针对不可压缩纳维-斯托克斯方程在压力稳定作用下的时间积分，采用了分隔式龙格-库塔数值算法

《Computers & Fluids》：Segregated Runge–Kutta schemes for the time integration of the incompressible Navier–Stokes equations in presence of pressure stabilization

　　P. Bakhvalov
莫斯科应用数学学院，Miusskaya广场4A号，125047，俄罗斯

**摘要**
分隔式Runge–Kutta（SRK）方案是一种用于不可压缩Navier–Stokes方程的时间积分方法。在这种方法中，对流和扩散可以分别以显式或隐式的方式处理，这特别允许构建隐式-显式（IMEX）方法。原始的SRK方案（Colomés, Badia, IJNME, 2015）是为满足inf-sup条件的有限元方法设计的。在本文中，SRK方案的思想被推广到具有压力稳定的空间离散化方法。在数值实验中，使用有限差分和有限元空间离散化展示了SRK方案的性能。数值结果表明，某种SRK方案在保持计算成本的同时，在精度方面优于三阶多步投影基方法。

**引言**
非定常不可压缩Navier–Stokes方程（NSE）的空间离散化通常会产生一个微分-代数方程（DAE）。从Chorin [1]的工作开始，这类方程通常通过分数阶投影型方法解决。这些方法有很多改进版本，详见[2]。当目标是实现高时间精度时，有几种方法可供选择：多步方法[2]、[3]、[4]、[5]、Runge–Kutta（RK）方法[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、延迟修正方法[13]、时空有限元方法[14]，也可参考其中的参考文献。

Runege–Kutta（RK）方案是以求解常微分方程（ODEs）而闻名的方法。当应用于刚性系统（x?=f(x,y), ??y?=g(x,y)）时，某些RK方案在??→+0时仍然有效。因此，它们也能够求解DAE。这样的方案被称为刚性精度方案[15]。

刚性精度方案从来都不是显式的。将隐式方案应用于Navier–Stokes方程会导致压力和速度相互耦合的非线性系统。在每个时间步长内求解这样的系统在CPU成本方面是不切实际的。尽管如此，有时仍会使用这种方法，因为它能够实现高阶收敛[6]、[8]、[9]、[10]。分隔式Runge–Kutta方案的思想是使用一个隐式-显式（IMEX）RK方案与刚性精度的隐式部分相结合，从而避免耦合的线性系统。

对于满足inf-sup条件的有限元方法[16]，给定速度场时压力是唯一确定的。这允许使用空间状态方法（参见[15]），即将微分-代数方程（关于速度和压力的）简化为关于速度的常微分方程。使用Runege–Kutta方案来解决这个ODE有几种方法：
- 应用隐式RK方案。但这又回到了需要求解耦合系统的问题。参见最近的相关综述[12]。
- 应用显式RK方案。那么在每个RK阶段都需要求解一个关于压力的椭圆方程，其余步骤都是显式的。这种方案被称为半显式Rune–Kutta（HERK）方法[7]、[15]。
- 应用隐式-显式（IMEX）RK方案。显式处理压力梯度以避免耦合系统。这种方案被称为分隔式Runge–Kutta（SRK）方法[17]。对流和扩散项可以分别放到显式部分、隐式部分或不同的部分。这分别对应于显式SRK、隐式SRK和IMEX SRK方案。

在不符合inf-sup条件的有限差分方案和有限元方法中（例如，等阶插值方法），压力不再依赖于速度，因此需要压力稳定技术。因此，[17]中定义的SRK方案是不可行的。作者在后续论文[18]（备注3.2）中明确指出了这一点。

在本文中，我们克服了这一限制，并为具有压力稳定的空间离散化构建了SRK方案。虽然主要思想保持不变，但新方案并不简化为原始的SRK方案[17]，因为压力稳定项消失了。如果底层的IMEX方法是CK类型的（见[19]中的分类），对于具有s个显式阶段的IMEX方法，原始SRK方案每个时间步长需要调用压力求解器s次，而我们的方案仅调用s?1次。与[11]中的基于RK的方法相比，SRK方案（无论是原始的[17]还是本文提出的方案）都不需要内部的压力-速度耦合循环。

我们使用的方法在底层IMEX方法和稳定项方面提供了多种选择。并非所有选择都能产生稳健且精确的时间积分方案。我们研究了不同的可能性，并选择了三种表现良好的IMEX方法，这些方法可用于尺度分辨模拟。基于四阶自适应Runege–Kutta方法[20]的SRK方案在我们的多项比较测试中表现优于三阶多步方法。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了具有压力稳定的半离散方案的一般形式。第3节展示了具有压力校正的空间离散化示例，包括有限差分和有限元方法。第4节描述了IMEX RK方法。第5节提出了新的分隔式Rune–Kutta方案。第6节包含验证结果，包括与三阶多步投影基方案的比较。在结论部分，我们总结了结果并选出了三种表现最好的SRK方案。

**论文摘录**
**Navier–Stokes方程**
在本文中，我们考虑了不可压缩Navier–Stokes方程：
??u?=0, ?u??t+(u???)u?+?p?=ν△u?+fsource(t,r)
在有界域Ω?Rd中，初始条件为u?(0,r)=u?0(r)，边界条件为u?(t,r)=u?b(t,r)，r∈?Ω。其中u?是速度向量，p?是压力，ν?0是粘性系数，fsource是源项。我们使用u?和p?这两个符号是为了区分离散解和连续解。我们还考虑了在具有周期性条件的立方体内的情况（1）–（2）。

**一般半离散形式**
在本节中，我们展示了四个满足（3）的离散梯度/散度/拉普拉斯元组的例子。

**IMEX Runge–Kutta方法**
考虑以下形式的常微分方程系统：dydt=ξ(t,y)+η(t,y)。
在本节中，我们描述了用于（23）的隐式-显式（IMEX）Rune–Kutta方法。这里ξ需要显式处理，而η需要隐式处理。我们将使用上标表示时间步长索引，下标表示阶段索引；tn始终表示时间时刻，而不是t的幂次。设yn?1是tn?1时刻（23）的数值解，τ=tn?tn?1。

文献中有两组IMEX方法，它们之间的区别在于……

**分隔式RK方案**
在这里和下文中，C(t,u)表示应显式处理的项的离散化，D(t,u)表示应隐式处理的项的离散化。对于本文主要关注的自IMEX方法，C≡?Fconv+Fsource，D≡Fdiff。回想一下，D代表散度近似，而D(t,u)代表隐式项。

**引入动量残差的符号：** R(t,u,p)=?Fconv(u)+Fdiff(u)+Fsource(t)?Gp。或者说，R(t,u,p)=C(t,u)+D(t,u)?Gp。

**验证**
在所有数值实验中，我们设置ατ=0.5(ατ)max，其中（ατ）max在第5.6节中有讨论。

**结论**
在本文中，我们提出了一类新的分隔式Rune–Kutta（SRK）方法，用于由不可压缩Navier–Stokes方程的空间离散化得到的微分-代数方程的时间积分。如果连续性方程中存在压力稳定项，原始的SRK方法[17]是不可应用的。我们的方法解决了这个问题。

SRK方案基于隐式-显式（IMEX）Rune–Kutta方法。为了满足散度约束……

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的利益冲突或个人关系可能影响本文报告的工作。