在具有指数热源的旋转Riga板上，三维Casson纳米流体的磁生物对流停滞点流动：同伦方法分析

《Results in Surfaces and Interfaces》：Magneto-Bioconvective Stagnation Point Flow of a Three-Dimensional Casson Nanofluid Over a Rotating Riga Sheet with Exponential Heat Source: Homotopy Methodology Analysis

　　赛义德·M·侯赛因 | 萨迪克·雷赫曼 | 希贾兹·艾哈迈德 | 瓦西姆·贾姆谢德 | 穆罕默德·R·埃德 | 卡梅尔·格德里 | 穆罕默德·阿默尔·库雷希
沙特阿拉伯麦地那伊斯兰大学理学院数学系，麦地那，42351

**摘要**
本研究探讨了在磁场、指数热源和旋转参考系的影响下，三维Casson纳米流体在Riga板附近的停滞点流动现象。具体而言，该研究深入分析了这些物理机制如何影响流速、温度、纳米粒子浓度和微生物分布，并评估了同伦分析方法是否能够为这种高度非线性的传输模型提供精确的解析解。

首先，通过适当的相似变换将描述磁生物对流Casson纳米流体流动的原始非线性偏微分方程转换为无量纲常微分方程组。然后利用同伦分析方法对得到的耦合系统进行解析求解，并将结果与文献中的数据进行对比以验证其有效性。

研究结果表明，Casson流体参数、磁参数和质量格拉肖夫数的增加会导致流速场显著降低，因为流动阻力增大。相反，Riga板产生的较高哈特曼数通过电磁作用促进了流体运动。较强的热源和较大的毕奥数会导致温度分布上升，而热泳效应则会降低纳米粒子浓度。此外，较高的活化能会影响浓度传输，但佩克莱特数的增加则会增强微生物分布和生物对流强度。

本文提出的解析结果不仅加深了对耦合磁生物对流传输现象的理解，还展示了其在微电子冷却、可再生能源系统、电磁流控制、生物医学传输、微生物燃料电池以及先进纳米流体热技术等领域的应用潜力。

**1. 引言**
在磁场（MF）和电场存在的情况下，等离子体、液态金属和某些盐水溶液等导电流体的性质是磁流体力学（MHD）的研究对象。作为一门广泛的学科，MHD在从制造工艺到天体物理学的多个领域都有广泛应用（Kayanikhoo等人[1]和Modestov等人[2]）。MHD对于理解黑洞吸积盘、恒星和星系等天体中的等离子体行为至关重要，也有助于解释太阳耀斑、恒星风等现象（[3]、[6]）。核聚变作为未来能源的前景也基于MHD原理。“控制容器副产品”是指用于维持、约束和控制加热等离子体，防止其扩散并接触聚变反应堆壁的技术。通过施加磁场，可以加速等离子体或盐水等导电流体的运动。为了产生所需的能量，需要将氧原子和氢原子电离成等离子体（带电气体）。这一理念有望改善宇宙飞船和潜艇的动力系统。太阳之所以如此明亮，是因为其核心发生的核聚变产生了能量。MHD还应用于多种基于导电流体的工业过程中，例如铝电解生产金属以及核反应堆中的金属流体冷却系统。MHD极大地促进了人们对地球核心和地幔中这些流体固有性质的研究，以及地磁槽和行星磁场动态的研究（Leonovich等人[5]和Pandya等人[6]）。

停滞点流动（SPF）是流体力学的一个分支，主要研究流体在称为停滞点的位置汇聚的情况，此时流速为零。对于飞机机翼而言，空气流速为零且压力最高的点即为停滞点（Li等人[7]和Smida等人[8]）。例如，当热表面被流动的流体冷却时，停滞点就是流体速度为零的位置，从而实现最大的热传递速率（Shoaib等人[9]和Awati等人[10]）。这一概念应用于热交换器、温度控制机制和电子设备冷却等领域。该理论还有助于理解星际气体云和行星大气的动态。此外，它还用于电子设备冷却、热管理系统和热交换器设计。SPF还涉及化学工程中的质量传递、反应动力学研究（Mahmood等人[11]）。在各种化学过程中，了解停滞点有助于提高反应效率、混合效果和反应器布局（Shaiq等人[12]）。天体物理学可以利用SPF概念来理解恒星风如何环绕行星和恒星。借助这一理解，星际气体云和行星大气的动态研究变得更加简单。生物医学工程利用SPF概念研究人体心血管系统中的血流模式（Waqas等人[13]）。预测停滞点对于开发人工心脏和血液泵等医疗设备以及诊断和治疗心血管疾病至关重要。

非牛顿流体（NNFs）不遵循牛顿流体的标准粘度定律，后者的粘度与施加的力无关。Casson模型就是一个例子，它定义了NNFs并展示了应变与剪切率之间的非线性关系（Jalili等人[14]）。像番茄酱、蛋黄酱和乳制品这样的NNFs表现出剪切稀化行为，即受到扰动时粘度会降低。使用Casson模型可以更好地理解和预测这些流体的加工和包装过程中的流动特性（Thabet等人[15]）。用于石油和天然气勘探的钻井液通常会面临高温和高压环境。Casson等模型有助于有效控制这些流体的流动并防止井喷（Ali等人[16]）。了解悬浮液和乳液的流动特性是制药生产中涂层、封装和混合等过程的前提（Hafez等人[17]）。NNF模型在提高这些过程的效率和产品质量方面发挥着重要作用。涂料和涂层制造商在其生产过程中也会使用NNFs。借助Casson模型，可以制备出具有适当流变特性的涂层，确保应用均匀且覆盖充分（Farooq等人[18]）。NNFs还应用于多种生物领域，包括组织工程、药物输送系统和血液流动模拟。设计医疗设备和疗法需要理解生物流体的流动动力学。许多化妆品（如凝胶、面霜和乳液）也被建模为NNFs（Ausaru等人[19]）。化妆品生产商可以利用NNF模型改善产品的质地、稳定性和使用效果。NNFs还应用于废水处理厂的多种操作中，如污泥脱水、絮凝和沉淀（Anwar等人[20]）。Gul等人[21]研究了假设薄膜覆盖在倾斜旋转平面上的三维纳米流体循环现象，并探讨了其在冷却应用中的潜力。Gul等人[22]进一步扩展了这项研究，使用了水、氧化石墨烯纳米颗粒和EG来研究Marangoni对流上升流。Saeed等人[23]研究了Ag和TiO2纳米颗粒混合物在拉伸材料上的停滞点流速的分数特征。Noreen等人[29]研究了基于RSM的辐射生物对流纳米流体的建模。Noreen等人[30]对TiO2–SiO2–CuO/水三元二元纳米流体在扩展表面上的热导率特性进行了数值研究。Noreen等人[31]设计并模拟了带有旋向性微生物、活化能和热辐射特性的生物对流Casson纳米流体流动。Fatima等人[32]分析了MoS2–Ag/EO二元纳米流体在扩展活塞上的温度传输速率，并对Yamada–Ota和Xue模型进行了改进。Farooq等人[33]讨论了二元纳米流体在先进太阳能热机械中的应用，以及Cattaneo–Christov热通量效应在圆柱体中的表现。Senthilvadivu等人[34]利用ANN方法研究了水基CNTs在旋转边缘上的MHD Darcy–Forchheimer流动。Choudhary等人[35]研究了上升流和速度滑移对MHD四元二元纳米流体流动的影响。Loganathan等人[36]使用计算方法研究了具有非线性放射性和启动活力的旋转边缘上的Darcy Forchheimer流体流动。Senthilvadivu等人[37]评估了上升流活力对水-乙二醇（50:50）二元纳米流体在Riga扩展表面上的流动影响。Algehyne等人[38]研究了在随机旋转板间具有可调吸收介质的二元纳米流体流动的焦耳加热和耗散性能。Algehyne等人[39]研究了在可变渗透性扩展表面上具有速度和热滑移效应的MoS2–GO/水二元纳米流体流动。Mumtaz等人[40]对旋转扩展圆盘间的混合纳米流体流动进行了热流变分析。Yasmin等人[41]利用机制知识研究了化学活性金-血液Casson纳米流体在可变吸收介质上的流动。Aljohani等人[42]构建并解决了在非线性混合对流和可变温度效应下化学活性影响的不稳定薄片上优化熵生成的问题。Ayed等人[43]使用神经网络技术研究了停滞点处的混合纳米流体流动和熵产生。Khan等人[44]使用ANN定量研究了具有双扩散效应的可变渗透性标准中的Maxwell流体流动。Wang[45]展示了可压缩Navier–Stokes方程的无量纲化，以揭示其奇异性特征。Khan等人[46]使用新开发的随机方法研究了可渗透介质中的分数MHD边界层流动。Str?mberg[47]建立了连续模型来分析光产生的热分布及其相关奇异性。Xu等人[48]提出了多层介质中正向和逆向热传导问题的数值解。Ahmad和Khan[49]全面回顾了纳米技术在工程中的应用及其未来潜力。Mahariq等人[50]研究了MHD Darcy–Forchheimer混合纳米流体在可渗透标准中的微弱热传递。Mahariq等人[51]利用智能计算方法研究了微极流体在可渗透标准中的辐射热传递。Mahariq等人[52]对具有非均匀热源和滑移条件的多孔扩展表面上的对流微极混合纳米流体流动进行了数值研究。Anwar等人[53]研究了热辐射和活化能对两个旋转圆盘间混合纳米流体流动的影响。他们使用循环神经网络技术研究和预测了流动和热特性的行为，发现热辐射和活化能对温度分布和热传递特性有显著影响。AB和G[54]研究了在旋转扩展板上通过多孔介质的三元混合纳米流体流动。他们考虑了双重分层效应，以探索热和质量传递行为的变化。多孔介质的阻力、旋转和分层参数对流速、温度和浓度分布具有重要影响。本研究讨论了旋转多孔系统在传输三元混合纳米流体中的重要作用。Sadiya和Sucharitha [55] 对旋转拉伸板上MHD三元混合纳米流体流动进行了数值研究。为了解释复杂的传输机制，他们考虑了热化学反应和多孔介质的影响。Seyyedbarzegar [56] 进行了实验，以研究非对称老化对硅橡胶绝缘子闪络电压的影响。基于非均匀老化导致的退化效应，作者揭示了材料电性能和绝缘强度的变化。这项研究为高压绝缘系统的发展和长期研究提供了巨大潜力。Seto等人 [57] 探索了混合自旋-((1/2, 3/2)) Ising–Heisenberg结构的磁性质和相图。在论文中，他们使用平均场近似方法研究了磁相互作用和相变。他们的观察结果揭示了自旋耦合和温度变化对系统磁相的影响。该论文为复杂磁性材料及其相变的理论研究提供了新的见解。Krishnakanth和Lakshminarayana [58] 研究了Carreau纳米流体在膨胀圆柱上的流动，并将结果与不同条件进行了对比。他们探讨了产生的磁场对流体运动和传热情况的影响。研究结果表明，磁感应、非牛顿流变性和拉伸现象共同对速度和温度分布有显著影响。这篇论文涉及磁化非牛顿纳米流体系统及其传热增强的高级主题。Vinodkumar Reddy等人 [59] 研究了通过多孔介质的基本对流MHD停滞点非牛顿纳米流体流动。除了MHD之外，他们的研究还考虑了热源、焦耳加热和影响热量和质量传递的化学反应。数据表明，电磁和热因素对流动阻力、温度和浓度变化有显著影响。MHD流动、多孔介质和化学反应性纳米流体在工业层面构成了一个有趣的挑战，因此这篇论文是相关研究之一。Ajithkumar等人 [60] 探索了磁流体动力学和生物对流对多孔通道中水磁Sutterby纳米流体蠕动传输的联合影响。他们研究了化学激活和向旋微生物来模拟生物纳米流体传输。根据他们的研究，磁场、多孔介质、化学反应和微生物浓度对流动和传热有重要影响。Reddy等人 [61] 对在拉伸板上电导非牛顿纳米流体流动中的加热和质量传递进行了研究。他们通过考虑非均匀热源的存在，描述了实际的热状态。本研究旨在加深对拉伸板纳米流体流动中传热和质量传递的理解。这些基于应用磁学特性和沿未探索的Riga板的指数热源/汇的研究表明，在停滞点存在三维Casson NFs流动。在构建旋转框架时考虑了这种流动。在Casson NFs中，使用向旋微生物来研究生物对流的可能应用。我们将布朗运动和热泳过程纳入Buongiorno热结构中。利用对流边界条件，解决了湍流流动问题。为了将尺寸问题转换为无量纲形式，考虑了适当的无量纲变量。相关结果以表格形式展示，许多嵌入参数的变动以图形方式表示。

本研究旨在解决以下问题：
- 在旋转框架中的三维停滞点生物对流纳米流体流动中，磁效应、Casson流体行为以及由Riga板引起的电磁强迫在多大程度上影响速度剖面？
- 当Casson纳米流体受到指数热生成/吸收、对流加热、布朗运动和热泳作用时，其在传热方面的响应如何？
- 激活能、浓度梯度和向旋微生物对纳米粒子浓度及边界层中微生物分布有何影响？
- 同伦分析方法是否能够为这种极其非线性和耦合的传输模型产生精确且收敛的解析解？其结果与现有标准研究相比如何？

**研究的动机**
这项研究的主要目标是找到一个不那么理想化且更准确的模型，以便有效控制非牛顿纳米流体流动系统中的传热和质量传递。Casson纳米流体非常有趣，因为它们能够模拟各种工业和生物流体，包括血液、聚合物溶液、油漆和涂层材料。例如，使用Riga板作为一种出色的电磁方法可以调节边界层流动，而无需施加非常强的外部磁场。另一方面，通过将停滞点流动、旋转、具有指数特性的热源/汇、激活能、布朗运动、热泳以及向旋微生物结合到一个模型中，大大扩展了其在处理与先进热系统、生物医学传输、化学加工、微生物燃料系统和生物对流纳米流体应用相关问题方面的综合能力。因此，本研究源于了解上述物理现象如何影响速度、温度、浓度和微生物分布的愿望，同时为工程和生物医学过程中的传热和流动控制提供有用的理论指导。

**创新性**
本研究通过深入研究旋转Riga板上的三维Casson纳米流体停滞点流动以及指数热源/汇和生物对流的联合影响而脱颖而出。虽然许多先前的文章分别考虑了这些机制，但本文将Casson流体流变学、Riga板电磁力、旋转流动、布朗运动、热泳、激活能、对流加热和向旋微生物结合在一起。经过变换后的非线性控制微分方程通过著名的同伦分析方法得到了解析求解，甚至允许生成具有连续收敛区域控制的无限级数解。这个融合模型不仅提供了对速度、温度、浓度和微生物分布的新物理理解，还强调了其与传热增强、电磁流动控制、生物医学传输、涂层过程和生物对流纳米流体系统的联系。

**数学表述**
本研究考察了在旋转Riga板上流动的导电Casson纳米流体，在稳态、层流、不可压缩和三维边界层条件下的流动。流动在笛卡尔坐标系中研究，其中板位于xy平面内，流体位于z≥0的区域。x轴和y轴沿着Riga板的表面，而z轴垂直于板。图1展示了弹性板沿x轴以角速度Ω拉伸的情况。能量方程和浓度方程分别考虑了非线性加热结构和启动能量关系。符号u和v分别代表速度场中的法向速度和水平速度分量。具有柔性微生物的Casson NFs的主要方程用这些流体属性表示为：
(1)(2)(3)(4)(5)(6)

目前，分析的合理边界条件（BCs）为：
(7)
其中代表Casson因子，是运动粘度，是纳米流体的厚度，是热膨胀系数，是重力加速度，分别是溶质和营养物质的膨胀系数，表示旋转系数，是电流密度，是温度，是磁化强度，是热导率，是液体的温度体积，d是电极和磁体的宽度，代表布朗扩散系数，是热泳因子，是热生成/吸收量，是化学反应速率，是激活能常数，和分别是沿和方向的拉伸速度，代表对流系数，和分别是沿和方向的自由流速度。

**相似性变换**
接下来，应引入适当的相似性变换以简化流动控制方程和相关边界条件：
(8)
显然，方程(8)中列出的相似性变量完全满足方程(1)。通过将方程(8)添加到方程(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)中，得到：
(9)(10)(11)(12)(13)
变换后的边界条件为：
(14)
沿和方向的旋转参数为，热格拉肖夫数为，磁格拉肖夫数为，质量格拉肖夫数为，沿和方向的比率为，普朗特数用表示，布朗常数为，热泳参数为，埃克特数在x和y方向上为，热生成/吸收参数为，施密特数为，佩克莱特数为，微生物浓度差常数为，路易斯数为，化学反应参数为，温度差参数为，沿和方向的哈特曼数为，和为Biot数。表面摩擦系数，局部努塞尔特数为，局部谢伍德数为，运动密度数为，这些都是重要的物理变量，表示为：
(15)
表面剪切应力分别为和，通过以下方式求解：
(16)
使用相似性变换(8)，可以组成：
(17)
其中是局部雷诺数。

**同伦分析方法（HAM）**
Liao于1992年首次提出了同伦策略。为了获得非线性模型的解，通常首选同伦技术。与传统扰动和非扰动方法不同，由于同伦评估方法，我们可以根据需要轻松调整和学习估计的成本和收敛位置。总之，同伦评估的一些额外优点包括：它可以用来精确估计非线性问题，通过选择特定的基函数单位；即使特定的非线性问题不涉及次要或主要因素，它也是可行的；并且它提供了一种方便的方式来调整和操作收敛性和处理估计组。同伦方法的各个阶段在补充图1中展示。

当前问题由一组非线性常微分方程控制，这些方程通过同伦分析方法（HAM）得到解决。该方法生成收敛级数解，并且同时提供了通过所谓的辅助参数来处理收敛区域的可能性。因此，HAM特别适合当前这种高度非线性的流动问题。为了验证该方法，作者将他们的当前g′′(0)值与Wang [27] 和Ragupathi等人 [28] 的值进行了比较，当和都为零时。比较显示了非常好的一致性。例如，在α=0.25时，当前值为?0.1945，与Wang的值（?0.1945）和Ragupathi等人的值（?0.1946）完全匹配。同样，在α=0.5时，当前值?0.4651与报告的值?0.4652几乎相同，而在α=1.0时，当前值?1.1737与之前的结果完全相同。因此，这一比较强烈表明当前的公式和HAM解都是精确且相当可靠的。使用Mathematica 13，同伦分析方法得出了高阶ODE的解析解。初始估计和线性操作定义为：
(18)(19)
其中是任意常数。HAM的更多细节可以在参考文献[24]、[25]、[26]中找到。通过Wolfram Mathematica中的同伦分析方法（HAM）解析处理了变换后的非线性常微分方程系统。初始猜测和辅助线性运算的选择满足了边界条件。HAM级数解的收敛性由辅助收敛控制参数控制，收敛区域由?曲线确定。计算了最高近似级别，并观察到级数解达到数值稳定性和收敛性，从一个迭代到另一个迭代的变化很小。

为了检查当前工作的正确性，使用了文献中发现的摩擦系数值进行比较，结果与文献中的值完全一致。这验证了当前分析方法在正确性、收敛性和可靠性方面的正确性。

**参数研究**
图2展示了沿x方向的速度比参数如何影响速度剖面。具体来说，当环境流的速度超过拉伸表面的速度时，即（），观察到流速的升高。相反，随着某些参数的增加，边界层的厚度会减小。此外，在周围流体的速度超过拉伸表面速度的情况下，速度剖面趋向于趋近于速度比参数的值。相反，如果环境流速低于拉伸表面的速度，流体的速度会减小，同时流体动力边界层的厚度也会减小。在S系统中增加速度比参数可以改善主流的速度剖面，这是因为自由流速度变得比拉伸片的速度更强。Casson参数对Casson NF的主速度剖面和次级速度剖面的影响分别见图3和补充图9。随着β值的增加，流体速度减小。这是因为片材的延展性降低导致流体粒子移动得更慢。这种现象是由于β值的增加，使得混合纳米流体更具弹性和粘性。由于β值的增加导致有效粘度上升，因此流体运动减少。

图2. 对主流速度场的影响。

补充图2展示了旋转参数如何改变主流速度场。旋转参数的增加与速度在某个方向上的增强相关。从物理角度来看，较高的旋转参数值表示在该方向上的拉伸速率增加，从而导致该方向上的速度上升。当旋转参数ω提高时，由于流体中的旋转运动增强，主流速度分布得到放大。补充图3展示了磁参数如何影响流体的水平速度。随着磁参数的增加，速度剖面和扩散层的厚度都会减小。这种减小主要是由于洛伦兹力的作用，这是一种阻碍流体在垂直于流动方向上运动的阻力，从而导致速度剖面减小。随着热Grashof数和营养Grashof数的增加，补充图4和补充图6显示了主流速度剖面的变化趋势。较高的热Grashof数导致更大的主流速度，因为增强的热浮力推动了流体运动。另一方面，质量Grashof数的变化减少了速度剖面，如补充图5所示，这是因为质量Grashof数的增加增强了由于浓度梯度而产生的浮力。当这些力与主流方向相反或产生相反流动时，它们通过增加流体阻力来降低流动速度。随着质量Grashof数的增加，流动速度模式下降，证明浓度诱导的浮力与主流方向相反。

补充图7和补充图14显示了Hartmann数在x和y方向上对速度场的影响，其中注意到洛伦兹力的方向与主流速度一致，并且随着Hartmann数的增加而增加。补充图15的检查表明，当比率参数沿y方向大于1时，速度剖面呈现向下凹的形状；而当比率参数小于1时，速度剖面呈现向上凹的形状。条件大于1对应于停滞速度超过拉伸速度的情况。

补充图11展示了微旋转参数对纳米流体次级速度剖面的影响。观察到随着微旋转参数值的增加，纳米流体的次级速度剖面减小。不同微旋转参数值的次级速度剖面显示在补充图12中。在施加磁场的情况下，流体移动得更慢，导致动量屏障层的厚度和流体速度都减小。

图4揭示了无量纲温度场的特性，这些特性与热生成/吸收参数的变化相对应。可以看出，热生成参数的大幅增加会提高温度场。实际上，这是因为更大的热扩散性需要更大的温度扩散参数，从而控制更多的热量传递。因此，随着ε的增加，边界层的温度和厚度都会上升。提高热生成参数会导致温度剖面的上升，因为额外的热量被传递。

图5描述了Biot数对温度场的影响。较高的Biot数通常会增强温度剖面。从形式上讲，Biot数的增加导致温度分布上升，因为更高的热传递系数使得温度分布更加均匀。补充图13展示了布朗运动对温度剖面的影响。随着布朗运动的改善，温度剖面向上移动。由于布朗运动参数的增加，纳米粒子的相对湿度增加，因为纳米粒子的随机运动有助于热能的传输。

补充图14显示了热泳参数对温度剖面的影响。随着热泳参数的增加，温度剖面减小，因为纳米粒子从热区域移动到冷区域。实际上，更均匀的温度范围是由于热泳参数的增加促进了能量的重新分配，表明粒子从热区域向冷区域的移动更多。因此，整体温度趋势降低。

补充图15显示了布朗运动参数如何影响浓度剖面。观察到随着布朗运动参数的增加，溶质扩散层的厚度增加。在较高的布朗运动参数下，纳米粒子扩散更强，从而增加了浓度剖面。

补充图16展示了热泳参数对浓度剖面的影响。在较低的热泳参数值下，浓度剖面更为明显。建议热泳参数的增加导致流体粒子碰撞频率增加，从而导致浓度剖面减小。通过改变无量纲活化能来调整浓度分布，如补充图17所示。该图清楚地表明，活化能在较低温度下具有增加的功能。在较低温度下增加活化能会导致恒定的反应速率减小，这在实践中是有用的，从而改善了浓度溶质。

补充图18展示了微生物浓度与无量纲生物对流Lewis数之间的关系。图表显示了由于生物对流Lewis数抵抗细菌轮廓，浓度剖面显著下降。随着生物对流Lewis数的增加，微生物的结构扩散性降低，导致它们的形态减小。补充图19显示了Peclet数对微生物场的影响，表明在生物对流现象中，Peclet数较大的情况下微生物的轮廓增加。

图6、图7和图8展示了由x轴和y轴上的转向因子以及x轴上的比率因子引起的各个主流和次级速度的等高线图。图8显示当S>1时，速度上升。在这种情况下，扩展速度主要由自由流速度主导；而在S<1的情况下，观察到的行为相反。S=1时边界层没有变化。图7和图8展示了旋转参数与主流速度和次级速度的等高线运动。图7显示随着转向因子的改善，主流速度增加；而图8显示了相反的趋势。

表1-补充表4展示了各种参数对不同工程量的影响，如沿x方向的皮肤摩擦力、努塞尔特数、谢伍德数和微生物密度参数。表2比较了当前研究和以往的研究结果。当当前研究中缺少S1、ω1和Q1时，可以获得与以往研究完全相同的值。

结论
本研究深入探讨了在旋转Riga片上Casson纳米流体的三维磁生物对流停滞点流动，考虑了指数热源/汇、对流边界条件、活化能、布朗运动、热泳和趋旋微生物等多种因素。通过适当的相似性变换，初始的非线性偏微分方程被转换为一组无量纲常微分方程，然后通过同伦分析方法以解析方式求解。计算得到的解与现有基准结果进行了对比，取得了极好的一致性，进一步证明了当前公式的准确性和可靠性。

从参数研究中得出的主要结果如下：
? Casson流体参数、磁参数和质量Grashof数的增加导致速度剖面显著下降，这归因于粘性阻力的增加、洛伦兹力的效应以及分别对抗浓度的浮力。
? 与Riga片在x轴和y轴相关的Hartmann数由于Riga片产生的电磁力推动了流体运动并增强了动量传输，从而增强了速度场。
? 随着热生成/吸收参数、Biot数和布朗运动参数的增加，温度剖面上升，这是由于内部热生成增加、表面对流增强以及纳米粒子能量传输增加所致。
? 热泳参数导致温度和纳米粒子浓度分布的下降，因为纳米粒子从热区域迁移到冷区域。
? 高剂量的活化能通过降低化学反应速率显著改变了浓度传输，从而改变了边界层中的纳米粒子浓度。
? Peclet数的增加导致微生物密度剖面的增强，表明微生物传输增强和生物对流的增强。另一方面，较大的生物对流Lewis数导致微生物分布的减少。

这项工作提供了关于非牛顿纳米流体系统中耦合磁生物对流传输现象的原创物理知识。所提出的框架可以用于开发和改进创新的热管理系统、微电子冷却设备、电磁流控技术、微流控泵、生物医学传输系统、聚合物加工以及基于可再生能源的热传递应用。

本文的核心贡献在于为三维Casson纳米流体在旋转Riga片上的停滞点流动构建了一个详细的数学表示，考虑了指数热源/汇和修正的生物对流。该模型有效地捕捉了多种主要物理机制，包括磁场效应、Casson流体特性、布朗运动、热泳、活化能、对流加热和趋旋微生物等。利用同伦分析方法，推导出了变换后非线性控制方程的封闭形式解。因此，这项研究不仅加深了对非牛顿纳米流体传输的理解，还将该模型的应用范围扩展到了热传递增强、电磁流控制、生物医学传输、涂层工艺和仿生热系统等领域。未来的研究可以进一步通过引入更复杂的物理场景和真实的几何配置来丰富现有模型。这项研究的结果在未来的工程和工业系统中具有极大的应用价值，例如通过Riga片材开发电磁流控制技术可以推动微流体泵送、精确涂层技术和聚合物加工领域的发展。另一方面，Casson纳米流体在热传输方面的改进能力使其在微电子热管理、电子芯片冷却和微型换热器方面具有重要的应用价值。在医学应用方面，将向性微生物与活化能效应相结合，使得整个概念在生物医学传输系统、靶向药物输送、生物燃料制造和生物技术中的生物对流等方面具有潜力。这项工作还可以为可再生能源创新提供帮助，特别是在太阳能热收集器、能量存储系统和基于纳米流体的热传递装置方面。

7. 未来发展方向
例如，将当前研究扩展到非线性拉伸片材、旋转圆盘、曲面、圆柱体、多孔通道和倾斜表面等场景，可以提供更全面的工业和工程应用范例。引入霍尔电流、离子滑移、热辐射、可变粘度、可变热导率、焦耳加热、熵生成、滑移边界条件以及Cattaneo–Christov热通量等额外因素，将有助于使模型更加完善。此外，还可以研究混合纳米流体和三元混合纳米流体，以评估它们的热传输能力。最后，可以将当前的解析框架与数值模拟或基于机器学习的方法进行对比，从而进一步验证结果并提高先进热控制、生物医学控制和电磁流控制应用的预测准确性。

未来的工作可以考虑各种非线性拉伸表面、旋转圆盘、曲面、多孔介质以及非稳态流动的模型，这将使我们更接近实际工程问题。此外，加入热辐射、霍尔电流、离子滑移效应、焦耳加热、熵生成、可变热物理性质和Cattaneo–Christov热通量等热传递方面，可以进一步提高物理模型的真实性。

**作者贡献声明**
Kamel Guedri：撰写原始草稿
Dr. Muhammad Amer Qureshi：可视化处理
Dr. Syed M. Hussain：实验研究
Dr. Wasim Jamshed：软件开发
Dr. Mohamed R. Eid：模型验证
Dr. Sadique Rehman：方法论设计
Dr. Hijaz Ahmad：数据整理与概念化

**利益冲突**
作者声明没有利益冲突。

**资助**
本研究由沙特阿拉伯Umm Al-Qura大学资助，项目编号为26UQU4331317GSSR04。