一种基于循环直觉模糊信息的多比聚合算子的储能设备评估算法

《Fuzzy Information and Engineering》：Algorithm for the Assessment of Energy Storage Devices Using Circular Intuitionistic Fuzzy Information-Based Dombi Aggregation Operators

　　摘要：近年来，圆形直觉模糊集（C-IFS）被认为是直觉模糊集（I-FS）的一种改进形式。但是，人们对它的认识仅基于某些基本的代数特性。本研究通过引入更多的代数定律特性，增强了C-IFS在Dombi聚合运算符（AOs）中的表现。这些运算符包括C-IF Dombi加权平均（C-IFDWA）、C-IF Dombi有序加权平均（C-IFDOWA）、C-IF Dombi加权几何平均（C-IFDWG）和C-IF Dombi有序加权几何平均（C-IFDOWG）。此外，我们还描述了所提出的运算符具有幂等性、单调性和有界性等特点。因此，为了计算主要成分，我们使用这些运算符对C-IF值（C-IFVs）进行了多属性决策（MADM）分析，以增加评估的运算符数量。通过一个数值示例验证了所提出的方法，证明了该方法在灵活性和准确性方面的优势。这些发现有助于推动决策工具的发展，为未来在该领域中的应用提供了一个坚实的框架。

第1节 引言
现实世界的问题复杂性强，因为它们涉及混乱、不可预测性或未解决的信息[1]–[3]。因此，模糊方法是解决日常生活中问题的一种重要技术，决策者（DM）利用这种方法来应对这些问题。Zadeh[4]引入了模糊集（FSs）的关键理论。随后，许多研究者和学者在其不同领域应用了这一理论，并提出了最有效的解决方案[5]、[6]。不幸的是，模糊集理论无法解释导致不满意的主观评估。为了克服这一限制，Atanassov[7]扩展了模糊集的概念，并引入了直觉模糊集（IFSs）的概念。Atanassov研究了两种新的IFS运算符，并探讨了它们的关键特性和属性。非成员度（DONM）和成员度（DOM）是用来指代这两种IFS指标的术语。IFS中的DOM和DONM值肯定介于[0, 1]之间。Atanassov[7]还通过犹豫度（DOH）在数学上描述了模糊集留下的不确定性，这具有特殊意义。因此，当存在不确定性（如阻力水平）时，IFSs能够更灵活和动态地提供信息[8]–[10]。由于现实世界情景的复杂性，IFSs被认为最适合处理各种物理效应[11]–[13]。对于决策者来说，选择一个最佳方案非常具有挑战性。为了做出选择，他们必须平衡多个有时相互冲突的目标[14]–[16]。实际上，由于信息不足，情况往往是不确定和模糊的。在日常生活中，这类挑战经常出现[17]、[18]。Mandal等人[19]开发了一个MCDM模型，有效地对塞尔维亚的可再生能源进行了排名。Fazlollahtabar[20]使用遗传算法优化了模糊路径规划问题，用于配送。Bellman和Zadeh[21]首次在多属性决策（MADM）情况下引入了模糊集的基本理论，以通过适当的方法解决对象的内在不确定性或不可靠性[17]、[18]、[20]。1982年，Dombi提出了Dombi t-范数（DTN）和Dombi t-余范数（DTCN）运算符，这些运算符比其他三角范数有所不同。随后，Liu等人[22]将Dombi运算符应用于IFSs，表示多属性群体决策问题。Chen和Ye[23]开发并使用了Dombi加权AOs在MADM过程中。Shi和Ye[25]将Dombi运算符扩展到中性立方集（Jun等人[24]）。Lu和Ye[26]为语言立方形式开发了一种新的Dombi AO。Jana等人[27]提出了一些双极模糊Dombi AO，它们基于几何运算、Dombi运算和常规算术。在图像模糊（Cuong[28]）框架下，Jana等人[29]开发了多种AO来评估决策过程中的不同选项的优先级。IF值（IFVs）是一种有用的方法，用于表达与MADM问题相关的模糊信息，因为现实世界的决策问题通常涉及属性之间的关系[30]–[32]。在收集IF数据时，聚合运算符至关重要。为了开发AOs，使用了DTN和DTCN，因为它们的参数使它们比现有方法更加灵活[33]–[35]。Rahman和Iqbal[36]使用直觉模糊方法和Einstein运算符优化了巴基斯坦的火车选择。2020年，Atanassov[37]引入了圆形IFS（C-IFSs）作为IFS的扩展。C-IFS中的每个元素由一个半径为r的圆表示，其中包含DOM和DONM。C-IFS对于分析和精确展示比IFS更通用的圆形结构的模糊信息非常重要[38]、[39]。它们的重要性在于能够将传统模糊集理论的应用扩展到不可避免出现圆形性的领域，如数字信号处理、图像验证和重点数据分析。尽管已经取得了很大进展，但在C-IFS框架内应用Dombi AOs的研究仍不足。本研究通过引入基于DTN和DTCN的新运算规律，为IFVs做出了贡献，然后使用这些规律开发了多种新的聚合运算符，如C-IFDWA、C-IFDOWA和C-IFDHG。这些贡献为模糊环境中的决策提供了更通用和灵活的方法，特别是在圆形模糊集的背景下[40]–[42]。物联网的集成使得实时操作数据的收集成为可能，而人工智能则处理这些数据以识别模式并预测性能趋势，从而提高了模糊认知模型在成熟度评估方面的准确性和可靠性[37]、[38]。本研究通过C-IFSs增强了不确定性的表示，利用了Dombi运算符的灵活性，并引入了新的聚合技术，提供了强大的决策工具。

由于未来几年能源供应的不可预测性和当前的环境问题，能源效率和绿色能源形式受到广泛关注，特别是在交通运输网络等应用中，这是可再生能源项目的主要焦点[36]、[45]。能源存储设备对于解决电动汽车的能源存储挑战至关重要。它们的发展始于19世纪，并一直持续到现在。已经发明并使用了多种能源存储设备，包括电池、飞轮、电气双层电容器和混合能源存储系统，后者集成了多种能源存储技术。它们的应用取决于其发展的时间线和预期用途。能源存储设备的优势包括减少总体能源使用、降低最大功率和消费者需求、电压管理、电能和能源补偿，以及使轻型铁路列车能够独立于单独的电源运行。图1展示了能源存储设备的分类。本文旨在将Dombi AOs引入C-IFSs框架中，这是一个重要的新贡献，因为它可以处理比IFS更高级的形式信息。所提出的Dombi AOs在两个方面比现有的AOs更具通用性：在提出的AOs中，半径项显著展示了IF双元组的重要性。半径项可以表现为DOM和DONM。在其应用中的变化可能有助于稳定结果。提出的AOs概括了IFS的Dombi AOs，并可以应用于以前的工作。本研究基于DTN和DTCN提出了新的IFVs运算规律。随后，我们使用这些运算规律生成了一系列AO，如C-IFDWA、C-IFDOWA、C-IFDHA、C-IFDWG、C-IFDOWG和C-IFDHG运算符。图1展示了能源存储设备的分类。（https://www.linquip.com/blog Types-of-energy-storage-methods/）

本文的结构如下：第2节回顾了一些基本定义和概念。第3节提出了依赖于DTN和DTCN的IFVs的新运算规律。这些运算规律在IF环境中用于开发新的AO。第4节提出了一种基于Dombi AOs解决决策问题的方法。第5节通过实际案例研究验证了所提方法的有效性。第6节探讨了参数对决策结果的影响。第7节将其与其他重要模型进行了有价值的比较。第8节提出了结论。

第2节 前言
Atanassov首次提出了标准FSs和IF集的扩展[7]。集合中每个元素之和为一或小于一的元素由具有DOM和DONM的IFS表示。定义1：设X表示全集。一个IFS B表示为 B={?x,μB(x),vB(x)?:x∈X}，其中 μB(x):X→[0,1] 和 vB(x):X→[0,1] 表示集合B中元素x∈X的DOM和DONM。这些函数满足条件 0?μB(x)+vB(x)? 1。DOH表示为 πB(x)= 1- [2]。

定义2 [7]、[46]：设M={?x,μM(x),vM(?)?:?∈X} 和 N={?x,μN(x),vN(x)?:x∈X} 表示全集X上的两个IFS，λ>0是任意实数。然后我们定义相关运算如下：如果对所有x∈X都有 μM(x)=μN(x) 和 vM(x)=vN(x)，则 M?N；否则 M∩N={(x,μM(x)∨vN(x),μM(x)∧vN(x):x∈X}。M∪N={(x,μM(x)∨vN(x),μM(x)∧vN(x):x∈X}。MC={(x,vM(x),μM(x)):x∈X}。M⊕N={(x,μM(x)+μN(x)?μM(x)μN(x)),vM(x)vN(x):x∈X}。M?N={(x,μM(x)μN(x),vM(x)+vN(x)?vM(x)vN(x)):x∈X}。

定义3 [47]：设α=(μα,vα) 是一个IFV。IFV α的得分函数定义为 Φ(α)=(μα?vα)，Φ(α)∈[?1,1]。

定义4 [48]：设α=(μα,vα) 是一个IFV。IFV α的精度函数定义为 Ψ(α)=μα+vα，Ψ(α)∈[0,1]。

根据定义2.3和2.4，如果α=(μα,vα) 和 β=(μβ,vβ) 是两个IFV，则：如果 φ(α)>φ(β)，则 α>β；如果 φ(α)<φ(β)，则><β；如果 φ(α)=φ(β)，则：如果ψ(α)>ψ(β)，则 α>β；如果Ψ(α)<ψ(β)，则><β；如果φ(α)=φ(β)，则 α=β。 定义5 [49]：设x和y是两个实数。则dtn和dtcn定义为： 1. dom(x,y)=1/(1+(1?xx)m+(1?yy)m) 2. dom′(x,y)=1?(1/(1+(x1?x)m+(y1?y)m) 定义6：设α=(μα,vα),β=(μβ,vβ) 是两个ifv，其中m?1且λ>0是任意实数。则IFV的DTN和DTCN运算定义为：
1. α⊕β=...
2. α?β=...
3. λα=...
4. αλ=...
5. α^λ=...

定义7 [50]：设E是一个固定的全集。E中的C-IFS Ar定义为：Ar={?x,μA(x),vA(x);r|x∈E?，0?μA(x)+vA(x)?1，r是围绕集合E中每个元素x的圆半径，μA:E→[0,1]表示元素x∈E的DOM和DONM。不确定性度量如下：πA(x)=1?μA(x)?vA(x)。

第3节 圆形直觉模糊Dombi聚合运算符
我们将在C-IFSs的背景下解释Dombi运算，重点讨论DTN和TCN。此外，我们还将介绍聚合运算符，包括C-IFDWA、C-IFDOWA、C-IFDHA、C-IFDWG、C-IFDOWG和C-IFDHG运算符。

定义8：设任意两个C-IFVs分别为α=((μα,vα);rα) 和 β=((μβ,vβ);rβ)，其中m?1,λ>0, r∈[0,1]是任意正整数。在这种情况下，C-IFVs的C-DTN和C-DTCN运算定义为：
1. α⊕β=...
2. α?β=...
3. λα=...
4. αλ=...

示例1：考虑α=((0.20,0.50),β=((0.40,0.30),0.50)，λ=4且m=2。应用定义8中的运算，我们得到：
α⊕β=((0.415887,0.282598); β?α=((0.189681,0.52106);
4α=((0.3333,0.176470);
α^4=((0.1111,0.6666);
α^4=((0.1111,0.6666);
α^4=((0.1764)。

定理1：设两个C-IFVs分别为α=((μα,vα);rα) 和 β=((μβ,vβ);rβ)，以及λ、λ1、λ2是任意三个正实数。在这种情况下，我们可以建立以下关系：α⊕β=β⊕α；α?β=β?α；λ(α⊕β)=λα⊕λβ；(λ1+λ2)α=(λ1α⊕λ2α)；(α⊕β)λ=αλ?βλ；αλ1?αλ2=αλ1+λ2。

定理2：设C-IFVs分别为αi=((μi,vi);ri)(i=1,2,…,η)。那么C-IFDWA运算符定义为：C?IFDWA(α1,α2,…,αη)=⊕ξiαi。

定理3（幂等性）：设所有C-IFVs相同，即对于所有i有αi=α。那么C?IFDWA(α1,α2,…,αη)=α。

定理4（有界性）：设C-IFVs分别为αi=((μi,vi);ri)(i=1,2,…,η)。假设α?=min{α1,α2,…αn} 且 α+=max{α1,α2,…αη}。那么 α?≤C?IFDWA(α1,α2,…αη)≤α+。这应该有助于您更好地理解数据。表4和图1中显示的排名结果清楚地表明，在C-IFDWG和C-IFDWA操作员的眼中，A3是最佳的能量存储设备。C-IFDWA和C-IFDWA操作员的排名结果是一样的。在这种情况下结果是相同的，但这是不必要的，可能会有所不同。上述排名也在图4中以几何方式展示。图4 使用C-IFDWA和C-IFDWG操作员的排名结果表示。

第5节 对参数m对决策过程影响的评估
之前提到的汇总结果可能会因变量参数的变化而有所不同，因为它们是为一组特定值计算的。本节将进行深入研究以确定结果的稳定性，并分析参数m对排名结果的影响。我们将使用不同的操作参数m值对给定的替代方案进行排名。为了说明操作参数m对MADM输出的影响，我们将利用多个m值来对替代方案进行排序。首先，我们观察C-IFDWA和C-IFDWG两个操作员的m值变化。已经注意到，当m=1,3,4,5,…,50时，A3是最佳替代方案。而在C-IFDWG操作员的情况下，最佳替代方案发生了变化。结果的变化可以在表5和表6中看到。

第6节 比较分析
本节旨在分析圆形直觉模糊Dombi AOs中半径项的影响。为此，我们采用相同的示例1，并从决策矩阵中删除半径信息。然后使用参考文献[51]中提出的IFDWA和IFDWG操作符对决策矩阵进行聚合，并比较结果。首先，我们从表1中删除了半径信息，新的决策矩阵如表7所示。现在，我们应用参考文献[51]中提出的IFDWA和IFDWG操作符对表7进行处理，结果如表8所示。请参阅所有内容。

第4节 使用C-IFDWA和C-IFDWG操作符的替代方案排名模式

第7节 结论
本文使用C-IF信息研究了基于DTN和DTCN的MADM问题。我们引入了一组新的AO，包括C-IFDWA、C-IFDWA、C-IFDHA和C-IFDWG操作符，并解释了它们的属性。随后，我们提出了一种算法，利用C-IFDWA和C-IFDWG操作符来解决MADM问题。将提出的方法的优点、可靠性和适用性与现有方法进行了比较，证明了其在处理不确定和复杂决策场景中的优越性。如果成员度和非成员度之和超过一，则信息不再符合直觉框架，并会过渡到圆形毕达哥拉斯框架[52]、[53]。

致谢
Prince Nourah bint Abdulrahman大学的研究人员支持项目编号（PNURSP2026R192），沙特阿拉伯利雅得。

附录A（定理1的证明）
我们按照以下方式证明上述结果：
α⊕β=β⊕α
α⊕β=???????????????????????????1?11+{(μα1?μα)m+(μβ1?μβ)m}1m
11+{(1?vα)vα)m+(1?vβ)vβ)m}1m
????????????????????=??????????1?11+{(μβ1?μβ)m+(μα1?μα)m}1m
11+{(1?vβ)vβ)m+(1?vα)vα)m}1m
?????????????????????=β⊕α。

附录B（定理2的证明）
我们使用归纳法证明这个定理。当η=2时，对C-IFVs应用Dombi运算得到以下结果：
C?IFDWA(α1,α2)=ξ1α1⊕ξ2α2=????????????????1?11+{ξ1(μ11?μ1)m,ξ2(μ21?μ2)m}1m
1?a711+{ξ1(1?v1v1)m,ξ2(1?v2v2)m}1m
???????????=?????????????????1?11+{∑2i=1ξi(1?uiui)m}1m
11+{∑2i=1ξi(1?vivi)m}1m
????????????。

附录C（定理3的证明）
我们有C?IFDWA(α1,α2,…,αη)=???????????????1?11+{∑ηi=1ξi/ui1?ui)m}1m
11+{∑ηi=1ξi(1?vivi)m}1m
????????????。

附录D（定理4的证明）
设αi=((μi,vi);ri)(i=1,2,…η)为多个C-IFVs。设α?=min{α1,α2,…αη}=(μ?,v?) 和 α+=max{α1,α2,…αn}=(μ+,v+)，其中 μ?=mink{μk},v?=maxk{vk},μ+=maxk{vk},v+=mink{vk},r?=mink{vk},r+=maxk{vk}。
1?11+{∑i=1ηξi(u?1?u?)m}1m?1?11+{∑i=1ηξi/ui1?ui)m}1m
1?1?11+{∑i=1ηξi(u+1?u+)m}1m
1?11+{∑i=1ηξi(v+1?v+)m}1m
1?11+{∑i=1ηξi(vi1?vi)m}1m
1?11+{∑i=1ηξi(r?1?v?)m}1m
1?11+{∑i=1ηξi(r?1?r?)m}1m
1?11+{∑i=1ηξi(r+1?r+)m}1m
α??C?IFDWA(α1,α2,…αη)?α+。