针对具有粘性-弹簧边界且处于空间变化地震激励下的SSI系统，提出了一种简洁而严谨的CQC响应谱公式

《Soil Dynamics and Earthquake Engineering》：A streamlined yet rigorous CQC response spectrum formulation for SSI systems with viscous-spring boundaries under spatially variable seismic excitations

　　

刘国环|陈志超

天津大学水利工程智能建造与运行国家重点实验室，天津，300350，中国

摘要

当前的多支座响应谱（MSRS）方法基于传统的演绎框架，本质上产生了完全二次组合（CQC）公式，这些公式受到数学复杂性和参数化过于繁琐的困扰——这些限制严重阻碍了实际应用。为了克服这些关键缺点，本研究引入了一种基于混合激励的多支座响应谱（HEMSRS）方法，并为受到空间变化地震激励的粘弹性弹簧-边界-结构相互作用（VBSSI）系统的地震分析推导出了一种简化的CQC公式。主要贡献包括：（1）引入了两步传递机制，以建立自由场应力与输入地面运动之间的确定性关系，从而将之前分离的激励分量（自由场应力、弹性恢复力和阻尼恢复力）整合到一个混合激励项中。（2）实现了极其简洁而严谨的CQC公式——所需的模态参与因子、均方根（RMS）值和相关系数分别比IEMSRS方法减少了3倍、2倍和5倍，比CMSRS方法减少了6倍、5倍和17倍。数值示例表明，所提出的方法与CMSRS和IEMSRS方法的准确性相当，同时计算效率分别提高了约4.09倍和1.82倍。总体而言，所提出的HEMSRS方法和推导出的CQC公式不仅高度准确，而且异常简洁和计算效率高，因此成为工程师分析在空间非均匀地震激励下VBSSI系统地震响应的实用工具。

引言

背景与动机。当前地震设计规范中规定的响应谱方法主要是为在均匀地面激励下小规模结构的地震设计而设计的。然而，大跨度桥梁、深埋隧道和其他重大基础设施需要明确考虑土壤-结构相互作用（SSI）[[1], [2], [3]]效应，以及人工边界条件和空间变化的地面运动。虽然我们开发了一种多支座响应谱（MSRS）方法[4]，该方法考虑了SSI效应，但现有公式的过度复杂性和基于传统演绎方法的繁琐参数仍然阻碍了实际应用。因此，迫切需要一种简洁、准确且广泛适用的多支座响应谱方法来支持这些关键基础设施的地震设计。

现有知识与局限性Kiureghian [5]首次提出了多支座响应谱（MSRS）方法，为经典阻尼结构严格制定了其解析表达式，为在空间分布激励下的响应谱分析建立了基础理论框架。随后，Loh和Ku [6]通过纳入波传播效应和局部场地条件扩展了这一框架。Yu和Zhou [7]通过开发复杂MSRS（CMSRS）方法将该方法扩展到非经典阻尼系统，而Liu等人[8]通过纳入耦合阻尼分量进一步提高了其准确性。值得注意的是，这些研究主要集中在上部结构分析上，针对SSI系统的研究仍然相对有限。

为了准确模拟SSI效应并确保地震能量的有效耗散[9,10]，数值模型通常会整合粘弹性弹簧人工边界（VSAB）[11,12]。Gao等人[13]为具有边界条件的非经典阻尼系统提出了一种广义复杂响应谱方法，但该方法仅限于均匀地震激励的应用。Fei和Liu [14]开发了CMSRS-VSAB方法来解决这一差距，但其解析表达式仍然过于复杂。

尽管这些现有方法在该领域取得了进展，但它们仍然面临重大限制：要么适用范围狭窄，要么推导过程过于繁琐，阻碍了实际应用。根本挑战在于VSAB将运动方程中的激励项分解为三个独立分量：自由场应力、弹性恢复力和阻尼恢复力。传统方法通常将这些分量分开处理，需要分别计算参与因子、均方根（RMS）值和相关系数，以及处理它们复杂的耦合关系。这种碎片化的方法导致推导过程过于繁琐，参数数量呈指数级增长，使得这些方法在理论上虽然合理，但在实际工程应用中并不实用。

贡献与创新本研究打破了传统范式，系统地提出了一种基于混合激励的多支座响应谱方法（HEMSRS），并为粘弹性弹簧-边界-结构相互作用（VBSSI）系统的地震设计推导出了完全二次组合（CQC）公式。核心创新在于通过混合激励框架重新概念化了激励机制，实现了三个方面的变革性进步：（1）混合激励公式：首先，采用两步传递来建立自由场应力与输入地面运动之间的关系。此外，严格利用频域传递关系将三个激励分量整合到一个混合激励项中，完全消除了分别处理多个分量的繁琐过程。（2）在不牺牲严谨性的前提下实现了极度的简洁性：推导出了一种新的混合激励传递函数和单一的广义相关系数，大大减少了CQC公式所需的参数数量，同时保持了完整的理论严谨性。（3）高计算效率：所提出的方法保持了CMSRS级别的准确性，同时显著降低了计算成本，使得在实际工程应用中能够高效实施，而不牺牲精度。

文章结构组织第2节建立了运动方程，并简要回顾了实模阻尼正交化技术。第3节详细介绍了所提出的HEMSRS方法，推导出了新的广义相关系数和混合激励二次变换函数，随后开发了一种简洁而严谨的CQC公式。第4节强调了HEMSRS方法相对于CMSRS和传统MSRS方法的显著优势。第5节通过数值示例验证了所提出方法的准确性，并展示了其效率。最后，第6节讨论和第7节结论分别概述了讨论和结论。

章节片段

动态方程的建立与推导

本节介绍了VBSSI系统的公式并推导了其动态方程。同时简要回顾了所提出的实模阻尼正交化方法，为HEMSRS方法的开发和推导奠定了理论基础。

提出的HEMSRS方法、实施程序及VBSSI系统的CQC公式

如方程（6）所示，引入VSAB会在动态方程的右侧产生三个激励项。按照传统范式，每个项都需要单独进行参数计算和耦合处理，使得传统的MSRS公式变得繁琐且计算密集。为了从根本上解决这种复杂性，我们将一种新的混合激励概念应用于VBSSI系统，严格地将三个激励项合并为一个统一的项。

本节旨在通过全面详细的比较，展示HEMSRS方法相对于传统方法（独立激励MSRS（表示为IEMSRS）和复杂MSRS（CMSRS）的优越性。

验证

本节使用我们提出的HEMSRS方法的CQC公式和传统方法评估了VBSSI系统的地震响应。目的是直接验证其准确性，验证其卓越的计算效率，突出我们推导出的CQC公式的极简性，并充分展示HEMSRS方法相对于现有方法的优越性。

主要贡献

本研究对粘弹性弹簧-边界-结构相互作用（VBSSI）系统的地震响应分析领域做出了两项主要贡献。首先，引入了一种混合激励概念，用于推导在非均匀地震激励下VBSSI系统的响应谱。这是首次将自由场应力、弹性恢复力和阻尼恢复力统一起来，为后续推导提供了新的视角和理论基础

结论性意见

尽管现有的多支座响应谱（MSRS）方法具有明确的物理可解释性，但其参数的增多和过于繁琐的推导过程阻碍了实际工程师的直接应用。因此，这一限制严重阻碍了它们的广泛采用和该领域的长期发展。为了解决这一关键挑战，我们摆脱了导致复杂性过高的传统范式，并提出了我们的创新贡献

刘国环：撰写——审稿与编辑、资源获取、方法论、资金申请、正式分析、概念化。陈志超：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件开发、调查、数据整理。

资助

本工作得到了中国国家自然科学基金（资助编号：51978461）的支持。

利益冲突声明

我们声明与可能不恰当地影响我们工作的其他人或组织没有财务或个人关系，也没有任何可能影响手稿中结论的产品、服务或公司的专业或个人利益。