一种用于移动网格有限元方法的理论框架

《Computers & Mathematics with Applications》：A theoretical framework for a moving mesh finite element method

　　徐先民
中国科学院数学与系统科学研究院数学科学国家重点实验室，ICMSEC，NCMIS，中国科学院数学与系统科学研究院，邮编100190，北京，中国

**摘要**
在本文中，我们提出了一种新的移动有限元方法的理论框架，并在某些温和的条件下证明了该方法的收敛性。我们引入了一个正则化度量到具有自由结的有限元空间中，从而形成了一个光滑的黎曼流形和度量空间（当考虑测地距离时）。我们展示了移动有限元离散化方法可用于求解非线性反应-扩散方程，可以将其视为离散度量空间中的最大斜率曲线。这启发我们提出了JKO方案和一种新的显式稳定化数值方案用于移动有限元方法。我们进一步利用度量空间中的梯度流理论证明了移动有限元方法在一般情况下的收敛性。通过数值示例表明，这些稳定化数值方案在一维和二维问题上都能有效运行。

**引言**
自适应有限元方法已被广泛应用于解决各种科学和工程领域中的偏微分方程（PDEs），特别是在处理解中的奇点或尖锐的内部/边界层时。主要有三种类型的自适应方法：h型方法、p型方法和r型方法。h型方法在文献中得到了广泛认可和研究，它基于后验误差估计来适应性细化或粗化局部网格[1]、[2]、[3]，并被证明可以实现最佳收敛性[4]、[5]。p型方法根据解的误差调整有限元基的局部阶数。p型方法可以与h型方法结合使用，形成hp方法，其中网格和多项式阶数都根据后验误差估计在局部进行改变[2]。r型方法通常在文献中被称为移动网格（网格）有限元方法[6]、[7]，它根据解的情况重新分配网格位置，通常用于时变问题。

与基于局部网格或多项式阶数细化的方法相比，尽管移动网格方法在各种问题中得到了广泛应用（例如[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]等），但其理论分析目前仍然非常有限[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。在这一领域的一个重要成果是N. Kopteva在[11]中所做的工作，其中证明了一维静止线性奇异扰动方程的移动网格有限元方法的一阶收敛性。移动网格偏微分方程方法和基于变分的自适应方法的误差估计在[16]中给出。

最近，人们对于开发用于梯度流系统的拉格朗日型方法表现出极大的兴趣[27]、[28]、[29]。这些方法与移动有限元方法（MFEM）[14]、[30]、[31]有着密切的关系。特别是，发现梯度流系统的移动有限元方法可以从Onsager变分原理自然推导出来[32]。基于变分原理，可以为系统的静止解提供最佳误差估计，这改进了之前的结果[9]、[33]。然而，分析动态解仍然是一个重大挑战，因为它需要对离散梯度流进行更复杂的分析。此外，值得注意的是，传统的移动有限元方法有两个显著的缺点：首先，产生的半离散常微分方程（ODE）系统的系数矩阵可能变得奇异；其次，网格在移动过程中可能会恶化甚至重叠。为了解决这些挑战，一种常见的方法是在网格演化中引入粘性并加入考虑网格弹性的正则化项。然而，关于这些正则化项的选择及其对方法收敛性的影响缺乏理论指导。

本文的主要目标是建立移动有限元方法的理论框架。为此，我们利用了Onsager变分原理与度量空间中的梯度流之间的深厚联系[34]、[35]。我们为应用于耗散系统的移动有限元方法引入了一个新的数学框架，将其表述为度量空间中的离散梯度流系统。基于该框架，我们开发了Jordan-Kinderlehrer-Otto（JKO）方案[36]。通过利用度量空间中梯度流理论的分析工具[35]、[37]、[38]，我们证明了JKO方案对于非线性梯度流系统的收敛性。此外，我们为两个正则化参数建立了充分条件，以确保完全离散方案的收敛性。我们还提出了一种新的显式稳定化方案用于离散梯度流系统，显著提高了该方法的稳定性。

更具体地说，我们考虑了一个模型问题，即一个非线性反应扩散方程，它可以被视为具有L2距离的度量空间中的（连续）梯度流。为了离散化这个问题，我们首先在具有自由结的多项式非线性近似空间上引入了一个自然的度量。我们证明了这个非线性空间配备该度量后形成了一个有限维的黎曼流形。然而，流形可能存在退化的可能性，因此我们在度量中加入了一个正则化项。这种正则化还允许我们通过考虑流形内的测地距离来定义距离度量。我们证明了配备测地距离的离散流形形成了一个离散度量空间。接下来，我们研究了离散度量空间中连续梯度流的近似，这正好对应于移动有限元方法。然后，我们为离散梯度流提出了一个完全离散的JKO方案，并在温和的假设下证明了其收敛到连续问题的解。在实现中，我们通过近似JKO方案中的优化问题开发了一种新的显式稳定化方案。数值实验表明，该方法在一维和二维问题上都能有效运行。

本文的其余部分组织如下：第2节简要介绍了度量空间中的梯度流理论的一些定义。第3节介绍了连续対流-扩散方程，并将其重新表述为L2距离度量空间中的梯度流。为了过渡到离散设置，第4节定义了具有自由结的有限元函数的离散度量空间。随后，在第5节中，我们介绍了离散度量空间中对対流-扩散方程的近似，并说明了主要的理论结果。第6节专门用于阐述存在性和收敛性结果的证明。第7节提出了一种显式稳定化方案和一些数值示例。在最后一部分，我们提出了一些结论性的评论。

**章节摘要**
**初步：度量空间中的梯度流**
我们在[35]中回顾了度量空间中梯度流的一些定义。设(S,d)是一个带有距离d的给定完备度量空间。我们首先介绍(S,d)中绝对连续曲线的定义。

**定义1 绝对连续曲线**
设(a, b)是R中的一个区间。如果存在一个函数m∈Lp(a, b)，使得d(v(s),v(t))≤∫姆斯(r)dr，对于所有a< />0是扩散系数，f≥0是一个能量密度函数。我们假设Ω?R2是一个具有光滑边界的简单连通域，f(u)是一个光滑函数，且f″(u)≥λ?对于某个λ?∈R。众所周知，方程(8)可以被视为能量泛函E(u)=∫Ωα2|?u|2+f(u)dx的L2梯度流。

**离散度量空间**
为了简化符号，我们只考虑二维情况。

**离散梯度流**
在度量空间(VN,dN,δ)中，对应于能量E的离散能量定义为：
ENδ?(uh):=∫Ωα2|?uh|2+f(uh)dx+δ?∫Ω^W(?x^F(x^))dx^
其中δ?是一个正常数，最后一项是为了确保实际模拟中没有退化三角形而添加的惩罚项。在本文中，我们假设Ω^=Ω，T^h是Ω的一个准均匀划分。我们假设W(·)≥0是一个给定的函数，使得W(I)=0；W(?x^F(x^))→∞当det(?x^F(x^))→0+。

**主要结果的证明**
在本节中，我们提出了主要结果的证明。证明遵循[35]和[37]中的方法。

**实现**
JKO方案(34)提供了一个完全隐式的方案。注意ΦNδ,δ?(Δt,uh;uhn?1)相对于uh是一个非线性和非凸的函数。解决优化问题(34)通常非常困难。下面我们将考虑一些简化的方案。首先，我们将进行二次分割并近似计算距离dN,δ(uhn?1,vh)。设v, x和y是相对于vh的坐标。假设u(n?1), x(n?1)和y(n?1)是相对于uh的坐标。然后我们设置d?N,δ2(uh)

**结论**
总之，我们提出了一种新的数学框架和新的移动有限元方法数值方案。一个关键贡献是引入了一个正则化度量，使得具有自由结的有限元空间能够形成一个非退化的黎曼流形和离散度量空间。为了展示我们方法的主要思想，我们考虑了一个非线性反应扩散方程作为模型问题，它可以被解释为离散度量空间中的最大斜率曲线。