通过哈密顿能量框架评估波哥大河流域的水文地形复杂性

《Journal of Hydrology: Regional Studies》：Hydro-topographic complexity of the Bogotá River Basin assessed through a Hamiltonian energy framework

　　埃德加·奥兰多·拉迪诺-莫雷诺 | 达林·贾伊罗·莫斯克雷拉-帕拉西奥斯
哥伦比亚波哥大弗朗西斯科·何塞·德卡尔达斯区立大学技术学院

**摘要**
**研究区域**
波哥大河流域是一个多山的安第斯河流集水区，其特点是地形异质性强、人为改造显著以及地表水文动态的空间组织形式复杂。理解地形结构如何与水文变化相互影响仍是流域尺度分析的核心挑战。

**研究重点**
本研究建立了一个基于哈密顿量的空间框架，用于量化波哥大河流域的水文-地形复杂性。所提出的指标结合了来自30米数字高程模型的势能信息，以及通过Sentinel-2卫星图像在2018至2025年间获得的归一化差异水指数（NDWI）反映的多时相地表湿度变化。经过空间对齐、归一化处理并严格限定在流域范围内后，计算出哈密顿场，并分析其空间梯度以表征水文-地形变化特征。同时应用了结构一致性测试、非线性统计指标和空间梯度诊断方法来评估地形与能量耦合的一致性。

**该区域的新水文见解**
研究结果表明，哈密顿场在所有分析时间段内都具有持续的空间分布特征。坡度与哈密顿指标之间的互信息基本保持不变（约为0.289–0.294），熵值显示空间复杂性稳定（约为3.15–3.24），聚类分析一致地识别出六种水文-地形类型。这些结果表明，地形形态与水文变化之间的相互作用形成了一个具有统计规律性的空间模式，而非随机波动。因此，哈密顿框架提供了一个可重复使用的空间指标，能够识别出在高度人为改造的安第斯河流域中的水文-地形稳定区和空间对比区域。

**1. 引言**
波哥大河流域是哥伦比亚最重要的水文系统之一，因其具有环境、领土和社会经济方面的关键意义，为人口密集且开发程度高的地区提供水资源。该流域包括山区源头、过渡区和城市化程度极高的区域，导致地表水文动态存在显著的空间异质性。这种水文-地形复杂性源于地形梯度、排水网络结构和地表湿度模式之间的相互作用。在区域水文学中，空间度量方法被广泛用于表征异质性领土系统。通过地理加权回归将高分辨率多光谱数据与空间信息结合，可以更准确地估计复杂环境中的空间变化（Zhang等，2023）。同样，空间熵框架也用于量化地理系统的空间异质性和结构组织（Altieri等，2019；Chen，2020）。熵与分形维数之间的关系为不同尺度下的空间复杂性提供了可解释的度量标准（Chen等，2017；Huynh，2019），而基于香农熵的方法被用于比较和分类不同情境下的空间配置（Brigatti等，2021；Huynh，2019；Dewa等，2022；Parvinnezhad等，2021）。将信息熵应用于景观度量，进一步有助于量化空间异质性并评估系统完整性和韧性（Mattos等，2022）。从系统角度来看，熵也被用作分析领土变化和可持续性过程的概念工具（Rondinel-Oviedo和Keena，2023；Díaz álvarez，2018；Salazar Tamayo和Julio Estrada，2022）。

尽管在空间分析方面取得了这些进展，但传统的流域尺度水文指标通常基于经验关系或对单个变量（如数字高程模型或卫星图像得到的光谱指数）的孤立分析。虽然这些指标有用，但它们通常将地形结构和地表水文动态分开处理，从而限制了对它们在流域尺度上耦合效应的解释。此外，许多方法依赖于静态表示或简单的时间对比，缺乏能够整合水文-地形系统结构和动态成分的连贯时空框架。这些局限性妨碍了对异质性和城市化流域中过渡区、持续模式和空间对比的识别。多尺度时空建模框架展示了更明确整合空间和时间异质性的潜力（Qiu等，2016），但地表-水文相互作用的统一能量表示在区域水文学中仍待探索。

在此背景下，本研究提出了一种基于哈密顿量的能量整合框架，用于水文-地形分析。该方法将来自高分辨率数字高程模型的势能成分与NDWI的多时相变化相关联的动能成分结合起来。这里采用的哈密顿表述不是一种传统意义上的保守动态系统，而是一种解释性的能量构建，能够在空间明确的场中同时表示结构（地形）和动态（地表湿度）成分。多尺度分析表明，环境系统中的空间关系具有尺度依赖性和空间异质性，交互模式随空间聚合程度的不同而变化（Zhang等，2025）。

在地球科学领域，哈密顿概念主要局限于理论发展或表面水文学之外的学科。在山区城市化流域中，将数字高程模型获取的地形信息与多时相地表水文变化明确整合的成熟方法尚不多，揭示了水文-地形系统综合表征的方法论空白。本工作的主要贡献是开发了一个可重复使用的能量指标，能够定量描述水文-地形复杂性，识别出持续存在的空间模式，并检测出能量对比度较高的区域。因此，本研究的目标是通过基于地形势能和多时相NDWI动态的哈密顿指标来评估波哥大河流域的水文-地形复杂性，并量化其空间组织、时间持续性以及结构和动态成分在流域尺度上的相对贡献。

**2. 方法论**
该方法论框架遵循一个结构化的计算流程，以确保地形和水文信息的空间和时间一致性（图1）。流程首先对数字高程模型（DEM）和NDWI数据集进行预处理，包括参考系统统一、空间对齐至30米网格以及裁剪至波哥大河流域范围，以保证空间采样的一致性。预处理后，通过空间矩阵重建系统的和水文及地貌成分，进而直接计算与能量相关的变量。势能项来源于归一化地形高度，而动能成分则来自连续时间间隔内NDWI的时间变化。这两个成分随后结合，构建出代表流域耦合水文-地形状态的哈密顿场H(x,y,t)。然后使用有限差分计算哈密顿场的时间导数，以得出梯度大小、等高线表示和关键点，这些元素用于表征流域内的空间转换和水文-地形变化。

**2.1. 数据来源和空间预处理**
研究区域为位于哥伦比亚东部安第斯山脉的波哥大河流域，采用EPSG:4326参考系统进行划定。该流域以强烈的海拔梯度和典型的山地安第斯地貌异质性为特征，包括冲积平原、河湖阶地以及陡峭的山坡单元，这些因素影响了排水组织、径流集中度和地表湿度的空间分布。所有空间分析均限制在官方水文边界范围内，以确保整个水文-地形分析的一致性。地形信息来自在EPSG:4326坐标参考系统下处理的数字高程模型（DEM）。DEM经过空间对齐并裁剪至水文范围后用于分析。DEM捕获的海拔结构为计算地形衍生的势能成分U提供了基础，U作为归一化标量场纳入哈密顿框架。地表湿度变化通过Sentinel-2 MSI图像进行表征，并从中推导出归一化差异水指数（NDWI）用于分析的时间间隔。NDWI数据集经过重新处理、空间对齐，并按照与DEM相同的空间参考和网格结构裁剪至流域范围。选择Sentinel-2图像是为了确保在分析使用的获取日期期间研究区域内没有可见的云层污染。这一预处理过程确保了数据集之间的空间可比性，并允许在物理意义上的流域范围内（由波哥大河流域的空间边界定义）一致计算水文-地形指标（图2），其中包括反映地形结构的势能成分U、表示地表湿度变化率动态的动能成分T、量化水文变化幅度和方向的谱差ΔNDWI，以及用于识别水文-地形不稳定区域的哈密顿梯度ΔH。

**2.2. 概念性能量框架**
在本研究中，流域的水文-地形状态通过定义在域Ω上的空间能量表述来表示。系统的总哈密顿量为：
(1) Hx,y,t = Tx,y,t + U(x,y)，
其中Ux,y表示从DEM获得的地形衍生的势能成分，Tx,y,t对应于NDWI的时间变化相关动能成分。在此表述中，哈密顿场Hx,y,t被定义为一个无量纲空间指标，由地形依赖的势能项和NDWI衍生的动能成分的归一化组合而成。哈密顿场将流域的静态地貌结构与来自卫星观测的动态水文变化结合起来，提供了波哥大河流域水文-地形相互作用的空间指标。本研究采用的公式被解释为专为空间分析设计的归一化能量表示。哈密顿场Hx,y,t并不表示经典力学意义上的物理守恒能量，而是一个无量纲空间指标，它结合了从地形高度和NDWI时间变化中得到的相对势能和动能贡献。在此框架下，水文变化直接由多时相Sentinel-2观测得到的归一化NDWI场表示。这种表述允许将复杂的空间时间过程分解为层次化成分，便于分析异质数据并识别持续的空间模式（Ferreira等，2011）。这个无量纲量在[?1,1]区间内有定义，表示地表湿度的相对存在，并表征了流域的时空水文状态。该场的变化反映了通过多时相Sentinel-2观测检测到的地表水分分布的变化。哈密顿在场Ω上的积分表示为：
(2) H = ? Tx,y,t + U(x,y) dA，
其中dA表示计算网格的空间元素。这种表述提供了水文-地形能量结构的空间聚合表示，其中地形衍生的势能与流域内的水文变化相互作用。

**2.3. 哈密顿场的能量成分**
哈密顿公式中的势能成分表示地形对水文-地形系统的结构贡献。在本研究中，来自数字高程模型（DEM）的海拔高度被作为归一化标量场纳入，用于捕捉流域内的地形坡度梯度。该术语的目的不是严格意义上的重力势能的再现，而是引入一种受地形条件影响的能量贡献，这与2.2节中定义的整合框架一致。因此，参数g仅作为缩放因子引入，并不对应于物理重力加速度。它的作用是保持哈密顿表示的形式结构，同时确保本研究采用的归一化能量框架内的内部一致性。在此表述中，势能项表示为：
(3) U(x,y) = g ? z(x,y)，
其中U(x,y)表示与空间位置相关的归一化势能成分；z(x,y)表示每个网格单元的归一化DEM高度；g是一个无量纲权重系数，用于控制地形成分的相对贡献。高度变量z(x,y)经过缩放，以保留流域内相对海拔对比度，同时避免使用绝对高度值。因此，势能成分反映了地形变化的空间结构，而非物理守恒的能量量。在哈密顿公式中，U(x,y)作为一个地形依赖的权重场，调节总水文-地形指标H(x,y)的空间组织。图3展示了30米空间分辨率的波哥大河流域SRTM DEM及其阴影效果。高程图显示了山脉源头区域与流域较低过渡带之间明显的高度梯度。阴影效果突出了坡度方向和地貌结构，强调了调节整个流域排水组织和空间水文响应的强烈地形对比。下载：下载高分辨率图像（277KB）下载：下载全尺寸图像

图3. 波哥大河流域的水文地形。背景是来自30米DEM的阴影模型，突出了复杂的安第斯地貌。海拔范围大约在2400-3900米之间，较陡的梯度集中在东部和南部的山脉中。这种高度结构是计算势能分量U的主要输入。

哈密顿量的动能分量代表了表面湿度的时间变化，该变化来源于归一化差异水指数（NDWI）。通过算子?NDWIx,y来量化两个观测日期之间的表面水文变化，定义为在时间t1和t2获取的图像之间的光谱差异：
(4) ?NDWIx,y = NDWIx,y,t2 ? NDWIx,y,t1
该算子测量两个观测日期之间表面湿度变化的大小和方向。由于可用的NDWI数据集对应于离散的观测年份（2018、2019、2020、2021、2024和2025年），图像之间的时间间隔并不均匀。因此，ΔNDWI代表在不规则观测间隔内评估的年际变化，其解释只限于相对时间对比，而不是连续的时间动态。

为了将这种变化纳入能量框架，动能分量被表述为NDWI场时间变化的函数：
(5) T(x,y,t) = 1/2 ?NDWI(x,y)Δt
其中T(x,y,t)表示与NDWI时间变化相关的归一化动能贡献，ΔNDWI(x,y)/Δt表示水文状态的时间归一化变化率。在当前框架内，这个导数被解释为来自多时相卫星观测的时间梯度的近似值，而不是连续的物理导数。通过对时间变化进行平方，该公式强调了水文变化的大小，同时避免了方向偏差，从而突出了表面湿度变化较大的区域。与势能分量一样，动能项是无量纲的，并不对应于机械动能。相反，它作为一个适合整合到2.2中定义的归一化哈密顿量框架中的相对水文动态指标。图4展示了2018-2025年间波哥大河流域表面湿度动能分量T(x,y)的空间分布。地图显示了明显的空间异质性，某些局部区域的T(x,y)值较高，表明年际湿度变化较大，而大面积区域则显示较低的值，表明表面湿度条件相对稳定。这种空间模式反映了多时相NDWI观测检测到的地表水信号的不均匀时间动态。在哈密顿量框架内，动能场T(x,y)提供了捕捉时间水文变化的动力学分量，随后与地形依赖的势场U(x,y)整合起来，构建总的水文地形指标H(x,y.t)（图4）。

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图4. 2018-2025年间波哥大河流域的表面湿度动能图T(x,y)

2.4. 哈密顿量场的构建
构建哈密顿量场需要严格的空间整合和对所有栅格层对齐，以保持整个域内的几何和数值一致性。多个数据集的空间整合通过保持观测之间的空间对应关系，增强了复杂环境模式的分析（Liu和Yang，2024）。因此，预处理基于2018、2019、2020、2021、2024和2025年的SRTM DEM（30米空间分辨率）和Sentinel-2衍生的NDWI图像的协调整合。

所使用的高程模型的基本特性在表1中总结，包括空间分辨率、坐标参考系统、栅格尺寸和描述性高程统计信息。这些参数定义了分析的几何基础，并提供了关于哈密顿量计算所基于的空间结构的透明度。DEM和NDWI数据集都在EPSG:4326坐标参考系统下统一，并标准化为共3831行×4893列的网格，对应于18,745,083个单元格，有效地面分辨率约为30米（表1）。这种协调确保了在能量公式化之前地形和光谱层之间的完全空间对应。

表1. 分析中使用的DEM的元数据和基本统计信息。
参数 值
空间分辨率（米） 30
CRS（EPSG） EPSG:4326
栅格尺寸（行×列） 3831 × 4893
像素大小（米） 30 × 30
数据类型 float32
最大高程（米） 3989.004
平均高程（米） 1962.491
高程标准差（米） 1020.137

为了保证空间一致性，每个NDWI数据集都通过与DEM网格的精确对齐进行重采样。随后，所有栅格层都使用波哥大河流域的官方矢量边界通过严格的栅格掩码进行裁剪（多边形内部为1，外部为0）。这一过程将所有计算限制在仅与流域规模过程相关的区域内，防止包括外部像素。由此产生的预处理工作流产生了一组具有相同空间分辨率、空间范围、坐标系统和网格结构的DEM和NDWI表面。这种统一的空间框架是为计算势能和动能分量以及后续构建哈密顿量场的前提条件。

2.5. 基于梯度的不稳定性指标
修改后的哈密顿量允许评估离散化效应和离散化能量系统中的数值一致性（Skeel和Hardy，2001）。在本研究中，这一概念基础支持对重构的哈密顿量场的基于梯度的分析，而不需要严格遵循物理能量守恒。一旦所有输入层都进行了空间标准化，就为每个栅格数据集生成了完整的CSV文件，保留了Cell_ID、Row、Col属性以及相应的归一化值（DEM的Elevation_norm和每年的NDWI_norm）。每个文件恰好包含18,745,083条记录，与协调空间网格中的总单元格数相匹配。这种结构确保了整个能量工作流中每个单元格级计算的可追溯性。使用这些协调的数据集，通过整合（1）、（2）中定义的动能和势能分量，重建了每个时间间隔的哈密顿量场H(x,y,t)。所有计算都在角度分辨率为0.0002694945852358564°的DEM派生空间网格上进行，最终得到3831×4893个单元格的网格。对于2018-2019间隔，经过掩码处理后，重建的哈密顿量矩阵在流域边界内产生了6579,066个有效单元格，确保所有后续计算仅限于有效的水文域。然后使用中心有限差分计算哈密顿量的空间梯度：
(6) ?H/?x, ?H/?y
对于分析的间隔，导数值范围为：
?H/?x: -253.11838 → 268.10965
?H/?y: -268.86404 → 189.52625
这些导数量化了能量场的局部空间变化，并为评估整个流域的水文地形不稳定性提供了基础。在这个框架中，通过哈密顿量的空间导数来表征空间能量场的方向结构。空间梯度的代表性值示例说明了重构场的变化，例如：
• 单元格（行 = 1030, 列 = 3605）：?H/?x = 2.003044, ?H/?y = -2.965363
• 单元格（行 = 1467, 列 = 3431）：?H/?x = 18.420971, ?H/?y = -2.451360
• 单元格（行 = 2946, 列 = 2168）：?H/?x = -1.827212, ?H/?y = 2.499354
这些值说明了哈密顿量公式捕获的水文地形对比如何生成一个反映地形配置和表面湿度变化之间相互作用的结构化空间梯度场。

2.6. 验证框架
为了评估所提出的水文地形能量框架的内部一致性，实施了一种基于结构一致性测试、空间不稳定性诊断和定量统计指标的验证方案。该策略评估哈密顿量场H(x,y,t)是否捕捉到了流域内地形形态和表面水文变化之间有意义的关系。具体来说，分析检查了哈密顿量指标与地形坡度、能量梯度的空间组织以及该场关键统计特性的时间稳定性之间的统计关联。通过结合非线性依赖性度量、空间梯度诊断和多个时间间隔的汇总统计信息，该框架评估哈密顿量公式是否一致地反映了波哥大河流域内的水文地形相互作用。在此背景下，验证测试了哈密顿量场是否代表了地形形态和水文变化之间的统计结构耦合，而不仅仅是静态地形梯度的简单反映。

2.6.1. 结构一致性测试
在整个研究期间观察到的非线性结构证明了地形-能量耦合的稳定性。在最初的2018-2019间隔内，哈密顿量场随着地形坡度的增加而逐渐增加，直到在中等梯度处达到准稳定状态。这表明，一旦达到地形陡度的阈值，与水文地形相互作用相关的能量贡献就稳定了，表明地形结构决定了场的初始组织，而水文变化调节了在更陡峭坡度上的幅度。相比之下，所有后续间隔（2019-2025）显示了不同但高度持久的配置。尽管坡度和哈密顿量场之间的线性相关性几乎为零（r≈-0.004），但在不同坡度类别之间的分组关系显示出系统性的非线性变化。这种配置的特点是在中等坡度处有一个明显的最小值，随后在更陡峭的梯度处哈密顿量值急剧增加。这种多年间的重复行为表明，地形-能量耦合是通过非线性机制运作的，这些机制不能仅通过线性统计来捕捉。因此，所得到的多时相模式反映了地貌复杂性对哈密顿量场空间组织的一致性和统计结构的影响（图5）。

图5. 2018-2025年间H与坡度之间的分组相关性

这些非线性指标的时间稳定性进一步加强了流域内地形-能量耦合的结构特征。分析期间观察到的互信息非常小的变化表明，地形坡度关于哈密顿量场提供的信息量几乎保持不变。这种一致性表明，能量场的空间组织主要由流域的地貌结构所约束，而水文分量调节其分布，但不改变变量之间的总体统计依赖性。空间不稳定性分析揭示了地形坡度和哈密顿量梯度大小之间的明显依赖性。哈密顿量场的空间变化通过其梯度的大小来量化，定义为：
(8) I(H;S) = ∑h ∑sp(h,s) log p(h,s) p(h) p(s)
在本研究中，H代表哈密顿量场，描述了由水文变化和地形结构相互作用派生的系统的水文地形能量状态。变量S对应于地形坡度，用作基本的地形描述符。函数p(h,s)表示水文地形熵和坡度之间的联合概率分布，而p(s)表示每个变量的边际概率分布。这些分布使得可以通过信息论指标量化两个变量之间的统计依赖性。同样，熵值在间隔之间 only显示出轻微的波动，表明尽管NDWI衍生的动能分量捕获了多时相变化，哈密顿量场的空间复杂性仍然相对稳定。联合H-坡度空间中六个主导簇的持久性也支持了存在反复出现的水文地形机制，这些机制构成了流域能量配置的结构。总之，研究结果表明，哈密顿量框架捕捉到了一个统计上有序的地形-能量结构，其基本属性在分析的时间间隔内保持一致（表2）。

表2. 不同时间间隔内H-坡度关系的非线性指标
时间间隔 MI(H,Slope)
Entropy(H) 3.1496
2019–2020 0.294
2020–2021 0.294
2021–2024 0.289
2024–2025 0.294
3.2396

水文地形能量场的统计评估得到了表2中总结的信息论指标的支持。这些指标定义如下：
•Entropy(H)：量化哈密顿场中的空间复杂性或无序程度。它使用Shannon熵公式HX = -∑p(x) log p(x)计算，其中p(x)表示流域内哈密顿量值的概率分布。
•MI(H,Slope)（互信息）：测量地形坡度Slope与哈密顿量场H之间的统计依赖性。它使用联合和边际概率分布IH;Slope = ∑∑p(h,s) log p(h,s) p(h) p(s)计算。与线性相关性不同，互信息捕获了线性和非线性依赖性。
计算程序：使用多维直方图从每个30米网格单元的标准化数据估计边际ph,ps和联合ph,s概率分布。这种方法确保了无论变量的绝对尺度如何，都能稳健地量化能量场的组织。

2.6.2. 空间不稳定性比较
空间不稳定性分析揭示了地形坡度和哈密顿量梯度大小之间的明显依赖性。哈密顿场的空间变异性通过其梯度的大小来量化，定义为：（9）?H(x,y,t)=?H?x2+?H?y2。空间不稳定性分析揭示了地形坡度与哈密顿梯度大小之间存在一致且强烈的依赖关系，这种关系在所有分析的区间内都得到了验证。如图6所示，分组关系显示?H随坡度的增加而呈现出渐进和系统性的增长。这一持续趋势表明，更陡峭的地形区域与更强的能量场空间变化相关，暗示地形梯度放大了空间能量对比度，并在盆地的水文-地形结构中产生了更明显的过渡。

这种相关性在2019至2025年期间的稳定性证实了坡度与?H之间的关系并非偶发性的，而是随时间持续存在的。在所有区间内，皮尔逊相关系数都保持正值且显著（r≈0.28至0.41），进一步强调了地形形态对水文-地形不稳定性空间强度的主要控制作用。因此，结果支持这样的解释：哈密顿场对地形驱动的能量对比响应一致，将高起伏区域识别为空间能量变异性的关键区域。

表3中总结的统计指标表征了分析期间哈密顿场的水文-地形结构。在初始区间与后续区间之间的转变之后，H的均值仍然非常稳定，范围在0.566至0.568之间，而方差仅略有变化，介于0.057至0.058之间。皮尔逊系数接近零，表明地形坡度与哈密顿场之间不存在线性依赖关系，而斯皮尔曼系数约为0.20，揭示了两者之间存在弱但持久的单调关系。此外，稳定性等级的空间分布显示，低稳定性和中等稳定性区域占据了盆地的大部分面积，占总面积的80%以上，而高不稳定性区域占比不到10%。这些统计指标为哈密顿场观察到的空间模式提供了定量支持。

为了评估能量场的统计稳定性，哈密顿值被分为三个级别：低、中等和高，这是基于标准化累积分布函数（CDF）的百分位数离散化。低复杂性（<第33百分位数）对应于结构稳定性高且能量梯度低的区域，通常与平坦的冲积平原相关。中等复杂性（第33至第66百分位数）代表地形变异性开始影响动能成分的过渡区域。高复杂性（>第66百分位数）指出了具有最大水文-地形熵的区域，主要位于高梯度山前和上游盆地源头。这种分类使得多时间段的比较得以一致进行，确保高类别能够准确捕捉到波哥大河流域在所有区间内能量最活跃的区域。

使用自助法重采样来评估分析的时间区间内哈密顿指标的统计可靠性。结果表明，哈密顿场的均值在各个期间内保持高度稳定，变化范围在0.566至0.568之间，而方差仅在0.057至0.058之间略有波动。为均值和方差计算出的狭窄的自助法置信区间表明统计估计是稳健的，且抽样不确定性很小。这些统计结果共同提供了定量证据，证明观察到的哈密顿场的时间模式并非随机抽样的结果，而是反映了整个流域内一致的水文-地形结构。

2.6.3 定量指标
表3总结了分析期间哈密顿场的水文-地形特性。在初始区间与后续区间之间的转变之后，H的均值保持高度稳定，范围在0.566至0.568之间，而方差仅略有变化，介于0.057至0.058之间。皮尔逊系数接近零，表明地形坡度与哈密顿场之间没有线性依赖关系；而斯皮尔曼系数约为0.20，显示两者之间存在弱但持续的单调关系。此外，稳定性等级的空间分布显示，低和中等稳定性区域占据了盆地的大部分面积，合计超过80%，而高不稳定性区域占比不到10%。这些统计指标为哈密顿场观察到的空间模式提供了定量支持。

2.6.4 不确定性和敏感性评估
自助法重采样被用来评估分析时间区间内哈密顿指标的统计可靠性。结果显示，哈密顿场的均值在各个期间内保持高度稳定，变化范围在0.566至0.568之间，而方差仅在0.057至0.058之间略有波动。为均值和方差计算出的狭窄的自助法置信区间表明统计估计是稳健的，且抽样不确定性很小。这些统计结果共同提供了定量证据，证明观察到的哈密顿场的时间模式并非随机抽样的结果，而是反映了整个流域内一致的水文-地形结构。

2.7 敏感性分析
时间表示和规格化对于组织和分析复杂数据序列至关重要（Madkour等人，2016年）。在本研究中，哈密顿公式的构建依赖于与规格化、空间分辨率和时间离散化相关的方法假设；因此，明确考虑了这些因素对指标的敏感性。所有输入变量都进行了归一化处理，以避免依赖于绝对的物理量。DEM高程值被缩放到0-1区间，保留了相对的高度对比度，同时消除了维度单位。同样，NDWI的时间变化也被限制在其每个区间内的可观察范围内，确保势能和动能成分以可比较的标准化能量单位表示。这种转换使得派生的场U(x,y)和T(x,y,t)趋于一致，防止了由于尺度差异导致某个成分的人为主导。因此，哈密顿指标反映了相对的空间对比度，而不是绝对的能量量。解释因此集中在空间组织、梯度行为以及域Ω内的相对大小上。空间分辨率是一个额外的约束条件。所有计算都在基于SRTM DEM生成的30米网格上进行，该网格确定了评估空间梯度?H/?x和?H/?y的尺度。这种统一的网格确保了时间区间内的内部一致性，并防止了基于梯度的不稳定性指标因尺度差异而产生的扭曲。时间离散化还影响动能成分，因为NDWI数据集对应于具有非均匀间隔的离散采集年份。因此，时间变化通过连续观测之间的ΔNDWI来表示，反映了相对的年际变化，而不是连续时间的动态。在这些方法学约束下，空间哈密顿结构的稳定性表明，在分析的区间内，相对的空间对比度和梯度组织保持一致。

2.8 计算实现和可重复性
多波段遥感数据能够从特定波段组合计算光谱指数，如NDWI，其准确性取决于空间和光谱分辨率（Kshetri，2018年）。在本研究中，所有NDWI产品都是从Sentinel-2图像中提取的，并在一致的空间框架内进行处理，以确保哈密顿公式的数值稳定性和计算可重复性。用于多时间分析的NDWI数据集的主要元数据和值范围在表5中总结。所有栅格层都具有30米的统一空间分辨率、共同的地理参考系统（EPSG:4326）和float32数据格式。这种标准化配置确保了与DEM网格的兼容性，并防止了在栅格运算、ΔNDWI计算和基于梯度的分析过程中的数值不一致性。

表5总结了用于多时间分析的NDWI数据集的元数据和值范围。所有栅格层都具有30米的统一空间分辨率、共同的地理参考系统（EPSG:4326）和float32数据格式。这种标准化配置确保了与DEM网格的兼容性，并防止了数值不一致性。

2.8. 计算实现和可重复性
多波段遥感数据使得能够从特定的波段组合计算光谱指数（如NDWI），其准确性取决于空间和光谱分辨率（Kshetri，2018年）。在本研究中，所有NDWI产品都是从Sentinel-2图像中提取的，并在一致的空间框架内进行处理，以确保哈密顿公式的数值稳定性和计算可重复性。用于多时间分析的NDWI数据集的主要元数据和值范围在表5中总结。所有栅格层在分析前都进行了空间对齐，保持了相同的网格尺寸（3831×4893个单元）、分辨率（30米）和坐标参考系统。这种统一的网格确保了每个哈密顿值对应于一个独特的、可重复的空间单元，从而能够确定性地重建所有中间变量，包括U(x,y)、Tx,y,t、?H/?x和?H/?y。多变量时间序列的时空分解有助于分离局部和高频变异性成分，从而改善了对复杂环境动态的描述（Deng等人，2021年）。在这种框架下，ΔNDWI值仅在连续的可用年份之间计算，保持了3.3节中描述的离散时间结构。这种离散实现确保了所有时间导数和能量转换都可以直接追溯到可观察的NDWI输入。为每个栅格层生成的结构化CSV输出保留了Cell_ID、Row、Col以及相应的标准化值，从而实现了完全的单元级可追溯性。这种结构化的数据架构保证了所有结果（包括哈密顿图、梯度场和关键点识别）都可以从上述标准化的DEM和NDWI数据集中准确地重建。

3. 结果
3.1. 时空水文-地形结构
结合水文-地形变量通过整合地形结构和水文过程，改进了对空间变异性的解释（Chang等人，2025年）。NDWI地图的序列展示了2018、2019、2020、2021、2024和2025年波哥大河流域的地表湿度空间分布（图8）。这些多时间NDWI模式代表了系统的水文成分，并提供了形成哈密顿能量框架动能项的动态贡献。

这些多时间NDWI模式代表了系统的水文成分，并提供了随后构成哈密顿能量框架动能项的动态贡献。地图显示了NDWI值相对较低的区域以及值较高的区域，表明整个盆地内地表湿度的持续空间模式。这些模式在分析的整个期间内保持空间一致性，尽管年际间NDWI值有所变化，但主导空间结构的几何形态没有显著变化。年际间空间配置的稳定性也支持了图像对齐和规范化程序的一致性，使得能够可靠地进行盆地规模的年际比较。2018年和2025年之间NDWI的空间变化突显了波哥大河流域地表湿度的局部变化（图9）。NDWI值减少的区域与显示出正面变化的区域共存，表明整个流域的水文响应具有异质性。初始区间（2018-2019年）被识别为随后时期观察到的水文-地形重组的开始。尽管数值有所变化，但主导空间模式的几何形态大致保持不变。这一观察与多时间NDWI分布相符，其中显示负值和正值的区域保持了空间组织的一致性。这种持续性表明，地表湿度模式主要受地形和排水网络等结构性因素的影响。此外，这些空间模式的一致性支持了图像对齐和规范化程序在年际比较中的一致性。

2.7 敏感性分析
时间表示和规格化对于组织和分析复杂数据序列至关重要（Madkour等人，2016年）。在本研究中，哈密顿公式的构建依赖于与规格化、空间分辨率和时间离散化相关的方法假设；因此，明确考虑了这些因素对指标的敏感性。所有输入变量都进行了归一化处理，以避免依赖绝对的物理量。DEM高程值被缩放到0-1区间，保留了相对的高度对比度，同时消除了维度单位。同样，NDWI的时间变化也被限制在其每个区间的可观察范围内，确保了势能和动能成分以可比较的标准化能量单位表示。这种转换使得派生的场U(x,y)和T(x,y,t)趋于一致，防止了一个成分因尺度差异而占主导地位。因此，解释集中在空间组织、梯度行为以及域Ω内的相对大小上。空间分辨率构成了另一个约束条件。所有计算都是在基于SRTM DEM的30米网格上进行的，该网格决定了评估空间梯度?H/?x和?H/?y的尺度。这种统一的网格确保了时间区间内的内部一致性，并防止了因尺度引起的梯度不稳定性指标的扭曲。时间离散化也会影响动能成分，因为NDWI数据集对应于具有非均匀间隔的离散采集年份。因此，时间变异性通过连续观测之间的ΔNDWI来表示，反映了相对的年际变化，而不是连续时间的动态。在这些方法学约束下，空间哈密顿结构的稳定性表明，在分析的区间内，相对的空间对比度和梯度组织保持一致。从水文地形的角度来看，该地图描绘了流域内具有不同能量配置的区域，为后续分析梯度、稳定性模式和区域水文地形的变异提供了空间基础。哈密顿场的等高线表示突出了波哥大河流域内能量的空间梯度（图11）。这些等高线划分了哈密顿值不同的区域之间的过渡，并使该场的内部结构比栅格表示更加清晰。等高线的空间分布揭示了流域内能量梯度的明确组织。在哈密顿值变化更快的区域内，等高线密度更大，表明地形结构和水文变异性共同影响下的空间过渡更为显著。

相比之下，等高线间距较宽的区域对应于哈密顿场变化较为平缓的区域。这种等高线集中度反映了水文地形能量场中的强烈空间梯度。这种表示方法强调了哈密顿场的内部结构，并为识别流域内的能量过渡区提供了空间框架，这些区域将在后续的水文地形梯度和稳定性模式分析中得到研究。

3.2 哈密顿场的统计特征
在统计验证分析之前，量化了每个时间间隔内的有效栅格单元数量，以确保研究期间的空间采样一致性。去除无效或缺失值后，每个时间间隔的哈密顿数据集包含大约105万到662万个有效像素（表6）。2018-2019年间隔内的观测数量较少，反映了初期空间覆盖范围有限，而后续间隔的有效单元数量稳定在660万个以上。如此大的样本量大大降低了采样不确定性，并为后续章节中呈现的比较和相关性分析提供了统计上可靠的基础。

随着空间采样一致性的确立，评估了每个时间间隔内哈密顿场的统计特征，如表7所示。结果表明2018-2019年间隔与随后的时期之间存在明显差异。平均哈密顿值从初始间隔的0.723降至随后时期的约0.566-0.568，而方差从0.006增加到约0.057-0.058。这种变化反映了系统初期向哈密顿场更异质空间分布的结构性转变，之后各时期的统计属性相对稳定。百分位数统计进一步强调了这一变化：2018-2019年的较低百分位数仍然较高（P10=0.632），而随后时期的百分位数明显降低（P10=0.121），表明低能量区域在流域内显著扩展。相比之下，较高的百分位数相对稳定（P90≈0.79），表明时间差异主要与哈密顿分布的低尾部变化有关，而不是高能量状态的变化。

3.2. 哈密顿场的统计特征
在统计验证分析之前，量化了每个时间间隔内的有效栅格单元数量，以确保研究期间的空间采样一致性。去除无效或缺失值后，每个时间间隔的哈密顿数据集包含大约105万到662万个有效像素（表6）。2018-2019年间隔内的观测数量较少，反映了初期空间覆盖范围有限，而后续间隔的有效单元数量稳定在660万个以上。这样的大样本量显著降低了采样不确定性，并为后续章节中呈现的比较和相关性分析提供了统计上可靠的基础。

3.3 哈密顿场的时间动态和空间再分布
图12显示了2019-2020年、2020-2021年、2021-2024年和2024-2025年间隔内波哥大河流域哈密顿场H的多时间演变，揭示了主导能量结构的空间持续性。在所有间隔中，具有高哈密顿值的区域仍然集中在流域的相似区域，而低值区域则一致位于相似的位置。这种模式表明，流域的水文地形能量配置主要由持久的地貌特征控制，而不是短期水文波动。因此，时间变化主要表现为哈密顿场强度的变化，而不是空间模式的几何变化，这与前一节中呈现的年际变异性的统计证据一致。

3.4 非线性地形-能量关系
研究了地形坡度与哈密顿场之间的关系，以确定水文地形能量结构是否表现出线性或非线性行为。图13中的分组相关分析表明，坡度与哈密顿值之间的关联并不遵循简单的线性趋势。2018-2019年间隔内，皮尔逊相关系数表明中等程度的正线性关联（r≈0.3502），表明较高的哈密顿值倾向于出现在坡度增加的区域。然而，分组关系的形状显示出一个明显的非线性模式：平均哈密顿值在低坡度时迅速增加，然后在坡度超过约20-25°时趋于平稳，表明能量场对进一步增加的地形梯度的敏感性降低。

3.5 水文地形不稳定性模式
水文地形不稳定性定义为哈密顿场Hx,y,t的空间变异强度，它表达了地形结构和地表水文动力学的综合能量状态。这种变化通过哈密顿场的空间梯度来量化：
(10) ?H = ?H/?x, ?H/?y
公式(11) 测量了能量场在相邻单元之间变化的速率。?H的高值表明地形-湿度行为的突然空间过渡，反映了对外部地形变化或湿度含量变化高度敏感的不稳定条件。相反，低值代表系统保持空间均匀行为的区域，表明水文地形稳定性。因此，基于这个能量场，使用有限差分在每个方向上估计了空间导数：
(11) ?H/?x ≈ Hx+1,y ? Hx?1,y
2?x, ?H/?y ≈ Hx,y+1 ? Hx,y?1
最后，计算了每个DEM单元的梯度大小。该指标的高值识别出地形与地表湿度耦合存在显著差异的区域，而低值则对应于空间响应更为均匀和持续的区域。在地图（图17）中，明亮的黄色和橙色色调表示高?H值，这些区域具有显著的水文-地形不稳定性。这些区域的特点是地形与地表湿度之间的相互作用发生突然变化，通常与陡坡、地貌边界或地表水再分配呈现明显梯度的区域相关。下载：下载高分辨率图像（218KB）下载：下载完整尺寸图像

图17. 2018-2019年波哥大河流域的哈密顿梯度幅度（|?H|）。

相比之下，深紫色或黑色色调代表的区域显示出低?H值，反映出水文-地形系统的空间稳定性。在这些区域，哈密顿量变化平滑，水文响应与地形结构保持一致，这通常是相对平坦的表面或均匀地貌单元的特征。同样，图17展示了2018-2019年间波哥大河流域哈密顿场梯度（?H）的幅度，突显了水文-地形不稳定性的空间分布。较高的?H值以浅黄色调表示，表明这些区域存在突然的能量转换，而较暗的色调则对应于哈密顿场空间变化较为平滑的区域。这种模式有助于识别对水文-地形变化更敏感的区域。

与图18不同，图19展示了2018-2025年间哈密顿梯度（?H）的累积幅度，能够识别出随时间持续存在的水文-地形不稳定模式。与2018-2019年的分析相比，这种多时相聚合减少了年际波动，并强调了整个分析期间梯度强度反复出现的区域。这种行为表明，高?H值的区域对应于水文-地形系统中的结构转变，其中哈密顿场的微小空间变化转化为显著的能量变化。这些区域反映了系统更高的敏感性，这与复杂地形与持续的地表水文动态之间的耦合有关。相反，低梯度的区域表明能量组织更为均匀且时间上更稳定。总体而言，哈密顿梯度的多年模式为区分波哥大河流域内持续不稳定区域和表现出更稳定水文-地形行为的区域提供了可靠的指标。

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图18. 2018-2025年波哥大河流域的哈密顿梯度幅度（|?H|）。

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图19. 基于|?H|的波哥大河流域水文-地形稳定性分类（2018-2025年）。

分类后的水文-地形稳定性地图揭示了一种异质的空间模式，反映了2018年至2025年间DEM-NDWI系统对局部地形和地表湿度变化的差异敏感性。绿色区域表示哈密顿梯度幅度最小的区域，表明这些区域表面相对均匀，坡度平缓，水文响应随时间稳定。这些区域与持续的地形特征和低光谱变异性相关，表明水文条件可预测，且对突然变化的不敏感性较低。相比之下，黄色色调代表稳定性中等的区域，通常位于地形过渡带，坡度和湿度的变化开始加剧，但尚未达到临界水平。橙色和红色区域表示最高不稳定性的区域，其特征是升高的?H值。在这些区域，微小的地形变化导致水文响应的显著差异，反映出活跃的微地形、易受影响的坡度和非线性的水文动态。这些区域集中了地貌单元之间最突然的转换，并在NDWI上展现出高度的时空对比，因此可以被视为盆地内的关键区域。它们的识别在操作上具有相关性，因为它有助于优先安排监测工作、评估潜在的退化过程，并识别地形与水文动态相互作用对环境或人为干扰更为敏感的区域。

不稳定过程中的势能变化反映了事件的大小，并与系统的机械响应的动态变化相关（Dorostkar和Carmeliet，2018年）。这三个评估变量综合了2018年至2025年间系统水文-地形响应的关键维度。U分量表示来源于标准化地形的势能，反映了潜在的地貌控制；高值表示较高的地表或相对起伏较大的区域，而低值对应于较为平坦或低洼的区域。T分量是从NDWI的标准化时间变化中获得的，捕捉了水文变化的相对幅度，作为总结整个时期地表湿度空间变异性的动态指标。最后，?NDWI量化了2018年至2025年间的绝对水文变化，从而能够识别地表水分可用性或持续性的实际增加或减少。基于这些指标（U、T和?NDWI）的联合空间分布，采用聚类程序将具有相似能量行为的像素分组，形成了图20中显示的八个区域。

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图20. 波哥大河流域中哈密顿临界点的聚类结果分为八个区域。

如图20所示，波哥大河流域被划分为八个捕捉地形结构和地表湿度动态空间对比的水文-地形区域。表11中总结的区域统计数据显示了这些区域能量成分和NDWI衍生变异性的一致模式。区域1、3、4、6和7表现出较高的U值（>0.90），表明这些区域受到强烈的地貌控制，具有较高的地形或结构上巩固的地形特征。

表11. NDWI衍生变异性和水文-地形指标的区域统计

区域 U均值 U标准差 T均值 T标准差 ?NDWI均值 ?NDWI标准差
1 10.90 60.01 20.59 70.05 20.16 50.12
4 20.77 10.02 0.54 90.03 0.05
7 10.08 23.09 0.01 40.59 0.05
6 10.13 64.09 0.02 90.05 0.16
3 13.35 0.85 30.05 30.05 0.13
2 12.76 0.92 50.03 0.59 0.13
8 80.74 0.01 80.52 0.07
5 90.91 0.01 10.12 0.16
9 10.16 90.74 0.02 0.59 0.16
1 70.92 0.03 0.58 0.13 0.07

相比之下，区域2、5和8的U均值相对较低，反映了能量框架内的地形影响较为温和。在水文变异性方面，区域1、3和4表现出最高的T均值以及正的?NDWI均值，表明这些区域的地表湿度变异性更强。区域5和7的?NDWI水平介于中等，而区域2和8的均值最低，表明整个流域的NDWI衍生变异性相对较弱。尽管区域3、4和6的统计指标数值范围相似，但它们的单独包含对于全面分析流域非常重要。这些区域代表了不同的功能段：区域3捕捉了从上游到中游的过渡；区域4受到北部大都市区大量径流的影响；区域6反映了Salto del Tequendama之前的平坦冲积区中的能量耗散模式。保持这些监测单元确保了哈密顿框架考虑了不同的人为和地貌压力，确认观察到的空间稳定性是流域组织的一致特征，而不是特定子流域的偶然结果。最后，区域8在所有三个变量中都表现出最低的值，表明水文行为减弱，空间变异性降低。总体而言，这些结果有助于区分具有高地形稳定性但水文动态活跃的区域和能量较低且响应有限的区域，为优先考虑空间分析或监测活动提供了定量基础。

4. 讨论

4.1. 能量框架的物理解释

本研究采用的哈密顿公式应被解释为一个综合的空间框架，而不是一个物理上守恒的动力系统。在这个背景下，哈密顿场并不代表经典意义上的机械能，而是一个结合了地形衍生的势能成分和NDWI捕获的水文变异性的标准化指标。这种公式使得可以在单一空间变量中表示地貌结构和地表水文动态，从而识别流域内的能量对比和空间组织模式。因此，哈密顿场可以理解为水文-地形耦合的诊断描述符，其中高值表示地形形态和水文变性一致的区域，而低值对应于这种相互作用较弱或空间上更为分散的区域。从这个角度来看，该框架提供了流域尺度能量组织的连贯表示，而不意味着存在一个保守的物理系统。

4.2. 方法论的稳健性和局限性

所提出框架的稳健性来源于多时相卫星观测和地形信息在统一空间分辨率和标准化方案下的协调整合。跨时间间隔观察到的统计关系的稳定性，以及H-坡度关系中的非线性模式的持续性，表明哈密顿场捕捉到了流域内可复制的空间结构。然而，在解释结果时应考虑几个方法论限制。该公式依赖于标准化变量，因此强调相对空间对比而不是绝对能量幅度。此外，空间梯度取决于采用的网格分辨率，在本研究中对应于30米分辨率的DEM。同样，动态分量来源于离散的NDWI观测，意味着时间变异性是通过年际差异来表示的，而不是连续的水文动态。这些考虑限定了框架的解释范围，同时确认了在采用的空间和时间离散化范围内结果的内在一致性。

4.3. 人为和区域影响

哈密顿场的空间组织提供了关于地形结构和水文变异性如何在整个流域内相互作用的见解。观察到的能量对比突出了地形配置和地表湿度动态结合产生更强空间梯度的区域，表明这些区域的水文-地形异质性较高。这些能量梯度反映了由地形控制的势能与NDWI衍生的动态成分所代表的地表水条件时间变异性的空间耦合。因此，哈密顿场揭示了地形-水相互作用在空间上更为结构化或动态响应更强的区域。从流域尺度的角度来看，这种空间组织为解释整个流域的水文-地形变异性提供了定量框架。识别出能量行为对比明显的区域有助于理解水文功能的空间差异，并表征地形-水相互作用更为显著的区域。在此背景下，先前的研究表明，基于土地利用和土地覆盖的水文参数估计可能会引入显著的空间差异，其影响主要在局部尺度上体现，而不是在大流域的集成水文响应中（Kalyanapu等人，2009年）。因此，哈密顿框架提供了一个空间整合的水文-地形复杂性视角，支持在不依赖于单一变量指标的情况下分析流域尺度的水文模式。

5. 结论

本研究提出了一个基于哈密顿的空间框架，将地形形态和水文变异整合为单一的标准化能量指标。通过结合DEM衍生的地形结构和基于NDWI的时间变性，该方法提供了流域尺度水文-地形组织的综合表示，并能够识别与地形-水相互作用相关的空间能量对比。定量分析揭示了地形坡度与哈密顿场在所有分析时间间隔内持续存在的非线性关系。互信息值基本保持恒定（约0.289-0.294），熵值表明空间复杂性的稳定水平（约3.15-3.24），聚类一致地识别出六个水文-地形制度。这些结果表明，哈密顿场的空间组织随时间展示了可复制的统计结构。在这个框架内，哈密顿指标应被解释为一个标准化的空间描述符，而不是一个物理上守恒的能量量。因此，分析强调相对空间对比和梯度行为，而不是绝对能量幅度。结果的解释因此受到采用的空间分辨率（30米分辨率DEM）和从年际NDWI差异得出的离散时间表示的影响。最后，哈密顿场的空间配置突出了地形形态和水文变异性共同产生更强能量梯度的区域。这种空间视角有助于解释波哥大河流域的水文-地形组织，并为识别地形-水相互作用在表面水文行为中产生更大空间变异性的区域提供了基础。未来的研究应将该框架扩展到更长的时间记录和额外的河流流域，以评估哈密顿指标在不同水文气候和地貌条件下的适用性。

cRediT作者贡献声明

Edgar Orlando Ladino-Moreno：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，验证，软件，项目管理，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。达林·贾伊罗·莫斯奎拉-帕拉西奥斯（Darin Jairo Mosquera-Palacios）：撰写——审稿与编辑、方法论、概念化。

**局限性**
本研究存在以下局限性：数据的时间跨度为2018年至2025年，时间序列的长度有限，同时所考虑的社会经济与环境变量范围也较为狭窄。

**伦理声明**
所描述的研究方法并未涉及任何生物体，也未需要进行任何生物实验；因此，无需伦理审批。