一种基于3D机器学习的流体体积计算方法，该方法无需显式重建界面

《Computers & Fluids》：A 3D Machine Learning based Volume Of Fluid scheme without explicit interface reconstruction

　　莫雷诺·平托雷 | 布鲁诺·德普雷斯
雅克-路易·里昂斯实验室（LJLL），索邦大学，朱西厄广场4号，75005，巴黎，法国

**摘要**
我们提出了一种基于机器学习的流体体积（Volume Of Fluid, VOF）方法，用于使用三维笛卡尔网格模拟多材料流动。该方法的创新之处在于，通量分数是通过评估一个预先训练好的神经网络来计算的，而无需显式重建任何近似真实界面的局部界面。该网络是在一个纯合成的数据集上训练的，该数据集通过随机采样大量局部界面生成，并且可以根据需要在不太规则的界面上进行优化。本文提出并形式化了几种确保方法效率以及满足物理约束和属性的策略。提供了关于对流方程的数值结果，以展示该方法的性能。我们观察到，随着网格尺寸趋近于零（h=1/Nh→0），数值收敛性更好，其收敛速度优于两种参考方案。

**引言**
多材料或多相数值模拟在许多工程应用中至关重要，例如水波、核反应堆、喷嘴和喷雾、油气管道、热电站以及模具填充等。由于涉及材料之间存在清晰的界面，进行精确的模拟非常复杂，需要专门的技术。实际上，如果扩散作用过强，就无法捕捉到界面的清晰和不连续性；而如果扩散作用过弱，可能无法稳定地模拟所需现象的演变。在这种情况下，当需要精确保守一个或多个物理量时，流体体积（VOF）方法是最常用的技术之一。尽管关于VOF方法的首篇论文并非近期发表的（参见[1]及后续文献），但由于应用的重要性和问题的复杂性（尤其是涉及两种以上材料的三维问题），该研究领域仍然非常活跃。VOF方法主要基于几何启发式算法，尽管最近有一些工作建立了误差估计[6]。我们所知的大多数VOF方法的本质是从单元平均值重构一些界面参数，然后利用这些信息在有限体积（Finite Volume）方案中设计数值通量。

我们的三维工作基于在[7]、[8]中提出的耦合VOF和机器学习（Machine Learning, ML）方法，用于二维界面。其主要特点也是其独特之处在于，我们不重构界面参数，而是直接从单元平均值重新计算通量。这项工作的贡献在于证明了这种3D VOF-ML方法的有效性。由于我们不显式重构三维界面参数，因此与大多数包含或不包含机器学习的VOF方案相比，在概念上大大简化了计算过程（相关文献参见[1]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]及其中的引用）。我们认为，这种概念上的简化是机器学习可以贡献的新算法类型的一个例子。

VOF方法的一般背景可以通过我们的模型问题轻松解释。这是一个实际的简单场景：在时空域Ω×[0,T]中有两种不可压缩且不互溶的流体A和流体B，其中Ω∈R3且T>0。设α:Ω×[0,T]→R表示流体A的特征函数，即如果位置(x,y,z)∈Ω在时间t∈[0,T]时被流体A占据，则α(x,y,z,t)=1，否则α(x,y,z,t)=0。由于流体的不互溶性和不可压缩性，质量守恒意味着α的守恒方程为：?tα+??(αu)=?tα+u??αu=0，其中u是一个无散度速度场（??u=0）。为了数值求解(1)，在Ω上引入一个网格，并将每个单元C与体积分数αC=1|C|∫Cαdxdydz相关联，这里|C|是单元C的体积。注意，如果C只包含流体A，则αC=1；如果只包含流体B，则αC=0；如果同时包含两种流体，则αC∈(0,1)。VOF方法的思路是利用时间t的体积分数来计算时间t+Δt的体积分数，而无需显式知道两种流体的分布，并通过迭代这一过程来模拟整个时间间隔[0,T]中未知函数α的演变。在实际应用中，可以忽略不可压缩性假设。

为了计算后续时间步所需的通量以计算体积分数，大多数VOF方案会显式地为每个单元C重构一个简单的界面，该界面近似于两种流体之间的真实未知界面。这个简单界面是根据单元C及其相邻单元的体积分数计算得到的（这样的单元集合称为模板），通常用x的仿射或二次函数来表示。最流行的VOF方法类别采用分段线性界面计算（Piecewise Linear Interface Calculation, PLIC）方法，其中界面在每个单元中由一个平面多边形表示。最著名的PLIC方法包括杨氏方法[16]（通过nα=?α|?α|计算法线nα及其位置），LVIRA方法（最小二乘流体体积界面重构算法）及其高效变体ELVIRA[10]（通过在每个单元中求解最小二乘问题来计算平面界面），以及高度函数方法[11]（使用高度函数技术高效计算界面法线）。由于VOF方法的长期使用，存在多种替代方案。例如，可以在每个单元中引入额外变量来表示流体质心的位置，从而避免使用模板（如流体矩方法[12]），或者使用显式代数公式[17]直接计算所需通量，从而绕过界面重构。

然而，在考虑三维模拟时，即使在笛卡尔网格上实现标准PLIC方法也很复杂，通常建议引入进一步的近似[13]来简化实现并降低计算成本。当模拟中存在两种以上流体时，情况更为复杂，因为简单界面不足以准确表示单个单元中两种以上流体的复杂分布。例如，在[18]中考虑了每个单元中的额外最小化过程以定位三重交点，在[14]中采用了不同的最小化策略，假设已知流体顺序以定位每个界面。这些最小化策略通常依赖于多边形的迭代裁剪，在三维情况下计算成本较高。因此，通常需要考虑如[19]中提出的替代和更复杂的实现来降低计算开销。这些方法也可以扩展到非笛卡尔网格，但几何复杂性和计算成本显著增加（参见[20]、[21]）。尽管本文仅关注笛卡尔网格，但所提出的ML方案在概念上也可以应用于更一般的网格。

由于所有这些复杂性来源，以及科学机器学习在近年来的迅速流行，已经提出了许多基于神经网络的技术[22]。例如，在[15]和[23]中提出了两种通过神经网络计算界面法线的PLIC变体，在[24]中使用图神经网络来描述非结构化网格中的局部界面，在[25]和[26]中神经网络仅用于曲率计算，而在[27]中作者提出了一种神经网络来直接预测后续时间步的体积分数，而无需计算和使用通量。

在本文中，我们专注于将[7]中提出的基于流体体积-机器学习（VOF-ML）方法扩展到三维模拟，这是一种依赖于神经网络的替代VOF方法。如[7]中对二维问题的讨论，VOF-ML的主要思想是训练一个神经网络，给定模板中的体积分数，预测在标准有限体积（FV）方案[28]中需要使用的通量。特别是，只计算通量，而界面从不显式重构或平流。这确保了在存在高度非线性或未解析现象时的灵活性，例如当界面不光滑或单元内存在体积碎片时。最后一个优势在考虑粗网格时尤为重要。此外，由于界面重构通常计算成本较高，尤其是在三维场景中，完全避免这种计算可能会使数值模拟更便宜。

VOF-ML的另一个特点是，训练网络不需要任何模拟或物理测量，因为训练数据集可以基于几何考虑轻松构建。实际上，训练数据集包含模板中流体对的多种分布及其对应的通量，这些信息不依赖于感兴趣的方程、材料类型或数量或域Ω。所有这些额外信息仅由使用神经网络预测的通量的FV方案使用。例如，即使网络是在两种流体的对上训练的，也可以如[8]中讨论的那样，对包含更多材料的分布进行模拟，而无需重新训练神经网络。本文描述了该方法及其一些实现细节，这些细节可用于强制物理属性并更准确地计算通量。

**总结**
我们提供了所提方法的特征列表：
- 它适用于三维配置；
- 它利用了深度神经网络的能力和非线性；
- 在训练阶段利用界面信息，但在推理阶段计算通量时无需显式重构界面；
- 它能够轻松处理界面不规则的情况，这在存在两种以上材料时尤为重要；
- 其实现比标准的三维VOF方法更简单，其效率依赖于高效的深度学习库（例如Tensorflow[29]、PyTorch[30]或JAX[31]）。

本文的结构如下：第2节描述了该方法的基本概念，特别关注神经网络架构、训练数据集生成、网络训练及其在FV求解器中的应用。第3节讨论了提高方案效率和准确性的更高级策略以及强制物理约束的方法。第4节展示了数值结果以实证验证该方法，第5节给出了最终结论。**混合化机制的简单描述**
混合化机制指的是在靠近界面的区域激活VOF-ML（Volume Of Fluid-Machine Learning）方案，而在远离界面的区域则使用另一种更为标准且成本较低的方案。这种机制的实施成本因此有所降低。为了进行公平的比较，我们仅对比了这两种方案在实际应用中的效果。

**结论**
在本文中，我们提出了一种基于机器学习的三维流体体积（VOF）计算方法，该方法采用笛卡尔网格进行计算，并利用全连接前馈神经网络来近似描述体积分数和库朗数与有限体积法更新中所需的目标通量之间的关系。一旦神经网络完成训练，就可以直接计算通量值，而无需预先重建界面。

**作者贡献声明**
- Moreno Pintore：负责写作（包括审稿与编辑）、原创稿件的撰写、可视化效果的处理、数据验证、软件开发、研究方法的设计、数据分析、概念化的构建。
- Bruno Després：负责写作（包括审稿与编辑）、原创稿件的撰写、项目监督、资源调配、项目管理、研究方法的设计、资金筹措、数据分析以及概念化的构建。

**利益冲突声明**
两位作者声明如下可能的财务利益或个人关系，这些因素可能被视为潜在的利益冲突：
- Moreno Pintore 表示其工作得到了PEPR IA的财政支持。
- Bruno Després 表示其工作同样得到了PEPR IA的财政支持。
如果还有其他作者参与，他们均声明自己没有已知的可能影响本文研究的财务利益或个人关系。

**致谢**
本项工作得到了PEPR/IA（https://www.pepr-ia.fr/）的资助。两位作者感谢Stéphane Jaouen在本研究过程中的有益讨论与支持。