中一种方法由于离散化误差的减少而表现得更好——这一区别在之前的研究中并未得到强调。
• 将δ函数的宽度与界面宽度解耦。我们引入了一种方法，允许独立于界面宽度指定δ函数的宽度，从而在不牺牲界面捕捉质量或减少允许的时间步长的情况下提高表面活性剂传输的准确性。这种策略在之前的扩散界面研究中尚未被系统地探索。

这两种方法简单、有效且实用，不会导致计算成本显著增加、实现复杂性提高或界面捕捉精度下降。此外，它们还保持了流体和表面活性剂质量的离散守恒性。

此外，我们认为大多数关于界面表面活性剂传输的先前研究使用了相对简单的基准测试，这存在问题。为了解决这个问题，我们提出了一个新的基准测试，该测试在保持高精度方面提出了重大挑战，并可作为评估界面表面活性剂传输模型的严格标准。

**本文结构**
本文的其余部分组织如下：第2节描述了相场法和两种类型的界面表面活性剂传输模型。第3节介绍了提高它们准确性的方法。第4节提供了实现的概述。第5节描述了用于评估所提出方法有效性的数值测试。最后，第6节总结了本文。

**关键术语说明**
**相场法**
在本研究中，我们使用相场法作为不可压缩两相流的界面捕捉方法。具体来说，我们采用了精确的守恒扩散界面（ACDI）模型[30]，其表达式为：
$$
\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (u\phi) = \nabla \cdot \gamma \epsilon \nabla \phi - \frac{1}{4}\tanh^2 \psi ac_d i
$$
其中，$\phi$ 是表示一种流体体积分数的相场变量，$u$ 是速度场，$\gamma$ 是速度尺度参数，$\epsilon$ 是控制界面宽度的参数。

**提高表面活性剂传输精度的方法**
在本节中，我们基于第2节介绍的模型提出了两种实现高精度界面表面活性剂传输模拟的方法。

**实现概述**
在本节中，我们提供了实现的概览。详细实现过程见附录B。控制方程在均匀交错笛卡尔网格上进行离散化：所有标量量定义在单元中心，而速度分量定义在单元面上。时间积分采用三阶龙格-库塔方案[47]进行，除了水平集重新初始化外。

**数值程序**
时间步长从 $k$ 到 $k+1$ 的过程如下：
1. 如果 $k \equiv 0 \mod 20$……

**数值测试**
在本节中，我们提出了数值测试以验证第3节中描述的方法是否提高了界面表面活性剂传输的准确性。最后，我们提出了一个难以精确解决的挑战性问题，作为评估和比较现有研究中提出的各种方法性能的宝贵基准。

**结论**
本研究专注于使用扩散界面法提高含表面活性剂的两相流中界面传输模型的准确性。我们的主要贡献如下：
• 我们提出了两种推广的传输模型（fd型模型和f型模型），并提出了两种提高它们准确性的方法（第3节）。
- 第一种方法是采用避免对具有急剧梯度的变量进行空间导数的公式；即使用f型模型而不是fd型模型……

**作者贡献声明**
山下修：撰写——原始稿件、可视化、验证、软件、项目管理、方法论、研究调查、资金获取、形式分析、数据管理、概念化。
松下真太郎：撰写——审阅与编辑、监督、资源管理、项目管理、方法论、资金获取、数据管理、概念化。
勇金哲也：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取、概念化。

**写作过程中使用生成式AI和AI辅助技术的声明**
在准备本工作时，作者使用了ChatGPT来提高手稿的可读性和语言表达。使用该工具后，作者根据需要进行内容审查和编辑，并对发表文章的内容负全责。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：
松下真太郎报告得到了日本学术振兴会（JSPS）的财务支持。
如果还有其他作者，他们声明没有已知的可能会影响评估结果的财务利益或个人关系。

**致谢**
本研究得到了JSPS KAKENHI项目（编号22H03770、22K14178、25K07582）以及日本科学技术 Agency (JST) “采用可持续合作伙伴关系促进创新研究生态系统” (ASPIRE) 项目（编号JPMJAP2407）的支持。本研究还得到了JST SPRING项目（编号JPMJSP2180）的支持。本研究使用了东京理化学研究所的TSUBAME4.0超级计算机进行。