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水生生物对金属离子及其复合物的生物累积动态：一个扩展的最佳拟合模型与米氏-门腾模型框架，用于解释化学动力学、生物可利用性和生物吸收动力学之间的相互作用

《ACS Environmental Au》：Bioaccumulation Dynamics of Metal Ions and Complexes by Aquatic Organisms: An Extended Best and Michaelis–Menten Framework for the Interplay between Chemodynamics, Bioavailability, and Biouptake Kinetics

【字体： 大 中 小 】 时间：2026年05月11日 来源：ACS Environmental Au 7.7

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　　高分辨率图像下载 MS PowerPoint 幻灯片 本研究提出了一个理论框架，以超越基于平衡的生物配体模型（BLM）的局限性，理解金属的生物累积机制。通过将水介质中金属形态的动态与金属生物吸收的动力学相结合，该框架能够预测在 BLM 失效的情况下金属的生物可利用性，例如金属

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本研究提出了一个理论框架，以超越基于平衡的生物配体模型（BLM）的局限性，理解金属的生物累积机制。通过将水介质中金属形态的动态与金属生物吸收的动力学相结合，该框架能够预测在 BLM 失效的情况下金属的生物可利用性，例如金属高度络合、扩散受限的金属吸收和/或完整金属复合物的内化。该理论解释了自由金属离子和复合物的反应性传输，并结合了通过促进扩散和被动扩散的不同吸收机制。通过将细胞外金属化学动力学（相互交织的扩散和络合）与 Michaelis-Menten 吸收动力学联系起来，推导出了扩展的最佳表达式，用于描述金属生物吸收的通量。这种方法为各种生物累积情况提供了统一的解释，包括亲脂性复合物的吸收，以及通过不同的或共享的扩散促进途径同时吸收自由金属和络合金属的情况，这些途径可能受到竞争性、非竞争性和/或非竞争性抑制的影响。详细的计算示例说明了金属物种传输动态与生物吸收动力学之间的复杂相互作用，特别是探讨了金属复合物的（生物可）利用性如何影响金属内化通量，无论它们是否以完整的形式被内化。通过对 Chlamydomonas reinhardtii 在有无明确有机配体的情况下吸收钕（Nd）的实验数据的分析，进一步展示了该框架的好处。这项分析不仅得出了关键的金属生物吸收和生物亲和力参数，还提供了 BLM 无法描述这些数据的坚实证据。对 Nd 生物累积数据的定量解释确定了两种潜在的吸收机制，并讨论了区分这两种机制的方法。总体而言，这项工作为预测水系统中的金属生物累积建立了更准确和全面的理论基础，从而从根本上挑战了基于平衡的金属生物利用性的常见观点。

**1. 引言**
金属离子的生物利用性取决于其化学形态，即它们在不同物理化学形态中的分布，如自由（水合）金属离子以及它与各种无机和有机配体（L）形成的复合物。通常情况下，自由金属离子（M）是具有生物反应性的（即可内化的）金属形式，但也有少数例外，例如脂溶性金属复合物可以通过被动扩散完整地穿过生物膜。金属离子的生物吸收包括：（i）它们向生物界面的扩散；（ii）它们与生物离子转运蛋白的结合；（iii）随后的内化。根据介质中自由金属离子的扩散供应通量与金属内化通量的相对大小，在生物界面外侧的外部介质中可能会形成自由金属离子浓度梯度。自由金属离子浓度的梯度为金属复合物（ML）的解离提供了驱动力，这种解离在生物吸收的时间尺度上受到所谓 ML 不稳定性的影响。因此，金属离子的生物利用性和生物累积动力学受到暴露介质中的化学形态动态与生物界面及生物体内发生的进程时间尺度之间相互作用的影响。图 1 中示意性地展示了各种金属生物累积情景，所有这些情景都表明金属复合物可能对金属生物利用性有贡献，这一点在本工作中进一步详细说明。

**图 1**
图 1. 本文考虑的金属（M）和/或络合金属（ML）吸收情景的示意图，以及络合反应 M + L ? ML 与金属和 ML 从宏观介质向金属消耗生物体表面的扩散动力学之间的相互作用。（A）通过促进扩散途径吸收 M。（B）通过两条独立的促进扩散途径吸收 M 和 ML。（C）分别通过促进扩散途径和被动扩散途径吸收 M 和 ML。（D）通过单一促进扩散途径吸收 M 和 ML，并且在 M 和 ML 之间发生图 2 中描述的抑制过程。Su,M 和 Su,ML 分别代表 M 和 ML 的内化位点，而 Su 则表示同时对 M 和 ML 显效的内化位点。更多细节见正文。

尽管金属生物利用性和生物累积本质上依赖于金属络合的动力学以及扩散和生物吸收的时间尺度，但仍有大量文献完全忽视了所涉及过程的动态性质。例如，广泛使用的生物配体模型（BLM）隐含地假设自由金属离子的扩散供应通量不是速率限制因素，因此生物吸收唯一相关的化学物种浓度是宏观暴露介质中自由 M 的平衡浓度。自由 M 的浓度通常通过各种平衡形态模型计算得出，每种模型都有其自身的局限性。此外，关于所涉及有机配体的物理化学性质的信息通常很少，这些配体可能包括天然和工程化的分子和纳米颗粒复合物。研究表明，只有当自由 M 的扩散通量（不受不稳定复合物耦合传输的影响）远大于生物吸收通量时，假设只有自由 M 参与生物吸收才是成立的。在水生生态系统中的典型条件下，这种动态条件可能相当严重，尤其是在金属高度络合的情况下，尤其是在存在纳米颗粒复合物的情况下。在将生物吸收与毒性联系起来时，BLM 假设一旦金属离子与所谓的“生物配体”结合的程度超过某个阈值，无论时间尺度如何，毒性就会发生。在 BLM 类型框架内，各种因素（如 pH 值和溶解有机碳）对金属离子生物利用性和毒性的影响是通过对宏观暴露介质中自由金属离子平衡浓度以及与生物配体结合的平衡竞争的影响来考虑的。这种对动态因素的忽视可能是需要包含许多经验因素并重新校准 BLM 以适应每个生物体和每种暴露条件的实验观察结果的原因。观察到的完全基于经验的多重线性回归模型在预测金属生物利用性和潜在毒性方面的表现与 BLM 相当甚至更好，这突显了 BLM 方法的局限性。在此，我们提出了一个全面的理论框架，描述了一系列金属生物累积情景，在这些情景中 M 的生物利用性可能不符合标准的 BLM 平衡预测。具体来说，所考虑的过程包括金属离子和金属复合物的反应性传输——此后称为金属化学动力学——通过金属扩散传输和络合反应动力学——向金属消耗生物体（生物界面）表面的传输，以及通过不同的吸收途径（即促进和/或被动扩散途径）吸收 M 和/或 ML，这些途径可能有或没有 M 和 ML 之间的竞争性抑制（图 1）。在所有涉及促进扩散的情况下，金属跨生物膜传输的相关动力学都是根据 Michaelis-Menten 机制推导出来的。我们的发现突出了 BLM 类型模型适用的（有限的）动力学条件范围。它们还为文献中识别出的作为标准 BLM 模型例外的大量金属生物累积案例提供了坚实的理论依据，并且以前从未充分考虑过相互交织的金属化学动力学和 M 和/或 ML 的吸收动力学。通过对来自文献中记录良好的金属生物累积数据的详细分析，展示了该理论的好处，这些分析超出了限制性的 BLM 生物吸收框架，并且没有预先基于平衡的考虑。虽然本文开发的理论框架侧重于溶液中金属化学动力学与界面生物吸收动力学之间的耦合，但重要的是要认识到，在某些情况下，生物吸收可以受到特定膜转运蛋白机制的调控。例如，金属内化可以受到离子交换过程（同向运输或反向运输）或所需辅底物的影响。值得注意的例子包括氯化物作为铜的交换离子的作用，或者碳酸氢根对于通过 ZIP8 转运蛋白运输二价金属（如 Zn、Mn 和 Cd）的必要性。尽管当前理论没有明确考虑这些特定的生物传输途径，但它们可能代表根据系统不同而补充了本文中讨论的金属化学动力学和生物累积过程的关键生物层面。

**2. 材料与方法**
选择用于用此处报告的理论进行分析的实验数据。虽然有许多关于各种生物体吸收金属离子的出版物，但大多数文献的信息不足以满足我们的需求。我们确定了提供了曝光介质组成和随时间变化的生物吸收数据足够详细的研究。这些研究指的是 Chlamydomonas reinhardtii 在有无有机配体（苹果酸和柠檬酸）的情况下吸收钕的情况。对于这个系统，作者证明了标准 BLM 公式无法预测金属吸收，并提出了形成的复合物的生物利用性可能是实验结果与 BLM 计算之间差异的来源。

**3. 理论**
**3.1. 基本设定**
接下来，我们考虑自由金属离子（M）和金属复合物（ML）从含有金属络合配体（L）的介质传递到具有曲率半径 a 的球形金属消耗生物体表面的过程。下面我们将详细阐述迄今为止缺失的表达式，这些表达式定义了图 1 中所示不同生物累积情景下的 M 和 ML 吸收通量，分别表示为 ??u,MJu,M 和 ??u,MLJu,ML（mol m2 s?1）。该方法明确考虑了介质中 M/ML 化学动力学与相关 M/ML 界面吸收过程动力学之间的耦合。具体来说，我们区分了只有自由金属形态 M 具有生物反应性（即可内化）的情况（图 1A），以及 M 和 ML 都可以内化的情况（图 1B–D）。在后一种情况下，我们进一步区分了 M 和 ML 根据以下不同途径进行生物累积的情况：（i）两条不同的促进扩散途径，分别用于 M 和 ML（图 1B）；（ii）M 的促进扩散和 ML 的被动扩散（图 1C）；（iii）由一种转运蛋白类型介导的单一促进扩散途径，同时用于 M 和 ML（图 1D）。图 1 中描绘的生物累积情景涵盖了 Zhao 等人（参见图 2）所称的类型 1 至类型 5 的情况，并被这些作者认为是预测金属复合物生物利用性的经典平衡模型的主要例外。
- **类型 1**：情况是指亲脂性金属复合物的被动扩散。它对应于图 1C 中的情况，即没有 M 的吸收，即 ??u,M=0Ju,M=0。例如，鱼类（28）和藻类（29）吸收 Cd2?、Ni2? 和 Pb2? 与二硫代氨基甲酸酯、黄酸酯、二烷基二硫磷酸酯和吡啶硫酮等配体形成的复合物。
- **类型 2**：情况是指通过配体转运系统吸收亲水性金属复合物。它对应于图 1B 中的情况，其中 ??u,M=0Ju,M=0。例如，单细胞藻类 Pseudokirchneriella subcapitata 吸收 Cd-柠檬酸复合物（30），或 Chlamydomonas reinhardtii 通过 S2O32? 转运系统吸收 Ag（31）。
- **类型 3**：情况是指复合物 ML 与生物界面上的生物配体发生反应并形成所谓的三元复合物。它对应于图 1D 中的情况，其中 ??u,M=0Ju,M=0，三元复合物是在蛋白转运蛋白 Su 的活性位点和复合物 ML 之间形成的。示例包括在pH值高于6.5时，C. reinhardtii对Sc3+的吸收。(32)第4种情况代表了一种不稳定金属配合物可以促进金属吸收的例子（在质量传输受限的情况下）。它对应于图1A中的动态极限情况，其中（完全不稳定的）金属配合物的形成/解离速率在其从介质内部扩散到生物体表面的有效时间尺度上非常快。例如，在NTA（硝基三乙酸）存在下，附着藻类对Cu2+的吸收。(33)第5种情况表示金属与生物配体之间的交换是速率限制的因素。这指的是自由金属与生物配体之间的平衡发生在与内化步骤相当或更慢的时间尺度上。因此，它对应于图1A中的动力学极限，其中自由金属与生物配体的形成/解离速率在它们从介质内部扩散到生物体表面的有效时间尺度上很慢。由于实验上难以区分金属吸收受到动力学控制的情况和受到热力学控制的情况（BLM），这种情况较为罕见。一个著名的例子是两种海洋浮游植物对Fe的吸收。(34)图2图2. 根据图1D中概述的生物积累情景，表达了归一化的金属吸收通量??u,M/??maxu,MJu,M/Ju,Mmax，分别对应于(A) M/ML竞争性抑制、(B) M/ML非竞争性抑制和(C) M/ML非竞争性抑制的情况。图(D)中提供了混合抑制过程的??u,M/??maxu,MJu,M/Ju,Mmax的表达式（蓝色字体）。特征半饱和常数??u,??=M,MLKu,i=M,ML和??(I)??=M,MLKi=M,ML(I)（mol m–3）指的是描述金属与金属配体与其相应活性和抑制性转运蛋白位点结合的稳定性常数的倒数（m3 mol–1）。金属消耗生物体表面的金属和金属配体浓度分别表示为??(a)??=M,MLci=M,ML(a)。竞争性、非竞争性和非竞争性抑制分别是当??u,ML???(I)MLKu,ML?KML(I)、??u,ML=??(I)MLKu,ML=KML(I)和??u,ML???(I)MLKu,ML?KML(I)时的情况。为了简洁起见，这里只给出了??u,M/??maxu,MJu,M/Ju,Mmax的表达式。各种抑制情景下的??u,ML/??maxu,MLJu,M/Ju,Mmax的表达式是通过在所有相关符号中反转‘M’和‘ML’的表示得出的。定义该图中所示各种情景相关的金属生物吸收通量的无量纲表达式见第3.3节。请参阅文本以获取更多详细信息。高分辨率图像下载MS PowerPoint幻灯片需要强调的是，文献中的上述分类通常是基于评估自由金属的（理论）扩散通量与（测量的）金属生物吸收通量之间的比率，以及使用是否涉及竞争性M-ML平衡表面吸附的Michaelis–Menten方程。然而，生物吸收通量数据的解释从未充分整合了M和/或金属配体的化学动力学和生物吸收动力学之间的相互作用及其严谨性。在这里，我们提出了一个具有相关通量表达式的理论框架，使得能够严格解释所涉及的过程。在图1中，对于大小约为1到10微米的生物体（例如细菌、微藻或无脊椎动物的消耗器官，如鱼的鳃），生物体/介质界面的稳态金属传输在几毫秒内即可快速实现。(3,4,12,13)在远离生物金属消耗表面的介质内部，M、金属配体和L之间保持平衡，它们的相应体积浓度分别表示为?????=M,L,MLci=M,L,ML*，满足??ML=???ML/(???L???M)KML=cML*/(cL*cM*)，其中??MLKML（m3 mol–1）是金属配体的稳定性常数。实际上，L通常过量于（微量）M，因此无论络合反应M + L ? ML的进展如何，L的浓度保持不变。(3)这证明了引入无量纲金属配体稳定性常数???MLK?ML的合理性，其定义为???ML=??ML???LK?ML=KMLcL*。为了演示和数学简化，我们在此忽略了在生物积累过程中金属物种可能从介质溶液中耗尽的情况。读者可以参考之前的报告（12?15,35），其中M是唯一的生物反应性金属形式。此外，我们假设金属对生物吸收过程的毒性影响可以忽略不计，并且我们没有考虑金属的排泄。前者假设通常适用于短期生物积累和/或介质中金属浓度足够低的情景。(3)后者假设特别适用于微藻等生物体，(36)因为这些生物体的金属积累数据记录最为详尽，并且可以通过机理理论进行分析。金属转移的整个过程涉及M和金属配体的扩散，其扩散系数分别为????=M,MLDi=M,ML(m2 s–1)，以及M和金属配体在外部水介质中的转化动力学，其结合和解离动力学常数分别为??aka (m3 mol–1 s–1)和??dkd (s–1)，它们通过??MLKML关联，即??ML=??a/??dKML=ka/kd。本工作中符号的含义在术语表中定义，以便于阅读。下面，我们推导了图1中所示金属生物积累情景下的生物吸收通量??u,??=M,MLJu,i=M,ML的表达式。这个推导（第3.3节）是在第3.2节中对介质中M和金属配体浓度分布及其向金属消耗生物界面的相应扩散供应通量进行评估之后得出的。3.2. M/ML浓度分布和向生物体金属消耗表面的供应通量的表达式在这里，我们采用以金属消耗生物体中心为原点的径向坐标??r，即??=0r=0。在第3.1节所述条件下，M和金属配体浓度的空间分布分别表示为??M(??)cM(r)和??ML(??)cML(r)，由修正了与金属配体形成和解离动力学相关的化学项的耦合稳态Nernst–Planck方程控制{??M?2????M(??)+??d??ML(??)???a??ML(??)???L=0??ML?2????ML(??)???d??ML(??)+??a??ML(??)???L=0(??)(??){(a)DM?r2cM(r)+kdcML(r)?kacML(r)cL*=0(b)DML?r2cML(r)?kdcML(r)+kacML(r)cL*=0(1)其中??2????≡???2d(??2d??/d??)/d???r2f≡r?2d(r2df/dr)/dr是球坐标系中的拉普拉斯算子，??f是径向位置r的虚拟函数。与方程1相关的边界指定了远离和在生物体表面时的M和金属配体浓度，即????=M,L,ML(??→∞)=?????=M,L,ML????=M,ML(??=??)=??(a)??=M,ML(??)(??){(a)ci=M,L,ML(r→∞)=ci=M,L,ML*(b)ci=M,ML(r=a)=ci=M,ML(a)(2)其中??(a)??=M,MLci=M,ML(a)表示M和金属配体的表面浓度。为了数学上的便利，我们引入了无量纲的M和金属配体浓度分布，定义为?????=M,ML(???)=????=M,ML(???)/?????=M,MLc?i=M,ML(r?)=ci=M,ML(r?)/ci=M,ML*，其中???=??/??r?=r/a是缩放后的径向位置，??=??ML/??Mε=DML/DM是金属配体和M的扩散系数比率。按照支持信息（SI-A）中概述的程序，方程1和2的解可以写成简洁的形式(3)其中???(a)??=M,ML=????=M,ML(???=1)/?????=M,MLc?i=M,ML(a)=ci=M,ML(r?=1)/ci=M,ML*表示无量纲的M和金属配体表面浓度，方程3中的无量纲??ah?a由??a=???a(1+?????ML)/(?????ML)??????????????????????????????????√h?a=κ?a(1+εK?ML)/(εK?ML)(4)在方程4中，???a=??a??2???L/??Mκ?a=kaa2cL*/DM是无量纲的Damkh?ler数，用于比较M的扩散时间尺度??2/??Ma2/DM和金属配体的形成时间尺度1/(??a???L)1/(kacL*)。(3)同样，???a????√κ?a将生物体半径??a与反应层的厚度??M/(??a???L)?????????????????√DM/(kacL*)进行比较（图1），表示自由金属在重新与金属配体结合形成金属配体之前所经过的距离。从介质溶液中向金属消耗生物体表面扩散的M和金属配体的供应通量分别表示为????=M,MLJi=M,ML，定义为????=M,ML=????=M,ML(d????=M,ML/d??)|??=??Ji=M,ML=Di=M,ML(dci=M,ML/dr)|r=a(5)结合方程3和5，我们得到以下表达式，这些表达式定义了????=M,MLJi=M,ML??M/??maxDiff,M=1+??M???(1+??M)????ML/??maxDiff,ML=1+??ML???(1+??ML)??(??)(??){(a)JM/JDiff,Mmax=1+γMy?(1+γM)x(b)JML/JDiff,MLmax=1+γMLx?(1+γML)y(6)其中我们用简洁的形式??=???(a)Mx=c?M(a)和??=???(a)MLy=c?ML(a)表示无量纲的M和金属配体表面浓度，并进一步引入了??maxDiff,??=M,MLJDiff,i=M,MLmax，表示从介质解决方案到生物体表面的最大M和金属配体扩散通量，定义为??maxDiff,??=M,ML=????=M,ML?????=M,ML/??JDiff,i=M,MLmax=Di=M,MLci=M,ML*/a，当???(a)M=0c?M(a)=0时达到。方程6涉及无量纲参数????=M,MLγi=M,ML，由γML = ??M/(?????ML)γM/(εK?ML) = ??a/(1+εK?ML)给出，其中?ˉahˉa由方程4定义。这些参数描述了M络合动力学和M/金属配体扩散（图1）之间的耦合如何影响给定M和金属配体表面浓度下的供应通量????=M,MLJi=M,ML。使用方程4，参数????=M,MLγi=M,ML可以重写为方便的形式??M=?????ML???a/(1+?????ML)??????????????????????????√??ML=???a/[?????ML(1+?????ML)]???????????√(??)(??){(a)γM=εK?MLκ?a/(1+εK?ML)(b)γML=κ?a/[εK?ML(1+εK?ML)](7)3.3. M和金属配体生物吸收通量的表达式对于图1中显示的所有生物积累情景，稳态金属传输要求M和金属配体的生物吸收通量??u,??=M,MLJu,i=M,ML必须满足以下条件??u,??=M,ML=????=M,MLJu,i=M,ML=Ji=M,ML(8)其中M和金属配体的扩散供应通量????=M,MLJi=M,ML由方程6和7定义。与文献一致，我们假设当操作时，促进的M和/或金属配体扩散遵循Michaelis–Menten机制。(3,22)这涉及到生物反应性M和/或金属配体在相应的M和/或金属配体内化位点（在图1中表示为Su,M和Su,ML，分别代表M和金属配体转运蛋白的活性位点）的快速吸附。随后，M和/或金属配体以速率常数??int,Mkint,M(s–1)和??int,MLkint,ML(s–1)穿过生物屏障的速率限制性转运。利用Michaelis–Menten酶动力学理论描述的成熟抑制原理的类比，(22,37)我们进一步对图1D中描绘的生物积累情景进行分类。具体来说，我们区分了涉及M-ML竞争性抑制、非竞争性抑制、非竞争性抑制和混合抑制的情况。为了说明，图2说明了这些抑制过程，阐明了M和金属配体如何结合到促进M穿过生物屏障的蛋白质转运蛋白的活性（内化）和/或非活性（抑制）位点上。下面为图1和2中显示的每种生物积累情景推导了M和金属配体生物吸收通量的表达式，从M是唯一生物反应性金属形式的情景开始（图1A）。3.3.1. M是唯一生物反应性金属形式的情况（图1A）在这种金属配体未被内化的情况下，唯一的相关生物吸收通量是自由金属物种M的通量??u,MJu,M。该通量取决于自由金属的（无量纲）表面浓度??=???(a)Mx=c?M(a)，根据无量纲格式的Michaelis–Menten表达式(3,12,13)??u,M/??maxu,M=??/(??M+??)Ju,M/Ju,Mmax=x/(aM+x)(9)其中我们回顾一下??maxu,MJu,Mmax是最大的M生物吸收通量。在方程9中，??MaM表示由??M=??u,M/???MaM=Ku,M/cM*给出的无量纲金属亲和力参数，其中??u,MKu,M（mol m–3）是描述M与细胞膜上活性M-转运蛋白位点结合的特性半饱和常数。因此，M对M-内化位点的极高亲和力对应于非常低的??MaM或??u,MKu,M值。在极端情况下??M?1aM?1，所有M内化位点都被M占据（完全覆盖），达到极限??u,M→??maxu,MJu,M→Ju,Mmax。可以验证??maxu,MJu,Mmax取决于??u,MKu,M，通过在这种情况下，ξ和??p分别简化为??→???a????√/(?????ML)ξ→κ?a/(εK?ML)和??→1+???a????√p→1+κ?a。（3,4）这些完全不稳定和不可稳定的ML复合物的极端情况分别代表了通过扩散和动力学控制的ML对生物摄取通量的贡献，它们被称为动态复合物，即M和ML的特征寿命（分别由1/(??a???L)和1/??d1/kd给出）相对于时间尺度??SS=??2/??M来说非常快，后者是M从介质到消耗M的生物表面达到稳态扩散所需的时间，即??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1。符合条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们以任何方式都不参与M的生物摄取过程。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的不可稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??M=??u,M/??maxu,MQM=Ju,M/Ju,Mmax会增加，当??M?1aM?1和??M?1bM?1时，??M→1QM→1。满足条件??a???L??SS?1kacL*τSS?1和??d??SS?1kdτSS?1的ML系统被认为是惰性的，因为它们不以任何方式参与M的生物摄取。对于这些系统，我们有??=1p=1，或者等价地，??=0ξ=0。关于惰性、动态、不稳定和不可稳定ML复合物之间的区别的更多细节，读者可以参考之前的报告。（3,4）特别是，可以证明当1????a??????ML（1+?????ML）1?κ?a?εK?ML（1+εK?ML）以及???a??????ML（1+?????ML）κ?a?εK?ML（1+εK?ML）时，满足ML的非稳定性和完全稳定性。（3,4,38）强调的是，对M生物摄取有贡献的ML复合物（其贡献程度取决于它们的稳定性）可以被称为生物可利用的，即使在图1A中的生物积累情景中ML不是生物可反应（内部化）的形式。（3）如前所述，方程11对应于Best方程的标准形式，（39,40），并且已经考虑了ML复合物对通量的贡献。（3,4）很容易验证，随着M对内部化位点的生物亲和力（即??MaM）的增加和/或生物体转化能力（即??MbM）的降低，归一化通量??方程31和32可以通过数值方法求解（见第3.4节），然后通过将求解得到的$x$和$y$的值代入方程30（或等效地，方程6）来获得通量$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}$。在线性M和ML生物积累情况下，当M和ML的生物亲和力足够低时（即$\alpha_i=M,\mathbf{L}\rangle1$），方程30简化为线性表达式$\mathbf{J}_u,M=\mathbf{K}_H,M\int_M\mathbf{c}_M(a)$和$\mathbf{J}_u,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{L}\int_M\mathbf{c}_M(a)\mathbf{L}$，这些表达式中不涉及任何与M/ML竞争抑制相关的项。因此，在M和ML生物积累情况下，M/ML的竞争抑制变得不显著，图1D和图2A中的情景就严格且形式上与图1B中描述的情景相同（参见第3.3.2.1节）。反过来，在$\alpha_i=M,\mathbf{L}\rangle1$的极限情况下，M和ML表面浓度的定义表达式以及竞争抑制情况下的标准化M和ML生物摄取通量分别简化为方程21和23。

3.3.2.3 混合竞争抑制。在这种情况下，如图1D和2D所示，M和ML通过单一的促进扩散途径穿过生物屏障，这两种物质不仅竞争运输蛋白的活性位点，还竞争非活性（抑制性）位点。更具体地说，虽然M和ML与活性转运蛋白位点的结合指的是前一节中讨论的竞争抑制情况，但混合抑制情况还涉及M和ML通过抑制性位点与ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物的结合。因此，除了M和ML的生物亲和参数$\alpha_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{K}_u,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{i}}$外，我们在这里引入了ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物非活性位点的无量纲生物亲和参数$\alpha(I)=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{u},\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{k}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{M}}$。常数$\mathbf{K}_I,\mathbf{M}=\frac{\mathbf{K}_M}{\boldsymbol{M}}$（单位：mol m$^{-3}$）对应于描述M和ML与蛋白转运蛋白非活性位点结合的稳定常数的倒数。然后可以根据表面浓度$x$和$y$写出生物摄取通量$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{M}\int_M\mathbf{c}_M(a)$和$\mathbf{J}_u,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{L}\int_M\mathbf{c}_M(a)\mathbf{L}\mathbf{L}$。

应用稳态条件$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{J}_i}{\boldsymbol{Q}_i=M,\mathbf{L}$（方程8），其中$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}$和$\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}$分别由方程6和33给出，从而得到关于$x$和$y$的一组联立方程：
$$
\begin{cases}
\mathbf{A}_2(\mathbf{y})\mathbf{x}^2+\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})\mathbf{x}+\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})=0 \\
\mathbf{B}_2(\mathbf{x})\mathbf{y}^2+\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})\mathbf{y}+\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})=0 \\
\end{cases}
$$
其中函数$\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$、$\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$、$\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$和$\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$现在由以下公式定义：

3.3.2.2. 混合竞争抑制。在这种情况下，如图1D和2D所示，M和ML通过单一的促进扩散途径穿过生物屏障，这两种物质不仅竞争运输蛋白的活性位点，还竞争非活性（抑制性）位点。更具体地说，虽然M和ML与活性转运蛋白位点的结合指的是前一节中讨论的竞争抑制情况，但混合抑制情况还涉及M和ML通过抑制性位点与ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物的结合。因此，除了M和ML的生物亲和参数$\alpha_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{K}_u,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{i}}$外，我们在这里引入了ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物非活性位点的无量纲生物亲和参数$\alpha(I)=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{u},\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{k}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{M}}$。常数$\mathbf{K}_I,\mathbf{M}=\frac{\mathbf{K}_M}{\boldsymbol{M}}$（单位：mol m$^{-3}$）对应于描述M和ML与蛋白转运蛋白非活性位点结合的稳定常数的倒数。然后可以根据表面浓度$x$和$y$写出生物摄取通量$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{M}\int_M\mathbf{c}_M(a)$和$\mathbf{J}_u,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{L}\int_M\mathbf{c}_M(a)\mathbf{L}$。

应用稳态条件$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{J}_i}{\boldsymbol{Q}_i=M,\mathbf{L}$（方程8），其中$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}$和$\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}$分别由方程6和33给出，从而得到关于$x$和$y$的一组联立方程：
$$
\begin{cases}
\mathbf{A}_2(\mathbf{y})\mathbf{x}^2+\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})\mathbf{x}+\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})=0 \\
\mathbf{B}_2(\mathbf{x})\mathbf{y}^2+\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})\mathbf{y}+\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})=0 \\
\end{cases}
$$
其中函数$\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$、$\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$、$\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$和$\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$现在由以下公式定义：

3.3.2.3.2 混合竞争抑制。在这种情况下，如图1D和2D所示，M和ML通过单一的促进扩散途径穿过生物屏障，这两种物质不仅竞争运输蛋白的活性位点，还竞争非活性（抑制性）位点。更具体地说，虽然M和ML与活性转运蛋白位点的结合指的是前一节中讨论的竞争抑制情况，但混合抑制情况还涉及M和ML通过抑制性位点与ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物的结合。因此，除了M和ML的生物亲和参数$\alpha_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{K}_u,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{i}}$外，我们在这里引入了ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物非活性位点的无量纲生物亲和参数$\alpha(I)=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{u},\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{k}}{\boldsymbol{c}\ast\mathbf{M}}$。常数$\mathbf{K}_I,\mathbf{M}=\frac{\mathbf{K}_M}{\boldsymbol{M}}$（单位：mol m$^{-3}$）对应于描述M和ML与蛋白转运蛋白非活性位点结合的稳定常数的倒数。然后可以根据表面浓度$x$和$y$写出生物摄取通量$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{M}\int_M\mathbf{c}_M(a)$和$\mathbf{J}_u,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{L}\int_M\mathbf{c}_M(a)\mathbf{L}$。

应用稳态条件$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{J}_i}{\boldsymbol{Q}_i=M,\mathbf{L}$（方程8），其中$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}$和$\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}$分别由方程6和33给出，从而得到关于$x$和$y$的一组联立方程：
$$
\begin{cases}
\mathbf{A}_2(\mathbf{y})\mathbf{x}^2+\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})\mathbf{x}+\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})=0 \\
\mathbf{B}_2(\mathbf{x})\mathbf{y}^2+\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})\mathbf{y}+\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})=0 \\
\end{cases}
$$
其中函数$\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$、$\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$、$\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$和$\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$现在由以下公式定义：

3.3.2.3.2 混合竞争抑制。在这种情况下，如图1D和2D所示，M和ML通过单一的促进扩散途径穿过生物屏障，这两种物质不仅竞争运输蛋白的活性位点，还竞争非活性（抑制性）位点。更具体地说，虽然M和ML与活性转运蛋白位点的结合指的是前一节中讨论的竞争抑制情况，但混合抑制情况还涉及M和ML通过抑制性位点与ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物的结合。因此，除了M和ML的生物亲和参数$\alpha_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{K}_u,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{i}}$外，我们在这里引入了ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物非活性位点的无量纲生物亲和参数$\alpha(I)=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{u},\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{k}}{\boldsymbol{c}\ast\mathbf{M}}$。常数$\mathbf{K}_I,\mathbf{M}=\frac{\mathbf{K}_M}{\boldsymbol{M}}$（单位：mol m$^{-3}$）对应于描述M和ML与蛋白转运蛋白非活性位点结合的稳定常数的倒数。然后可以根据表面浓度$x$和$y$写出生物摄取通量$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{M}\int_M\mathbf{c}_M(a)$和$\mathbf{J}_u,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{L}\int_M\mathbf{c}_M(a)\mathbf{L}$。

应用稳态条件$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{J}_i}{\boldsymbol{Q}_i=M,\mathbf{L}$（方程8），其中$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}$和$\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}$分别由方程6和33给出，从而得到关于$x$和$y$的一组联立方程：
$$
\begin{cases}
\mathbf{A}_2(\mathbf{y})\mathbf{x}^2+\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})\mathbf{x}+\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})=0 \\
\mathbf{B}_2(\mathbf{x})\mathbf{y}^2+\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})\mathbf{y}+\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})=0 \\
\end{cases}
$$
其中函数$\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$、$\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$、$\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$和$\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$现在由以下公式定义：

3.3.2.3.2 混合竞争抑制。在这种情况下，如图1D和2D所示，M和ML通过单一的促进扩散途径穿过生物屏障，这两种物质不仅竞争运输蛋白的活性位点，还竞争非活性（抑制性）位点。更具体地说，虽然M和ML与活性转运蛋白位点的结合指的是前一节中讨论的竞争抑制情况，但混合抑制情况还涉及M和ML通过抑制性位点与ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物的结合。因此，除了M和ML的生物亲和参数$\alpha_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{K}_u,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{i}}$外，我们在这里引入了ML-转运蛋白和M-转运蛋白复合物非活性位点的无量纲生物亲和参数$\alpha(I)=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{i}}{\boldsymbol{c}_\ast\mathbf{u},\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{K}_I,\mathbf{k}}{\boldsymbol{c}\ast\mathbf{M}}$。常数$\mathbf{K}_I,\mathbf{M}=\frac{\mathbf{K}_M}{\boldsymbol{M}}$（单位：mol m$^{-3}$）对应于描述M和ML与蛋白转运蛋白非活性位点结合的稳定常数的倒数。然后可以根据表面浓度$x$和$y$写出生物摄取通量$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{M}\int_M\mathbf{c}_M(a)$和$\mathbf{J}_u,\mathbf{L}=\mathbf{K}_H,\mathbf{L}\int_M\mathbf{c}_M(a)\mathbf{L}$。

应用稳态条件$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}=\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}=\frac{\mathbf{J}_i}{\boldsymbol{Q}_i=M,\mathbf{L}$（方程8），其中$\mathbf{J}_u,\mathbf{i}=M,\mathbf{L}$和$\mathbf{J}_i=M,\mathbf{L}$分别由方程6和33给出，从而得到关于$x$和$y$的一组联立方程：
$$
\begin{cases}
\mathbf{A}_2(\mathbf{y})\mathbf{x}^2+\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})\mathbf{x}+\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})=0 \\
\mathbf{B}_2(\mathbf{x})\mathbf{y}^2+\mathbf{B}_1(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})\mathbf{y}+\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})=0 \\
\end{cases}
$$
其中函数$\mathbf{A}_0(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$、$\mathbf{B}_0(\mathbf{x}^2,\mathbf{x})$、$\mathbf{A}_1(\mathbf{y}^2,\mathbf{y})$和$\mathbf{B}_在（D）中，红色和黑色的曲线（分别代表x和y）是重叠的。高分辨率图像 下载MS PowerPoint幻灯片

在图5B中，ML仍然处于惰性状态（??→0）（ξ→0），因此不会参与M的生物摄取。同时，我们有?????1M=10BnM?1=10，因此M的生物摄取现在受到从溶液主体中扩散的限制，并且在生物界面（??=??(??)M/c?M）处形成了M的浓度梯度。由于ML的惰性，x=cM(a)/cM*与ψ无关，参见图6B中的红线。因此，当ML不被摄取时（??→0）（ψ→0），??TQT对应于M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），直到活性位点饱和（在足够高的1/??M1/aM时）（图5B）。在Henry区域内，M的表面浓度为??≈????Mx≈BnM（图3），随着1/??M1/aM的增加而增加，最终达到一个单位值，对应于活性M位点的饱和，此时内化作用成为限制因素（图6B）。??TQT和??=??(??)ML/c?MLy=cML(a)/cML*作为ψ的函数的变化趋势与图5A和6A中描述的趋势相同。

在图5C中，ML是非稳定的（??=0.1）（ξ=0.1），因此解离动力学决定了ML对M生物摄取的贡献程度，而?????1M=10BnM?1=10，因此M的生物摄取受到从溶液主体中扩散的限制。现在，当ML不被摄取时（??→0）（ψ→0），只要M的活性位点没有饱和（即在Henry区域内，1/??M1/aM足够低），??TQT就会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是非稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此完全通过耦合的M-ML扩散参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在某种程度的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也会增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????Mx≈[1+κ?aBnML]BnM（图3）。在另一个极端情况下，当ML的摄取受到扩散限制时（ψ → ∞），ML的表面浓度趋于零，因此在高1/??M1/aM时M的表面浓度平台值小于一，因为局部平衡向ML的形成偏移（图6C）。

在图5D中，ML现在是稳定的（??→1）（ξ→1），因此通过耦合的M-ML扩散完全参与M的生物摄取，并且满足条件?????1M=10BnM?1=10，所以M的生物摄取仍然受到扩散限制。与非稳定情况（图5C）相比，在M活性位点未饱和时，即使在1/??M1/aM足够高的情况下，??TQT也会超过M的最大扩散通量，即??maxDiff,MJDiff,Mmax（红色虚线），这反映了从ML解离出的M的贡献。由于ML是稳定的，M和ML的表面浓度之间存在一定的耦合（图6C）。例如，当??→0ψ→0时，没有ML的摄取，但随着M的生物亲和力增加（即1/??M1/aM增加），M的表面浓度增加（图6C中的红线），因此ML的表面浓度也随之增加（图6C中的黑线）。在这些条件下（?????1M?1BnM?1?1），在Henry区域内，x的ψ依赖性可以表示为??≈[1+???a????√????ML]????M和ML的非竞争性抑制
在这种情况下，生物摄取通量??u,MJu,M和??u,MLJu,ML由修正了非竞争性抑制的Michaelis–Menten表达式定义，见公式38。在这种条件下，类比酶动力学理论，（37,42）非竞争性抑制导致??u,MKu,M和??maxu,MJu,Mmax都出现明显的相似减少。我们下面讨论M和ML通过单一共享的促进扩散途径的内化过程，包括ML对M摄取的非竞争性抑制。也就是说，为了说明目的，假设M对ML摄取没有非竞争性影响，因此??MLQML由标准表达式给出，即公式38中的1/??(I),M→01/a(I),M→0。图9展示了总摄取通量??TQT以及M和ML的表面浓度作为M对活性位点亲和力（1/??M）（1/aM）的函数，对于不同的ML非活性抑制位点亲和力参数??(I),MLa(I),ML（以及在活性位点亲和力参数??MLaML固定的情况下）。当??→0ψ→0时，ML对摄取没有贡献，而??TQT在较大的1/??M1/aM处的平台对应于M内化位点的饱和（考虑了ML的抑制作用）。随着??(I),MLa(I),ML的增加，ML对M摄取的抑制作用减弱，因此??TQT的平台增加并趋近于1，如图9A、C、E中的黑色虚线曲线（a）→（d）所示。随着ψ的增加，ML的贡献增加，这从??TQT在较大的1/??M1/aM处超出平台时可以看出。当ML是惰性的且M的摄取受到扩散限制时（图9C），??TQT超出平台的点向更大的1/??M1/aM移动，与非扩散限制情况相比（图9A）。这个结果是由于在扩散限制情况下M的表面浓度较低（图9D），因此ML的非竞争性抑制更为有效。当ML是易变的且M的摄取受到扩散限制时（图9E），ML的易变性缓冲了M和ML的表面浓度（图9F），从而减轻了非竞争性抑制的影响。如前所述，在Henry范围内（低1/??M1/aM），当M的摄取不受扩散限制时（图9A），??TQT低于??maxDiff,MJDiff,Mmax；当M的摄取受到扩散限制且ML是惰性的时（图9C），??TQT等于??maxDiff,MJDiff,Mmax；当M的摄取受到扩散限制且ML是易变的时（图9E），??TQT超过??maxDiff,MLJDiff,MLmax，并且随着ψ → ∞而趋近于??maxDiff,MLJDiff,MLmax（图9E）。

图9：在不同ML生物亲和力参数??(I),ML值下，总金属生物摄取通量??TQT（方程41）以及相应的M/ML表面浓度??=??(??)M/???Mx=cM(a)/cM*和??=??(??)ML/???MLy=cML(a)/cML*与标准化自由金属浓度???M/??u,M=1/??McM*/Ku,M=1/aM的依赖性，适用于自由M和ML复合物通过单一促进扩散途径并以非竞争性抑制（方程38–40，图1D和2C）内化的情况。结果展示了不同的??(I),ML值，其中a(I),ML = 10–2（a），10–1（b），1（c），103（d），对于（A, B）BnM–1 = 10–1且ξ = 0；（C, D）BnM–1 = 10且ξ = 0；（E, F）BnM–1 = 10且ξ → 1。每个面板还提供了ψ→0（黑色虚线）和其他三个指定的ψ值（黑色、红色和蓝色实线）的计算结果。在（A, C, E）中，红色和蓝色虚线分别代表自由M的最大扩散通量和自由M加上ML复合物的最大扩散通量，两者都按Ju,Mmax进行了归一化。在（B, D, F）中，x和y不依赖于ψ。图中未提供的模型参数包括：1/a(I),M → 0, 1/aML = 0.3, η = 15。在（A, B）和（C, D）中检查的条件下，无论a(I),ML和ψ如何变化，我们都有QML ≈ 0.23。在（E, F）中检查的条件下，QML随a(I),ML变化的情况显示在图S1，SI–C中。

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4.1.2.3 M和ML的混合竞争性抑制和非竞争性抑制极限
为了说明目的，我们假设ML作为M摄取的混合竞争性抑制剂（方程33），并且M仅通过竞争性抑制影响ML的摄取，即方程33中的1/??(I),M→01/a(I),M→0。我们进一步回忆，非竞争性情况（方程36）是指混合竞争情况（方程33）的一个极限，其中例如ML对活性和非活性摄取位点的亲和力相同，即??(I),ML=??MLa(I),ML=aML。图10展示了总摄取通量??TQT、ML摄取通量??MLQML以及M和ML的表面浓度作为M对活性位点亲和力（1/??M）（1/aM）和不同ML对非活性抑制位点亲和力参数??(I),MLa(I),ML的函数。在图10中选择的条件下，ML对活性位点的亲和力??MLaML是固定的，因此量??MLQML、??x和??y基本上不依赖于ψ，因为???1ψ?1。

图10：在不同ML生物亲和力参数??(I),ML值下，总金属生物摄取通量??TQT（方程41）；相应的ML生物摄取通量??MLQML以及相关的M/ML表面浓度??=??(a)M/???Mx=cM(a)/cM*和??=??(a)ML/???MLy=cML(a)/cML*与标准化自由金属浓度???M/??u,M=1/??McM*/Ku,M=1/aM的依赖性，适用于自由M和ML复合物通过单一促进扩散途径并以混合竞争性抑制（方程33–35，图1D和2D）内化的情况。结果展示了不同的??(I),ML值，其中a(I),ML = 10–3（a），10–2（b），10–1（c），102（d），对于（A–C）BnM–1 = 10–1且ξ = 0；（D–F）BnM–1 = 10且ξ = 0；（G–I）BnM–1 = 10且ξ → 1。每个面板还提供了ψ → 0（黑色虚线）和其他两个指定的ψ值（蓝色和红色实线）的计算结果。在（A, D, G）中，红色和蓝色虚线分别代表自由M的最大扩散通量和自由M加上ML复合物的最大扩散通量，两者都按Ju,Mmax进行了归一化。在（B, E, H）和（C, F, I）中，QML、x和y不依赖于ψ。图中未提供的模型参数包括：1/a(I),M → 0, 1/aML = 0.3, η = 5。对于aML = a(I),ML的情况，在此处检查的条件下，非竞争性抑制极限介于（c）和（d）之间。

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图10A–C显示了ML惰性且M摄取不受扩散限制的情况的结果。图10A表明，当??→0ψ→0（黑色虚线）时，没有ML的摄取，因此??TQT仅对应于M的摄取。在这些条件下（??→0）（ψ→0），随着ML的非竞争性抑制减弱（曲线（a）→（d），在较大的1/??M1/aM处??TQT的平台幅度向1增加。随着ψ的增加，ML对总金属摄取的贡献增加，因此在较大的1/??M1/aM处，??TQT超过了??→0ψ→0时达到的平台水平。如竞争性竞争情况（图8）所讨论的，在较大的1/??M1/aM处，??MLQML达到一个极限值，等于??/(??ML/??M)y/(aML/aM）（图10B），其中在足够高的1/??M1/aM时??y趋近于1（图10C）。因此，在较大的1/??M1/aM处，??MLQML趋近于1/(??ML/??M)1/(aML/aM)，且??T=??M+????QT=QM+ηψ，参见方程41。对于图10A中的条件，??=5η=5且ψ = 10–3或10–2，分别得出??T=??M+5×10?3QT=QM+5×10?3（红色曲线）或??M+5×10?2QM+5×10?2（蓝色曲线）。在这个例子中，?????1MLBnML?1相当低（对于ψ = 10–2为10–3，对于ψ = 10–3为10–4），因此相对于ML的混合抑制过程中的非竞争性组分，ML的贡献可以忽略不计（曲线（a）→（d））。当1/??(I),ML→01/a(I),ML→0（曲线（d））时，这种ML的非竞争性组分变得可以忽略，所有ψ值的曲线都趋近于??→0ψ→0的情况（图10A）。

当M的摄取受到扩散限制且ML是惰性的时（图10D），也观察到类似的趋势（??TQT）。由于使用的ψ值较低，??TQT的平台实际上与仅M的情况相同，而ML的贡献仅在最大非竞争性抑制水平上明显（曲线（a）（ηψ分别为5 × 10–4或5 × 10–5，分别在蓝色和红色曲线中）。在Henry范围内（低1/??M1/aM），??TQT等于??maxDiff,MJDiff,Mmax，且曲线向更大的1/??M1/aM移动，与非扩散限制情况相比（图10A），这是由于M的浓度梯度（图10F），即ML在较低的1/??M1/aM下可以更有效地竞争。这一发现反映在M的浓度梯度演变中：随着ML混合抑制中的非竞争性组分的减少（曲线（a）→（d），M的浓度梯度向更大的1/??M1/aM移动（图10F）。??MLQML的趋势（图10E）反映了??MLQML对??/??Mx/aM（??=1）（y=1）的依赖性与??x对??(I),MLa(I),ML的依赖性之间的耦合（图10F）。

对于M的摄取受到扩散限制且ML是易变的情况（图10G），在Henry范围内（低1/??M1/aM），由于易变ML对M通量的贡献，??TQT超过了??maxDiff,MJDiff,Mmax。同样，由于考虑的ηψ值较低，ML的贡献几乎无法察觉。??TQT曲线在1/??M1/aM轴上的位置介于图10A,D之间，因为现在M和ML都有浓度梯度（图10I）。因此，??MLQML的趋势（图10H）现在反映了??MLQML对??/??Mx/aM的依赖性与??y的依赖性，以及??x对??(I),MLa(I),ML的依赖性之间的复杂耦合。

5. 用于解释测量到的金属生物积累数据
Yang等人（27）的文献数据（参见第2节）涉及单细胞绿藻Chlamydomonas reinhardtii在有机配体存在或不存在的情况下（即L =苹果酸或柠檬酸）对钕（M = Nd）的生物积累，图11（符号），作为自由Nd浓度的函数。选择这一特定数据集是因为它提供了非常高的实验细节和一致性，这对于我们的理论进行严格对比至关重要。关键的是，这项研究的原始作者表明，传统的生物配体模型（BLM）不适用于这一系统，因为他们观察到随着配体浓度的增加，金属生物摄取通量也在增加。这使得该数据集成为测试我们框架的理想基准，我们的框架旨在阐明“非BLM”生物积累情景，在这些情景中金属化学动力学起着关键作用。此外，该数据集提供了实验金属摄取通量，有效地整合了时间维度。这些特征——结合了特征明确的物理化学介质组成以及在存在和不存在明确有机配体的情况下测试的各种金属浓度——提供了验证我们的理论框架详细描述的金属化学动力学与金属生物摄取动力学之间相互作用的稳健输入参数。我们尝试根据以下两种不同的生物积累情景通过理论来解释这些数据集：（i）Nd和Nd-L通过两条不同的促进扩散途径内化，没有竞争（图11A，方程9, 17–20）；（ii）Nd和Nd-L通过单一促进扩散途径内化，并且存在竞争性抑制（图11B，方程30–32）。对于这两种情景，我们尝试使用相关的理论方程（以对数-对数格式）通过迭代调整涉及的生物亲和力和最大摄取通量参数??u,??=M,MLKu,i=M,ML和??maxu,??=M,MLJu,i=M,MLmax来拟合数据。首先通过在没有配体的情况下拟合生物积累数据（即通过考虑方程30在极限??u,ML→0Ju,ML→0和1/??ML→01/aML→0）来获得所需的??u,MKu,M和??maxu,MJu,Mmax值。然后在存在L的情况下拟合生物积累数据时固定这些值。图11A,B中每个数据点对应于带有配体的测量的特定对数-对数配体浓度和自由Nd浓度的组合，这些在图11C中有详细说明（分别标记为‘Malate 1,2’和‘Citrate 1,2’）。模型参数的推导是通过对两个相关数据集1和2的同时拟合来完成的。然后，利用所获得的模型参数，并根据图11C中显示的对数-对数回归（图11A和B中的蓝色虚线和粉色虚线）变化Nd的游离态和结合态浓度，对理论预测进行了评估。数据分析是使用我们为此目的开发的定制MATLAB代码进行的，该代码可根据要求提供。结果总结在表2中，同时列出了文献中为适度搅拌溶液的Nd和Nd-L的扩散系数??M,MLDM,ML（(38,43?45）以及Nd-L结合常数??MLKML（参见表格2的说明）。数据分析得出了以下结论：实验数据与考虑的两种生物积累情景完全一致，因为两种情况的拟合优度相似（参见表2中的R2值）；在两种情况下，都可以排除M和ML的扩散限制吸收。这一点通过我们对倒数Bosma数?????1M,MLBnM,ML?1的评估得到支持，这两个数值都远低于1（参见表2），并且通过Nd-L复合物的稳定性ξ的独立性得到了进一步证实（ξ是惰性的）；我们注意到，柠檬酸盐系统的R2值低于苹果酸盐系统所得到的值。这种差异主要是由于柠檬酸盐数据集中的实验数据散布较大，而不是理论框架本身的限制。具体来说，仔细检查柠檬酸盐数据发现，在几乎相同的游离金属离子浓度下（代表在不同柠檬酸浓度下进行的实验）——浓度仅相差0.01–0.02对数单位——生物吸收通量（单位为mol m–2 s–1）相差多达0.2对数单位（参见图11A和B）。这种内在的实验方差必然限制了拟合过程中可实现的最大R2值。尽管存在这种散布，理论仍然成功地捕捉到了系统的整体动力学趋势和“非标准BLM”行为。

图11
（A, B）Chlamydomonas reinhardtii的测量Nd（=M）生物积累通量??uJu与游离Nd浓度???M=NdcM=Nd*的关系（对数-对数表示）。实验在存在和不存在配体（L）的情况下进行，配体具体为苹果酸或柠檬酸（如图例框中指定）。测量结果使用理论进行定量解释，用虚线和点线表示（参见图例框）。对于存在配体的情况，尝试通过考虑两种情景对测量数据进行理论拟合：（A）Nd和Nd-L复合物的两个独立且不相关的生物积累途径（方程式9, 17–20）；（B）具有竞争性抑制的单一共有生物积累途径（方程式30–32）。（C）实验中使用的配体和游离Nd浓度的组合由符号表示，而点线和虚线指的是这些数据的对数-对数回归。从理论数据拟合得到的模型参数见表2。M的最大扩散通量（A和B中的虚线黑色线条）由??maxDiff,M=??M???M/??JDiff,Mmax=DMcM*/a给出，其中??MDM已经校正了适度搅拌溶液中的扩散层厚度，详见表格2的说明。详情见正文。

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表2. Chlamydomonas reinhardtii中Nd生物积累数据分析得到的拟合和推导参数，作为游离Nd浓度的函数，在不存在或存在配体（苹果酸或柠檬酸）的情况下（对数-对数表示，图11）
（27）

数据分析是根据金属生物积累通量表达式进行的，这些表达式适用于Nd和Nd-L复合物通过以下途径内化的情景：(i) 两个独立且不相关的生物积累途径（方程式9, 17–20，左列）或 (ii) 具有竞争性抑制的单一共有生物积累途径（方程式30–32，右列）。在没有配体的情况下，Nd生物积累数据是根据方程式30在特定范围内进行拟合的。括号中的值对应于95%置信区间的下限和上限。拟合数据所需的其他模型参数包括：（27）细胞半径μm；（38,43?45）在实验离子强度为10 mM时的稳定性常数（Nd-苹果酸）和（Nd-柠檬酸）；（52）（包括对轻微流体动力学搅拌条件校正的表观扩散系数）在25 °C时的值（m3 mol–1），以及未校正对流的扩散系数（m2 s–1）。（53）M和ML的扩散供应通量与...成正比，这与适度搅拌溶液的扩散传导项相符。（38,43?45）Yang等人（27）通过提出Nd和Nd-L生物积累是通过一个共享的促进扩散途径发生的来解释他们的数据集。然而，我们的严格理论分析表明，在线性亨利生物吸收范围内，无法区分这种情况和Nd和Nd-L通过两个不同的、不相关的途径被吸收的情况。在这一范围内，两种模型的总金属通量的理论表达式确实是相同的，如“竞争性抑制”部分所讨论的。只有当在足以饱和活性M位点的游离金属浓度下测量数据时，才能明确区分这两种生物积累情景（参见图11A与图11B）。在现有文献中，通常假设存在一个共享的生物吸收途径来解释金属的生物积累数据，特别是像稀土金属和Al(III)这样的三价离子（27,32,46?48），当标准的BLM模型由于其未考虑ML的生物可用性而失效时。除了这种解释的非唯一性外，作者们经常通过比较??u,MJu,M与??maxDiff,MJDiff,Mmax并认为??u,M/??maxDiff,M?1Ju,M/JDiff,Mmax?1来排除潜在的扩散限制（以及ML的稳定性贡献）（49?51）。然而，这种推理严格来说仅适用于未生物积累完整的ML复合物的情况。如果ML被吸收，扩散限制可能会根据操作的具体Bosma数的大小而起作用。此外，在认为M和ML共享单一吸收途径的情景中，通常假设M和ML的最大吸收通量??maxu,i=M,MLJu,i=M,MLmax是相同的（27,32,46）。我们在这里展示，虽然对于Nd和Nd-苹果酸复合物（??maxu,ML/??maxu,M=0.86）这种近似在实践中是有效的（Ju,MLmax/Ju,Mmax=0.86），但对于Nd和Nd-柠檬酸复合物（??maxu,ML/??maxu,M=0.46）则不是如此（参见表2）。最终，这项工作展示了使用基于机制的最佳米氏-门滕（Best-Michaelis–Menten）形式主义解释生物积累数据的显著优势，超越了简单的竞争性吸附等温线的广泛应用。

鉴于上述因素，所开发的框架通过用严格的生物物理推导取代了现有模型的几个基本局限性。最值得注意的是，该理论提供了一个正式的机制来解释标准生物配体模型（BLM）在“非标准BLM”情景下的失败——特别是那些尽管溶液中配体浓度增加但生物吸收通量仍然增加的情况。通过严格排除通常不合理的复合物惰性假设（通过评估所需的Bosma数），并通过对每个生物反应性（可内化的）金属形式（游离态和结合态）的具体贡献进行量化（通过推导参数ψ），理论提供了对整体金属生物吸收的精确计算。此外，在柠檬酸盐数据集中，推导证明了文献中常用的一种近似方法的不足，该方法将每种生物反应性金属形式的最大吸收通量等同起来，相反，它证明了这些参数对于Nd金属和Nd-柠檬酸复合物是不同的。或许最重要的是，该理论为以下事实提供了数学上的证明：基于亨利范围内的生物积累数据，根本不可能区分单一的共同吸收途径和两个不同的途径。这一发现直接质疑了目前文献中基于基本米氏-门滕论点的结论。

反过来，这里开发的框架解决了文献中长期存在的关于金属化学动力学与游离金属和/或结合态金属物种生物吸收动力学之间联系的空白。（2）虽然当前的验证集中在钕上，因为提供足够广泛金属浓度和明确定义配体的数据集很少，但所得到的理论见解——例如亨利金属生物积累范围内的吸收途径的数学不可区分性——具有普遍性。这种方法旨在作为解释非BLM情景的基础工具，包括与此处讨论的Nd-苹果酸/柠檬酸系统具有机械特征的银-硫磺酸盐系统等。（31）此外，该理论旨在指导未来实验的设计，提供必要的分析框架，以提取有关化学物种、生物可用性和生物积累之间复杂相互作用的信息。

6. 结论
本研究提出了一个全面的理论框架，以加深对水生生物金属积累动力学的理解。我们的模型明确考虑了水生环境中金属物种动态与生物吸收动力学之间的相互作用，从而挑战了生物配体模型（BLM）普遍采用的基于平衡的假设。在BLM失效的情况下，特别是当金属复合体浓度很高时，金属生物吸收速率受到金属从溶液到生物表面的扩散限制，或者当金属复合体具有生物反应性（即可内化）和/或具有一定稳定性的情况下，这个框架特别适用。我们的框架整合了文献中确定的偏离标准BLM的生物吸收情景中游离金属和结合金属的反应传输。（2）这些情景包括脂溶性复合物的生物吸收、通过不同的促进扩散途径吸收游离金属和结合金属，或者形成具有游离金属和结合金属物种共享的活性内化位点的三元金属-配体复合物。通过结合米氏-门滕生物吸收动力学、金属从溶液中的扩散以及溶液中的金属复合体动力学，我们推导出了扩展的最佳生物积累通量表达式。这些表达式定义了金属内化通量如何依赖于相关的金属亲和力和复合常数，以及游离金属离子和复合体的扩散和内化特性。这些表达式还考虑了当游离金属和复合金属共享膜转运蛋白上的相同活性位点时的竞争性、非竞争性或非竞争性抑制。对于所有考虑的生物吸收情况，尽可能地制定了分析表达式，特别是对于符合线性亨利生物积累范围的金属浓度。

对计算示例的详细分析表明，相对于溶液中的最大扩散供应通量而言，低金属吸收通量不足以得出只有游离金属被吸收且ML的稳定性无关的结论。相反，我们展示了金属复合体的稳定性如何影响整体金属吸收通量，这取决于复合体本身是否通过其自身的内化途径被吸收。理论还展示了金属复合体的竞争如何显著改变游离金属的吸收通量。这种影响不仅取决于其性质（竞争性、非竞争性、非竞争性或混合竞争性抑制），还取决于复合金属物种的稳定性（当有作用时），以及游离金属和复合金属的特定吸收特性，这些特性由各自的Bosma数决定（扩散限制或吸收限制的生物吸收）。这里开发的综合理论为解释生物积累数据提供了替代传统且常常受限的BLM的方法，并测试了不同内化机制的适用性。与BLM不同，我们的框架可以定量评估金属复合体对生物积累的贡献（如果有的话）。这些好处通过分析Chlamydomonas reinhardtii对钕的生物吸收的现有文献数据（27）得到了说明。

总体而言，这项工作提出了一个严谨而全面的理论框架，用于预测水生环境中的金属生物积累，超越了基于平衡的金属生物可用性的常见观点。该框架的改进之处包括：考虑生物累积过程中金属在溶液中的耗竭情况；(14) 分析涉及多齿配体及配体混合物的物种形态变化；(54?57) 并综合考虑当配体为胶体或纳米颗粒时金属配合物的稳定性问题。(16?18,58?60) 我们还预计，此处推导出的生物摄取通量表达式对于解释新兴金属污染物（如稀土金属）的生物累积和/或生物去除过程，以及更准确地确定风险评估中的金属毒性阈值具有价值。(61?67) 以为例，我们的模型与传统的BLM模型不同，能够定量预测在配体存在的情况下金属摄取量的增加。这一现象已在科学文献中得到证实(33,47?50,67?69)，而我们的模型提出了几种与这种非BLM行为一致的情景。
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