竞争-拮抗共生优化：一种新型的元启发式优化算法

《Results in Engineering》：Competition-Amensalism Optimization: A Novel Metaheuristic Optimization Algorithm

　　阿廷库特·阿蒂纳富·伊尔马 | 贝雷克尔特·海尔·沃尔德吉奥尔吉斯
机械与工业工程学院，巴希尔达尔理工学院（BiT），巴希尔达尔大学，巴希尔达尔，6000，阿姆哈拉州，埃塞俄比亚

**摘要**
本研究介绍了一种新颖的元启发式优化算法——竞争-利他主义优化（CAO），其灵感来源于生态系统中的竞争互动。CAO采用了一种双阶段搜索策略：竞争阶段用于增强全局探索，利他主义阶段用于强化局部利用。这种协同作用确保了探索与利用之间的平衡，这对于解决复杂的高维优化问题至关重要。通过32个不同的基准函数和七个经典的工程设计问题，对CAO的性能进行了严格评估。实验结果表明，CAO始终能够提供高质量的解决方案，并且其收敛性能优于几种先进的元启发式算法。其适应性使其在单模和多模问题上都能表现出色，表明其适用于各种类型的问题。这些有希望的结果突显了CAO在解决实际优化问题方面的潜力。未来的研究将集中在自适应交互策略、受限和多目标优化扩展以及在噪声较大和动态变化的优化环境下的大规模验证上。

**1. 引言**
近年来，工程问题的复杂性显著增加，传统的优化方法已不足以有效地解决这些问题。与经典数学方法相比，元启发式优化算法因其简单性和适应性而成为简单、灵活且强大的替代方案。这些算法从自然过程（包括动物行为、进化机制、物理现象和人类行为）中汲取灵感，旨在找到复杂工程和结构问题的最优或近似最优解。
在过去的几十年里，研究人员提出了许多元启发式优化算法，它们在各个领域都优于传统优化方法。元启发式算法采用迭代程序，在探索（全局搜索）和利用（局部搜索）之间取得平衡，以找到最优解[1]。著名的元启发式算法包括遗传算法（GA）[2]、差分进化（DE）[3]、粒子群优化（PSO）[4]、共生生物搜索（SOS）[5]、模拟退火算法（SA）[6]、人工蜂群（ABC）[7]、杜鹃搜索（CS）[8]、蚁群优化（ACO）[9]、蜜蜂算法（BA）[10]、萤火虫算法（FA）[11]、猫群优化算法（CSO）[12]、斑点鬣狗优化（SHO）[13]、鹰优化器（AO）[14]、水黾算法（WSA）[15]、灰狼优化器（GWO）[16]、鲸鱼优化算法（WOA）[17]、墨鱼群算法[18]、磷虾群（KH）[19]、引力搜索算法（GSA）[20]等。总体而言，元启发式优化算法已成为解决广泛工程和科学问题的重要工具。
尽管许多现代元启发式算法取得了成功，但它们的实际性能往往高度依赖于合适的控制参数设置。例如，PSO中的惯性权重、GWO中的收敛系数、DE中的交叉率以及多种基于群体的方法中的缩放因子都会显著影响收敛速度、探索强度和最终解决方案的质量。在许多实际应用中，用户可能缺乏有效调整这些参数的足够先验知识。因此，人们越来越关注能够在保持竞争性搜索性能的同时减少校准负担的优化算法。
尽管取得了这些进展，但每种元启发式算法都遵循特定的自然启发策略，正如“没有免费的午餐”（NFL）定理[21]所述，没有一种算法能够在所有问题上都表现出最佳性能。因此，寻找新型且更高效的元启发式算法仍然是一个活跃的研究领域，旨在解决日益复杂的优化问题。大多数现有算法需要仔细调整多个控制参数，且其性能通常对这些参数设置非常敏感。为了解决这一差距，我们提出了一种新的、稳健的、简单而强大的元启发式优化算法——竞争-利他主义优化（CAO）。受这一挑战的启发，所提出的方法采用了轻参数的设计理念。在本研究中，“无参数”指的是不需要针对具体问题进行调优的用户敏感的外部超参数。该算法不依赖于手动调整的学习系数或变异计划，而是使用在所有实验中保持不变的固定内部随机交互规则。这一特性提高了简单性、可复现性和跨异构优化问题的可转移性。CAO受到生态交互理论的启发，模拟了生物如何为生存和繁衍而竞争有限资源。与许多现有算法不同，CAO不需要广泛的参数调整，这提高了其简单性、易实现性和跨不同问题领域的适用性。这种兼具探索和利用特征的竞争行为为设计高效优化策略提供了一个丰富的隐喻。CAO整合了这些原则，有效地指导了对全局最优解的搜索。
使用三十二个基准测试函数对所提出的算法进行了评估。为了严格评估其稳健性和实际适用性，进一步在七个实际工程设计问题上对CAO进行了验证。本文的主要贡献如下：
1. 提出了一种名为竞争-利他主义优化（CAO）的新元启发式优化算法，该算法受到生态交互理论和自然界中观察到的竞争生存行为的启发。所提出的方法采用了轻参数的设计理念，避免了依赖于问题的连续超参数调优，从而提高了简单性、可复现性和实施难度。
2. 使用32个基准函数评估了CAO的性能，并将其与几种先进的算法进行了比较。
3. 在七个复杂的工程设计和分析问题上进一步验证了CAO，展示了其在实际优化任务中的适用性。
4. 实验结果表明，CAO在基准问题和实际问题上始终优于多种先进的元启发式算法。

**2. 相关工作**
元启发式算法在解决工程、数据科学和工业系统中的复杂、非线性和受限优化问题方面受到了广泛关注。这些算法提供了灵活高效的策略，无需梯度信息即可探索高维解空间。几十年来，已经开发出多种元启发式算法，从经典的GA[2]和PSO[4]到较新的基于自然的算法如灰狼优化器（GWO）[16]、鲸鱼优化算法（WOA）[17]和二元水轮植物算法（bWWPA）[22]等。为了全面了解这些算法，通常根据它们的主要灵感来源对其进行分类。四大类包括：（i）进化算法（EA）、（ii）群体智能（SI）算法、（iii）基于物理的算法（PhA）和（iv）受人启发的算法。每个类别都体现了不同的隐喻或物理模型，影响着算法在探索与利用之间的平衡及其整体搜索行为。

**2.1. 进化算法（EA）**
进化算法模拟了自然进化的原理，如选择、交叉和变异。这一类别中最著名的算法是遗传算法（GA），由霍兰德（Holland）[2]开发，该算法模拟了达尔文的适者生存理论，并被广泛应用于解决不同的优化问题[23]、[24]。GA展示了强大的搜索能力，并应用于调度、特征选择、异常检测和机器学习[25]。差分进化（DE）[3]由斯托恩（Storn）和普赖斯（Price）提出，利用向量微分来指导种群更新。DE特别因其简单性和处理多模和高维问题的有效性而受到重视[26]。其他值得注意的算法包括基于生物地理学的优化器（BBO）[27]（受物种迁移模式的启发）、侵袭性肿瘤生长（ITG）算法[28]（模拟恶性细胞的增殖行为）和基于免疫学危险理论的树突细胞算法（DCA）[29]。

**2.2. 群体智能（SI）算法**
群体智能算法受到社会动物分散和自组织行为的启发。其中一种基础方法是粒子群优化（PSO）[4]，它模仿鸟类群体或鱼群的社会行为。在PSO中，粒子根据个人和全局最佳经验调整位置。该算法已广泛应用于聚类、分类、图像处理[30]和工程设计[31]等问题。蚁群优化（ACO）[9]是基于蚂蚁信息素传播行为的另一种有影响力的算法，已被成功应用于车辆路由、特征选择和时间序列预测。蜜蜂群算法（ABC）[7]模拟了蜂群的分工，在无线传感器网络、图像分割和调度问题中有效。细菌觅食优化（BFO）[32]模拟了大肠杆菌的觅食行为，特别是它们的趋化运动和社会互动机制，用于定位营养丰富的环境。类似地，磷虾群算法（KH）[19]受到水生生态系统中磷虾的群集和觅食行为的启发。其他广泛研究的SI算法还包括萤火虫算法（FA）[11]、杜鹃搜索（CS）[8]、鲸鱼优化算法（WOA）[17]、墨鱼群算法（SSA）[18]、蛾类火焰优化（MFO）[33]、海洋捕食者算法（MPA）[34]、狮子优化算法（LOA）[35]、蝗虫优化算法（GOA）[36]、帝企鹅优化器（EPO）[37]、挖勺优化（DTO）[38]和松鼠搜索算法（SqSA）[39]。这些方法在基准和实际应用中都表现出色。

**2.3. 基于物理的算法（PBA）**
基于物理的算法从重力、热力学和宇宙学等物理原理中汲取灵感。例如，大爆炸-大收缩（BBBC）算法[40]模拟了宇宙的膨胀和收缩，并已被用于分类和聚类问题。引力搜索算法（GSA）[20]模拟了质量间的吸引力，用于指导搜索过程。它在图像分割和工程优化任务中取得了成功。热交换优化（TEO）[41]模拟了牛顿冷却定律，已被用于解决各种优化问题，包括最佳能量流[42]、无线传感器网络的聚类[43]和特征分类[44]。多宇宙优化器（MVO）[45]受到平行宇宙理论的启发，利用黑洞和白洞来平衡探索和利用。其他方法包括中心力优化（CFO）[46]和亨利气体溶解度优化（HGSO）[47]，分别模拟了中心引力场和气体溶解度定律。

**2.4. 受人启发的算法（HIA）**
这些算法基于人类的认知、社会或组织行为进行建模。教学-学习优化（TLBO）[48]模仿教师在增强学生知识中的作用，并已应用于受限和多目标优化[49]；和谐搜索（HS）[50]受到吉他调音的启发；帝国主义竞争算法（ICA）[51]受到帝国殖民的启发；社会进化学习优化算法（SELOA）[52]模拟了家庭内部的学习动态。其他例子包括团队合作优化算法（TOA）[53]（受人类团队合作的启发）、森林搜索优化器（SFO）[54]（模仿在森林中寻找失踪人员的过程以更新解决方案）、头脑风暴优化（BSO）[55]模拟人类在问题解决中的创造力、排球顶级联赛（VPL）[56]（受竞争性团队运动的启发）和集体决策优化（CSO）[57]（受人类决策过程的启发）。表1提供了主要元启发式算法及其相应灵感来源的汇总概述。元启发式算法的简要概述。
**算法参考年份** | **灵感来源**
| -- | -- |
| 遗传算法（GA） | Holland [2] | 1975 | 达尔文进化论 |
| 遗传编程（GP） | Koza等人 [58] | 1994 | 自然选择 |
| 进化策略（ES） | Ingo Rechenberg [59] | 1989 | 生物进化 |
| 差分进化（DE） | Store和Price [3] | 1997 | 自然进化现象 |
| 基于生物地理学的优化（BBO） | Simon [27] | 2008 | 物种迁移模式 |

**应用领域** | **具体示例**
| -- | -- |
| 入侵性肿瘤生长（ITG） | Tang等人 [28] | 2015 | 肾脏过程 |
| 树木生长算法（TGA） | Cheraghalipour等人 [60] | 2018 | 树木竞争 |
| 藤壶交配优化器（BMO） | Sulaiman [61] | 2020 | 藤壶交配行为 |
| 共生生物搜索（SOS） | Cheng等人 [5] | 2014 | 生物体间相互作用 |
| 人类进化模型（HEM） | Thammano等人 [62] | 2010 | 共识知识 |
| 模拟退火（SA） | Kirkpatrick等人 [6] | 1983 | 退火过程 |

元启发式算法基于多种自然和概念隐喻，旨在解决复杂优化问题。这些算法通常通过随机初始化一组候选解开始，然后使用特定于算法的运算符在迭代过程中逐步改进这些解，并通过目标函数进行评估。由于其随机性质，单次运行无法保证收敛到全局最优解，但通过增加种群多样性和进化迭代次数可以显著提高高质量解的概率。尽管实现细节各不相同，大多数基于种群的元启发式算法遵循两个核心阶段：探索（使算法能够广泛调查搜索空间并避免提前收敛）和利用（在有希望的区域内精细化解决方案以收敛到最优结果）。在这两个阶段之间保持适当的平衡对算法成功至关重要。

**CAO算法的生态动机和互动机制**
提出的CAO算法受到生态系统中生物体间互动行为的启发。在自然界中，生物体的生活充满了持续的互动，因为完全孤立的情况非常罕见。这些被称为生态关系的互动构成了算法设计的概念基础。特别是，竞争和拮抗两种生态互动是CAO的核心。

**3.1 动机和互动行为**
生态系统为设计元启发式算法提供了丰富的基础，特别是通过模拟非合作性和不对称互动（如竞争和拮抗）。这些生物上普遍存在的互动可以抽象为计算策略，以指导搜索过程中的解决方案更新。生物竞争提供了一个有效的搜索隐喻，因为它自然平衡了分散和选择压力。当多个代理争夺有限资源时，拥挤的区域会变得不稳定，促使向外移动和更广泛的搜索空间覆盖。同时， stronger的个体更有可能存活下来并指导未来的搜索方向。与纯随机walk相比，竞争引入了结构化的探索；与静态差分扰动相比，它能够根据当前种群分布自适应地做出响应。这些特性使得竞争成为复杂优化场景中全局探索的有力机制。

在生态学中，竞争发生在生物体为食物、水、阳光、领地或配偶等有限资源而竞争时。竞争可以是直接的（一个生物体通过攻击或支配行为限制另一个生物体获取资源），也可以是间接的（一个生物体消耗资源导致其他生物体的资源减少，而无需直接对抗）。相比之下，拮抗是指一个生物体的生长或生存受到另一个生物体的抑制，而后者没有任何互利。这些互动在塑造生态和进化动态中起着关键作用。具有有利特征的生物体更有可能存活、繁殖，并将这些特征传递给后代，从而逐渐影响种群结构。同时，竞争压力促使某些物种采取替代策略以避免直接冲突并利用不同的生态位。当多个物种或个体依赖于相同的有限资源时，竞争力较弱的物种可能会经历种群减少或灭绝，除非它们调整策略。这种选择压力推动了有益特征的持续存在和不利特征的消除，成为自然选择的关键机制。虽然竞争调节种群动态并在局部尺度上促进多样性，但更广泛的生态模式也受到栖息地变化、气候变异性和随机事件等因素的影响。

提出的CAO算法从生态互动原理（特别是竞争和拮抗）中汲取灵感，以模拟生态位重叠中生物体的行为。例如，动物为食物、水或庇护所而竞争；植物为阳光、土壤养分和根系空间而竞争。通过模仿这些生态机制，CAO促进了在复杂优化场景中的适应性探索和利用，增强了其导航和收敛到最优解的能力。图1展示了生态系统中发生的竞争和拮抗互动。

**4. 竞争-拮抗优化的算法框架**
本节介绍了一种受生态互动（尤其是竞争和拮抗）启发的新型解决方案更新机制。该算法利用最佳全局解Xbest作为参考点，类似于粒子群优化（PSO）中的G_best或其他基于群体的方法中的精英解决方案。然而，与传统方法不同，CAO整合了基于生物的互动，以实现搜索空间的动态和适应性探索。CAO的详细信息在以下小节中介绍。

**4.1 竞争运算符**
在自然生态系统中，竞争是一种负-负（-/-）互动，其中两个生物体都因争夺有限资源而受损。这种生物现象通常发生在个体共享生态位并直接或间接降低彼此适应性时。在优化术语中，这一原理被抽象为一种机制，即两个解决方案因相互干扰而降低彼此的表现。竞争运算符将两个候选解从共享的中间状态扰动开来，引入探索压力并减少提前收敛。

设Xj和Xk代表从种群中随机选择的两个个体。它们的相互作用通过互不影响向量（M）来建模，该向量定义为公式（1）中的平均值。这个术语表示一种共同的生态影响或生态位重叠，作为扰动的 pivot点。互动强度因子（I1和I2）从离散集{1, 2}中选取，以提供轻量级的随机竞争压力调节。值1表示围绕互影响中心的适度位移，有利于受控探索；值2增加扰动幅度，促进更广泛的多样化。将因子限制在一个小的范围内可以防止因较大缩放值而导致的过度振荡或不稳定跳跃。因此，所选范围在探索强度和收敛稳定性之间提供了实际平衡。

设Xbest表示当前最佳解，rand∈[0, 1]D是维度为D的均匀分布随机向量。为了引入互动强度的変動，为每个个体独立抽取随机标量系数I1、I2∈{1, 2]。然后根据公式（2）和（3）计算两个个体的更新位置。

**4.2 拮抗运算符**
拮抗是一种不对称的生态互动，其中一个生物体受到伤害，而另一个生物体不受影响，表示为（-/0）。当一个物种的生长或生存受到另一个物种的抑制时，即使后者没有任何直接收益。自然界中有多个拮抗的例子：例如，藻类大量繁殖会耗尽水体中的氧气，导致鱼类和水生生物死亡，尽管藻类本身没有直接收益；大象可能会踩死蚂蚁或植被，而真菌Penicillium分泌抗生素杀死附近的细菌，但真菌本身并未从中受益。人类引起的一些现象（如水污染和野火）也可以表示为拮抗互动，因为它们无意中伤害了其他物种，但对人类自身没有好处。

在算法中，只有一个个体受到扰动，而另一个保持不变，反映了生物相互作用的不对称性。具体来说，目标解决方案受到另一个随机选择的解决方案和当前最佳解的负面影响，而后者没有变化。在这种情况下，解决方案更新规则定义为：(4)Xj,new=Xj?rand(0.5,1)⊙(Xk?Xbest)其中，⊙表示元素间的乘法。这个方程使Xj远离Xk，同时偏向于向Xbest移动，从而鼓励探索有前景的区域，同时引入多样性。由于Xk保持不变，因此保持了相互作用的非对称性，维持了共生关系的生态真实性。基于这种公式，Xj受到Xk存在的影响而发生扰动，而Xbest则作为一个稳定的参考。减法项根据Xj与Xk的接近程度引入适应度惩罚，强化了收敛性，同时通过随机影响促进受控的探索。这使得只扰动较弱的解决方案成为可能，同时利用Xk和当前最佳解决方案Xbest的结构指导。这种操作符在不牺牲多样性的情况下促进了利用。总体而言，这种设计提供了一个生物学上合理且数学上基于的框架，将生态相互作用模式转化为计算效率高的搜索策略。通过利用受自然启发的操作符平衡探索和利用，算法引导种群向最佳区域移动，同时保持多样性并降低过早收敛的风险。所提出的CAO算法的流程图如图2所示。

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图2. CAO流程图。

4.3. CAO算法在优化问题中的实现
CAO的实现是通过一个数值优化问题来演示的。为此，使用了Griewank函数，并提出了一个逐步过程来说明CAO算法如何解决这个问题。
(f(X) = 1/(4000∑i=1D|x_i|^2 ? ∏i=1D|sin(xi)|)^2)
最佳解是fmin = 0，在点(0,0,0,...,0)处获得。初始种群是使用在定义的上下限[-10, 10]内的均匀分布随机数在两个维度上生成的。图3展示了参数空间以及初始种群在搜索空间中的位置。

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图3. 参数空间和初始种群的示意图。

步骤1：种群大小 = 10，最大迭代次数 = 10，维度 = 2。下面展示了生成的初始种群及其相应的适应度值。
InitialPopulation = [3.199, 14.437, 5.292, 22.465, 5.197, 3.735, -1.216, 23.925, -3.652, 26.89, 2.691, 28.682, -4.403, 9.959, 4.567, 20.168, 7.445, -1.476, 26.877, 0.136, 49.461, 4.630, 7.445, -4.153, 7.581, 11.464, 31.969, 2, -8.812, 6.444, 1.609, 41, -8.178, 53.975, 2.244, 37.652, 8.939, 25.09, 17.101, 59.294, 1.784, 89.75]
FitnessValues = [0.1859, 15.814, 5.170, 68.62, 20.702, 96.397, 50.846, 24.302, 20.519, 75.084, 66.894, 83.299, 90.906, 60.193, 75.199, 50.929, 81.899, 0.891, 49.937, 94.51, -4.153, 75.811, 4.643, 19.692, -8.812, 64.441, 1.609, 41, -8.178, 53.975, 2.244, 37.652, 8.939, 25.09, 17.101, 59.294, 1.784, 89.75, 0.136, 49.461, 4.630, 74.451, -4.153, 75.811, 14.643, 19.692, -8.812, 64.441, 1.609, 41, -8.178, 53.975, 2.244, 37.652, 8.939, 25.09, 17.101, 59.294, 1.784, 89.75]

步骤2：选择初始最佳解Xbest。
初始最佳解Xbest是X4 = [3.199, 14.437, 5.292, 22.465]，其适应度值为0.18591581451706862。

步骤3：竞争：
最初，j设置为6，意味着Xj对应于X6 = [4.63074451, -4.15375811]，其适应度值为0.9298189900891495。将与X6交互的随机选择的生物体Xk是X5 = [-1.47626877, 0.13649461]，其适应度值为0.9066019375199502。随机生成的交互强度值为I1=1, I2=1。此外，随机数向量是rand = [0.63224287, 0.77908791]，相互交互影响向量是M = [1.57723787, -2.00863175]。新的位置计算如下：
X(6,new) = X6 - rand ⊙ (M * I1 - Xbest)
X(5,new) = X5 - rand ⊙ (M * I2 - Xbest)
结果位置是：
X(6,new) = [5.65618334, 1.53425087]，适应度 = 0.6303987707660875
X(5,new) = [-0.45082994, 5.82450359]，适应度 = 1.5121752169754394

如图所示，X(6,new)的适应度值低于X6（0.6303987707660875 < 0.9298189900891495），表明X(6,new)比X6更适应环境。因此，X6被更新为[5.65618334, 1.53425087]。相比之下，X(5,new)的适应度值高于X5（1.5121752169754394 > 0.9066019375199502），因此X5保持不变，仍为[-1.47626877, 0.13649461]。

图4（A）展示了竞争阶段解决方案互动和收敛行为的可视化。

步骤4：共生关系：
对于适应度值为0.6303987707660875的X6 = [5.65618334, 1.53425087]，随机选择的解决方案（Xk = X5）= [-1.47626877, 0.13649461]的适应度值为0.9066019375199502，随机向量是rand = [0.89665788, 0.36510483]。
更新规则为：
X(6,new) = X6 - rand(0.5,1) ⊙ (X5 - Xbest)
结果更新后的解决方案是：
X(6,new) = [9.84842938, 3.41663279]，适应度值为0.3452491990248124。

由于X(6,new)的适应度值低于X6，因此解决方案被更新。因此，X6被X(6,new)替换，其新值为[9.84842938, 3.41663279]。这个解决方案更新过程在图4（B）中以图形方式展示。

步骤1：确定最佳解决方案Xbest = X1 = [3.19914437, 5.29222465]，适应度值为0.18591581451706862。

步骤5：如果当前x不是种群中的最后一个，则返回步骤2；否则，继续进行后续步骤。
步骤6：如果满足停止条件，则终止过程；否则，返回步骤2并继续后续迭代。

由于搜索空间中存在许多局部最小值，Griewank函数对于全局优化来说特别具有挑战性。值得注意的是，与高维度相比，在低维度中解决这个问题更加困难[101]。尽管存在这种复杂性，CAO在仅仅9次迭代中就成功找到了全局最优解6.25E?10。

4.4. 竞争优化算法的伪代码
总结来说，在CAO中，优化过程首先在指定的上下限内随机生成一组候选解决方案的初始种群。每个个体代表问题的一个潜在解决方案，并使用适应度函数对其进行评估，以量化其性能。在整个优化过程中，最佳解决方案被存储并不断更新。在每次迭代中，算法应用两种生态交互机制——竞争和共生关系——来指导种群的演化。这些受生物学启发的操作符模拟了自然界中观察到的非对称和非合作性交互，影响个体在搜索空间中的位置更新。在竞争阶段，随机选择两个个体，两者根据它们当前位置的平均值和迄今为止找到的最佳解决方案计算出的共享交互向量进行相互扰动。这种机制引入了破坏性变化，鼓励探索并使种群能够通过促进多样性来逃避局部最优解。虽然竞争阶段主要驱动探索，但随后的共生关系阶段侧重于利用，通过利用非对称交互来精炼解决方案。在共生关系阶段，一个个体受到另一个个体的负面影响，而后者保持不变。具体来说，一个解决方案被推向远离随机选择的解决方案的方向，并偏向于全局最佳解。这种操作符通过精炼较弱的候选者来增强利用，同时保持较强候选者的位置，反映了生态系统中发现的自然不对称性。每次更新后，只有那些比之前状态有所改进的候选解才会被接受。每当找到更好的解决方案时，全局最佳解决方案就会被更新。这种迭代过程持续固定次数的迭代或直到满足收敛标准。最后，算法返回搜索过程中获得的最佳解决方案。CAO的伪代码在算法1中呈现。

4.5. 竞争-共生优化（CAO）的计算复杂性
所提出的CAO的计算复杂性正式表示为O(N·(T·D+1))，其中N表示种群大小，T是迭代总数，D是问题的维度。最初，CAO生成N个各具有D维度的候选解决方案，一次性的种群初始化和适应度评估成本为O(N·D)。在每次迭代中，所有个体都经历两种受生物学启发的进化操作符：竞争和共生关系。每个操作符涉及D维度的向量化操作和适应度评估，每次迭代贡献O(N·D)。此外，根据适应度值更新全局最佳解决方案在最坏情况下需要O(N)。因此，所有T次迭代的总计算复杂性为：
O(N·D) + T·(O(N·D) + O(N)) = O(N·(T·D+1))
这种结构反映了种群大小、迭代次数和问题维度的线性增长，这是基于种群的元启发式算法的特征。

4.6. CAO搜索动态的理论基础
为了提供对所提算法收敛行为和搜索动态的理论见解，我们在随机迭代框架内分析了其更新机制。尽管由于非线性交互和内在的随机性，为随机基于种群的元启发式算法推导严格的收敛证明仍然具有挑战性，但对算法动态的结构化解释仍然可以提供有意义的理论依据。
设第t代的种群为{Xit}i=1N，在竞争和共生关系操作符的联合影响下演化。更新机制定义了一个随机映射：
Xit+1 = F(Xit, Xkt, Xbestt, ξt)
其中ξt表示控制交互强度和扰动的随机变量。首先，竞争操作符在相互交互中心周围引入对称的成对扰动，增加了种群方差并促进了探索。这种机制确保搜索过程不会过早崩溃，在早期迭代中保持遍历性。其次，共生关系操作符执行非对称更新，其中候选解决方案根据同伴和当前最佳解决方案进行调整。这导致向高质量区域的方向性漂移，有效地在有前景的解决方案附近起到随机收缩映射的作用。第三，贪婪选择机制确保只有当新生成的解决方案改善了适应度时才会被接受。因此，迄今为止最佳的目标值序列{f(Xbestt)}形成了一个单调非增序列，这对于最小化问题来说是保证优化过程稳定性的条件。在以下假设下：(i) 搜索空间有限；(ii) 目标函数连续；以及(iii) 访问搜索空间的任何子区域的概率非零，该算法可以解释为一个具有渐近收敛倾向的随机搜索过程，趋向于一组全局或近似全局最优解。从种群动态的角度来看，CAO展示了一种自适应的多样性减少机制，其中：(i) 早期迭代由方差扩张的竞争主导；(ii) 后期迭代由方差收缩的共生关系主导。这种转变实现了全局探索和局部利用之间的自然平衡。尽管严格意义上的全局收敛（例如，几乎必然收敛）的正式证明超出了本工作的范围，但上述分析提供了对收敛行为、稳定性和搜索效率的理论解释，与实验结果一致。

5. 结果比较和讨论
5.1. 实验设置和评估框架
本节通过对基准函数和实际工程设计问题进行广泛测试，对所提出的CAO算法进行了严格的评估。实验框架最初包括32个基准函数。为了进一步验证算法的性能、鲁棒性和实际适用性，随后在七个实际工程优化问题上进行了测试。每个优化任务使用了50个代理在3000次迭代中完成。为了确保统计可靠性，所有实验都独立重复了30次。性能使用目标函数值的平均值（均值）和标准差（STD）进行评估，提供了对解决方案质量和一致性的洞察，包括使用Wilcoxon符号等级检验和Friedman检验的统计测试。为了确定CAO的相对有效性，我们在相同的实验条件下与一系列最先进的元启发式算法进行了比较分析。结果表明，CAO在基准和实际场景中都具有优越和竞争性的性能，强调了其在解决复杂的高维优化问题方面的强大能力。

5.2. 三十两个基准函数的定义
为了评估所提出的CAO在探索能力、收敛行为和抵抗局部最优解方面的有效性，使用了三十两个（32个）经典基准函数。这些函数分为三类：单峰、多峰和固定维度的多峰，涵盖了不同的维度范围：函数1-4是二维的，函数5-6是五维的，函数7-8是十维的，函数9-32是三十维的，如表2和表3所示。这个多样化的集合包括了可分离和不可分离的函数，为评估算法在不同复杂度问题上的探索和利用能力提供了坚实的测试平台。

表2. 使用的基准函数及其维度、范围值、类型（多峰、不可分离、可分离、单峰）、公式和最优最小值。通过结合不同维度的问题，该基准测试套件还能够便于从低维度到高维度设置系统地评估可扩展性和鲁棒性。为了进行比较分析，在相同的实验设置下，对CAO的性能进行了评估，与几种成熟的元启发式算法进行了对比，包括灰狼优化器（GWO）[16]、粒子群优化（PSO）[4]、鲸鱼优化算法（WOA）[17]、基于教学学习的优化（TLBO）[48]、差分进化（DE）[3]和引力搜索算法（GSA）[20]。这种实验设置为评估CAO在多种问题类型中的有效性、可靠性和泛化能力提供了坚实的基础。

5.2.1. 参数配置
所有算法都是使用Python 3.10.0实现的，并在配备了Intel Core i5处理器（2.2 GHz）和16 GB RAM的标准计算环境上执行。每种算法使用的具体控制参数和配置在表4中进行了总结。这些设置是基于文献中的推荐值选定的，以确保所有方法的性能评估公平且一致。在本研究中，“无参数”一词指的是在优化之前不需要手动调整的问题依赖性控制超参数。与许多依赖于惯性权重、加速系数、交叉率、变异概率或退火计划的元启发式算法不同，CAO在运行时不需要任何外部调整的控制参数。CAO中的交互强度值和随机系数作为固定的内部操作符设置，在所有实验中保持不变。因此，所提出的方法保持了实现的简单性、可重复性，并减少了不同优化问题之间的参数校准依赖性。

表4. 算法参数和控制变量
方法 | 参数 | 值
--- | --- |
| CAO | 人口大小 | 50 |
| TLBO | 交互效应 | [1,2] |
| TLBO | 教师因子 | [1,2] |
| GWO | 收敛参数a | 从2线性减少到0 |
| WOA | a1 | 从2减少到0 |
| WOA | a2 | 从-1线性减少到-2 |
| PSO | 认知常数c1 | 从0.5增加到2.5 |
| PSO | 社会常数c2 | 从2.5减少到0.5 |
| PSO | 惯性权重ω | 从0.9减少到0.4 |
| PSO | 速度限制vxmin | 10～Xmax |
| PSO | 交叉率C | 0.9 |
| PSO | 缩放因子F | 0.5 |
| GSA | 引力常数 | 100 |
| GSA | 减少系数 | 20 |

5.3. CAO收敛行为的定性分析
为了证明所提出的CAO方法的有效性，使用了图5中的轨迹和收敛情况。该图使用2D全面展示了CAO在各种基准函数上的行为，通过五个视角捕捉其优化动态：参数空间探索、搜索轨迹、平均适应度趋势、决策变量演变和收敛特性。对于每个基准测试，参数空间图（最左边）展示了CAO导航复杂、多模态和凸形景观的能力，搜索历史（第二列）证实了种群向全局最优解的有效引导。平均适应度曲线表明，种群内部具有快速收敛和适应机制。此外，一个代表维度的轨迹图显示了早期的稳定性和方向一致性，反映了探索与利用之间的平衡。最后，收敛曲线显示了在初始区间内最佳适应度的急剧下降，随后是平台期，这证明了CAO在全球搜索后强大的局部精细化能力。总体而言，这些可视化结果强调了CAO在多样优化景观中的鲁棒性、适应性和收敛效率，验证了其生态操作符在提高解决方案质量和搜索多样性方面的有效性。

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图5. 基准问题行为分析

5.4. 在基准函数上的结果比较
CAO在基准函数上的实验结果分别在表5和表6中呈现。从表中可以看出，CAO在几乎所有基准函数上的表现都优于其他算法。为了确保统计可靠性，优化结果的均值（平均值）和标准差（STD）是在30次独立执行后计算得出的。表中的最佳和接近最佳值以粗体显示。可以观察到，CAO在几乎所有基准问题中都一致地获得了最优解，反映了其在多种测试场景中的鲁棒性和适应性。相比之下，其他比较算法只能在有限的情况下达到最优解。这一明显的性能差距突显了CAO有效处理和解决复杂优化挑战的强大能力。这些发现进一步证明了CAO在需要精确性和可靠性的广泛工程和工业应用中的适用性。这种一致的性能不仅增强了该方法在理论和实际问题领域解决高级优化任务的可信度。

表5. 使用基准函数比较CAO与最先进方法的结果
空单元格 | 基准问题
空单元格 | 空单元格
空单元格 | 空单元格
空单元格 | 空单元格
空单元格 | 空单元格
FCAO | GWO | OPSO | WOA | TLBO | DBODE | GSA
fmin | F1 | 平均值 | 0.0000 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 1.417 | E-15 | 20.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 1.9517 | E+00 | STD | 0.0000 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 4.259 |
F2 | 平均值 | 0.0000 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 1.887 | E-19 | 50.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.3425 | STD | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 |
F3 | 平均值 | 1.9722 | E-31 | 3.1659 | E-08 | 1.9722 | E-31 | 1.8383 | E-08 | 1.9722 | E-31 | 1.9722 | E-31 | 1.6450 | 4E+03 | STD | 0.0000 | E+00 | 2.9183 | E-08 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0644 | E+00 |
F4 | 平均值 | -1.0000 | E+00 | -1.0000 | E+00 | -1.0000 | E+00 | -1.0000 | E+00 | -1.0000 | E+00 | -0.9999 | E+00 | -1.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 1.6268 | STD | 0.0888 | 5.764 | E-09 | 0.0000 | E+00 | 1.4505 | E-09 |
F5 | 平均值 | -1.0000 | E+00 | 1.2429 | E-08 | -1.0263 | E-20 | -1.0000 | E+00 | -0.1859 | E+00 | -0.3000 | E+00 | 0.0296 | STD | 0.0000 | E+00 | 4.4991 | E-08 | 3.8390 | STD | 0.0000 | E+00 | 3.557 | E+00 |
F6 | 平均值 | 0.0213 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0999 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0963 | E+00 | 0.0999 | E+00 | 1.2012 | STD | 0.0351 | E+00 |
F7 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0412 | STD | 0.0000 | E+00 |
F8 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0213 | STD | 0.0000 | E+00 |
F9 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 |

表6. 继续

空单元格 | 基准问题
空单元格 | 空单元格
空单元格 | 空单元格
空单元格 | 空单元格
FCAO | GWO | OPSO | WOA | TLBO | DBODE | GSA
fmin | F17 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0210 | E+18 |
F18 | 平均值 | 5.0000 | E-015 | 0.0000 | E-011 | 0.0858 | E+012 | 2.2330 | E-015 | 0.0000 | E-015 | 0.0000 | E-014 | 6.063 | E+030 | STD | 2.7289 | E-163 | 6.348 | E-114 | 2.487 | E-014 | 7.700 | E-022 | 3.634 | E-153 | 2.646 | STD | 2.7289 | E-163 | 6.147 | E-114 | 1.583 | E-100 | STD | 2.7289 |

表6. 继续

空单元格 | 基准问题
空单元格 | 空单元格
空单元格 | 空单元格
FCAO | GWO | OPSO | WOA | TLBO | DBODE | GSA
fmin | F19 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | STD | 0.0000 | E+00 |
F20 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 |
F21 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 |
F22 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 |
F23 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 |
F24 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 |
F25 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | STD | 0.0000 | E+00 |
F26 | 平均值 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 | 0.0000 | E+00 |这些发现突显了CAO有效适应大规模优化问题日益复杂性的能力，加强了其在实际应用中的潜力，因为在实际问题中问题规模往往非常大。表9显示了CAO与1000维基准算法的比较结果。

5.9. 运行时间比较
图7中的运行时间比较表明，所提出的CAO在与其他元启发式算法相比时表现出具有竞争力的计算效率。WOA在大多数问题实例中记录了最低的运行时间，表明它在计算开销方面相对较低。DE在许多基准函数中也保持了相对较低的运行时间，尽管其计算效率会根据问题的维度和景观特性而变化。相比之下，PSO和GSA始终是最耗时的方法，其中PSO在大部分测试问题中的运行时间最长。

5.10. 竞争与共生操作符的消融研究
为了评估所提出的搜索机制的个别贡献，通过隔离竞争操作符（CO）、共生操作符（AO）及其组合形式（CAO）进行了消融研究。分析是在五个代表性的基准函数上进行的，包括单峰、多峰和不可分离的景观。结果清楚地表明，完整的CAO在所有测试函数中的表现都优于这两个单独的组件。具体来说，Wilcoxon符号秩检验确认CAO相对于竞争操作符（CO）和共生操作符（AO）的性能提升在统计上是显著的（p < 0.05）。此外，胜-平-负分析显示CAO对CO和AO都取得了完美的优势记录（5-0-0），表明在所有评估的问题中都表现出了一致的优越性。Friedman检验进一步支持了这些发现，拒绝了算法性能相当的零假设（p=0.006738）。相应的平均排名确立了明确的性能层次：CAO（排名=1.0），CO（排名=2.0），AO（排名=3.0），表明集成算法提供了最有效的搜索行为。图8、表10和表11中显示的分布进一步强调了所提出方法的稳健性和稳定性。CAO在所有基准函数中始终实现了较低的中位数目标值和显著降低的方差。相比之下，AO变体由于过度减少了多样性而表现出较大的分散性和不稳定的收敛行为，而CO变体则表现出中等的性能和相对较高的变异性，反映了利用能力不足。

5.11. 实际问题上的实验
本节评估了所提出的CAO算法在一组实际工程问题上的性能。测试套件包括七个问题，其中许多问题涉及不等式约束。对于有约束的工程设计问题，使用惩罚函数机制处理了不可行的候选解，其中不等式和等式约束的违反被纳入目标函数中，通过添加惩罚项来实现。这种策略引导搜索朝可行区域前进，同时仍然允许在约束边界附近进行有限的探索。采用的方法在计算上简单，被广泛使用，并且对于连续的约束优化问题是有效的。每个问题的数学表述和解决方法在以下小节中进行了介绍。

5.11.1. 压力容器设计问题
压力容器是一种密封容器，用于储存压力显著不同于大气压的气体或液体[102]、[103]。由于它们在处理易挥发物质的行业中的广泛应用，其设计必须确保安全性、可靠性以及符合严格的工程标准。设计缺陷可能导致严重后果，如泄漏或爆炸，对人类安全和环境构成风险。因此，严格的设计和测试对于保持结构完整性至关重要。压力容器设计的主要目标是在满足安全和性能标准的同时，最小化总成本，包括材料、成型和焊接的成本。本研究关注的是一个带有半球形端盖的圆柱形容器，如图11所示。设计涉及到优化四个变量：圆柱壳体的厚度（Ts），半球形盖的厚度（Th），圆柱部分的长度（L）（不包括端盖）。其复杂性源于非凸目标函数，该函数受到梁的偏差常数的影响，这通常会导致多个局部最小值。这个问题在数学上被定义为方程11中的内容。考虑x→ = [h1,h2,h3,h4,h5]=[x1,x2,x3,x4,x5]（11）最小化：f(x→)=0.06224(x1+x2+x3+x4+x5)受到以下约束：g(x→)=61x13+27x23+19x33+7x43+1x53?1≤0变量范围：0.01≤xi≤100，i=1,…,5表15展示了所提出的CAO算法与几种基准优化方法（包括WSA [15]、AO [14]、SMA [106]、MFO [33]、ALO [78]、SCA [82]、SSA [18]、BBO [27]、CBO [110]、NNA [111]、GWO [16]、WOA [17]、CS [107]和SOS [5]）的比较分析。结果表明，CAO在性能上始终优于大多数竞争算法，并且与WSA算法相当。值得注意的是，CAO在最小化材料成本方面表现出强大的能力，通常能获得比其他最先进技术更低的成本。这一发现突显了CAO在解决复杂的实际结构优化问题时的稳健性和有效性。表15. 悬臂梁设计问题的CAO结果与文献的比较。算法每个变量的最优值最优成本空白单元x1x2x3x4x5空白单元CAO5.9758614.8774044.4674053.4795342.1389301.3032520WSA [15]5.9759214.8807784.4654273.4778222.1391941.3032520AO [14]5.8881005.5451004.3798003.5973002.1026001.3390000SMA [106]6.0177575.3108924.4937583.5011062.1501591.3399600MFO [33]5.9848725.3167274.4973333.5136172.1616201.3399880ALO [78]6.0181205.3114204.4883603.4975102.1583291.3399500SCA [82]6.1470254.6524444.4981363.6249972.1073171.3089020SSA [18]6.0151355.3093054.4950073.5014262.1527881.3399560BBO [27]6.0566685.2612334.3975373.4165581.9675001.3132330CBO [110]5.9696804.8788434.4603893.4862752.1440721.3032590NNA [111]5.9696284.8876204.4646603.4773172.1399871.3032570GWO [16]5.9714064.8818084.4733853.4769432.1356611.3032560WOA [17]6.6111884.8897253.9785853.6371472.0821941.3194160CS [107]6.0089005.3049004.5023003.5077002.1504001.3399900SOS [5]6.0187805.3034404.4958703.4989602.1556401.34000005.11.5. 压缩/拉伸弹簧设计在拉伸/压缩弹簧的工程设计中，主要目标是减轻弹簧的重量，从而提高性能并扩大其应用范围[116]。图13提供了一个拉伸弹簧的示意图。优化过程必须遵守关键的设计约束，包括变形（负载下的位移）、共振频率（自然振动频率）和剪应力（由加载引起的内部应力）。这个问题涉及三个设计变量：线径（x1=d）、平均线圈直径（x2=D）和活性线圈的数量（x3=N）。优化问题的数学表述如下：下载：下载高分辨率图像（299KB）下载：下载全尺寸图像图13. 压缩/拉伸弹簧设计问题。优化涉及三个设计变量：线径（x1=d）；平均线圈直径（x2=D）；活性线圈的数量（x3=N）。优化问题的数学表述为：(12)最小化f(x→)=x2/x12(2+x3)受到以下约束：g1(x→)=1?x23x3/7≤1785x1/4≤0g2(x→)=1/5≤x12/2+x22?x1/x2/12≤566(x2x1/3?x1/4)?1≤0g3(x→)=1?1/4≤0.45x1/x2/2x3≤0g4(x→)=x2+x1/1.5?1≤0变量界限：0.05≤x1≤2.00,0.25≤x2≤1.30,2.00≤x3≤15.00为了优化这个问题，采用了多种优化算法，包括GWO [16]、WOA [17]、AHA [117]和MFO [33]，这些算法突显了弹簧设计优化的多学科性质。表16展示了所提出的CAO算法与几种最先进方法（即GWO [16]、SSA [18]、SHO [13]、WOA [17]、SCA [82]、MFO [33]、HS [50]、KH [19]、ABC [7]、AHA [117]、HHO [79]、GSA [20]和MVO [45]）的比较分析。表16. CAO在压缩弹簧问题上的与其他最先进方法的比较。算法每个变量的最优值最优成本空白单元DN空白单元CAO0.051678190.3564563611.304306070.0126652GWO [16]0.051690000.3567370011.288850000.01266600SSA [18]0.051207000.3452150012.004032000.01267630SHO [13]0.051144000.3437510012.09550000.01267400WOA [17]0.05200000.3637000010.89380000.01267630SCA [82]0.050780000.3347790012.722690000.01270967MFO [33]0.051994460.3641093210.868421860.01266690HS [50]0.050250000.3163510015.23960000.01277635KH [19]0.059466400.573402324.7633398000.01303485ABC [109]0.052363500.3728521210.499994000.01272368AHA [117]0.051897000.3617480010.689283000.01266600HHO [79]0.054793400.436092417.8019335000.01283342GSA [20]0.05130000.3486000011.78340000.01266700MVO [45]0.052510000.3760200010.335130000.01279000如表所示，所提出的CAO在性能上始终具有竞争力，并且经常通过实现最低的设计成本而胜过现有方法。这些发现突显了COA在探索复杂设计空间以识别高质量解决方案方面的有效性和稳健性。5.11.6. 减速器设计减速器设计是一个众所周知的实际基准问题，在受限优化研究中广泛使用[13]、[118]。这个优化问题有七个决策变量：端面宽度（x1）、齿轮模数（x2）、小齿轮上的齿数（x3）、第一轴和第二轴的长度（x4, x5）以及第一轴和第二轴的直径（x6, x7）。主要目标是在满足几个机械约束的情况下最小化总重量，这些约束包括轴应力、表面应力、弯曲应力和轴变形。几种算法被应用于解决这一优化挑战，例如HGSO [47]、MFO [33]、WOA [17]和SHO [13]。图14展示了该设计问题的示意图，而其相应的数学表述在方程13中给出。(13)最小化F(x→)=0.7854x1/x22(3.3333x32+14.9334x3?43.0934)+0.7854(x4x62+x5x72)+7.4777(x63+x73)?1.508x1(x62+x72)受到以下约束：g1(x)=27x1/x22x3?1≤0g2(x)=397.5x4/3x1/x22x32?1≤0g3(x)=1.93x4/3x1/x3x6??1≤0g4(x)=1.93x5/3x1/x3x7??1≤0g5(x)=1110x63(745x4x2x3)2+1.69×10??1≤0g6(x)=1110x73(745x5x2x3)2+1.69×10??1≤0g7(x)=x2x3/40?1≤0g8(x)=5x2x1?1≤0g9(x)=x1/12x2?1≤0g10(x)=1.9+1.5x6x4?1≤0g11(x)=1.9+1.1x7x5?1≤0变量界限：2.6≤x1≤3.6,0.7≤x2≤0.8,17≤x3≤28,7.3≤x4,x5≤8.3,2.9≤x6≤3.9,5≤x7≤5.5下载：下载高分辨率图像（165KB）下载：下载全尺寸图像图14. 减速器设计问题。所提出的CAO算法与几种最先进的优化器（包括GSA [20]、MFO [33]、SCA [82]、SHO [13]、MVO [45]、GWO [16]、HS [50]、AO [14]、CPA [108]、HGSO [47]、WOA [17]和CS [107]）进行了基准测试。表17中的结果显示，所提出的CAO在性能上始终优于其他算法，证实了其稳健性和可靠性。这种优异的性能突显了CAO在处理复杂搜索空间时的有效性。值得注意的是，其在减速器设计问题上的成功突显了其在实际工程挑战中的实用性。表17. CAO与最先进方法在减速器设计问题上的比较。算法每个变量的最优值最优成本空白单元x1x2x3x4x5x6x7空白单元CAO3.5000000.70177.3000007.71531993.3502155.2866542994.471GSA [20]3.6000000.70178.3000007.80000003.3696585.2892243051.1200MFO [33]3.5075240.70177.3023977.80236403.3235415.2875243009.5710SCA [82]3.5087550.70177.3000007.80000003.4610205.2892133030.5630SHO [13]3.5015900.70177.3000007.80000003.3512705.2887402998.5510MVO [45]3.5085020.70177.3928437.81603403.3580735.2867773002.9280GWO [16]3.5066900.70177.3809337.81572603.3578475.2867683001.2880HS [50]3.5201240.70178.3700007.80000003.3669705.2887193029.0020AO [14]3.5021000.70177.3099007.74760003.3641005.2994003007.7328CPA [108]3.5000000.70177.3000007.80000003.3502155.2866832996.2185HGSO [47]3.4980000.71177.6700007.81000003.3600005.2890002997.1000WOA [17]3.4210000.70177.3000007.80000002.9000005.0000002998.4000CS [107]3.5015000.70177.6050007.81810003.3520005.2875003000.98105.11. 汽车侧面碰撞设计的抗撞性分析抗撞性设计的主要