幂次Juchez分布（Power Juchez Distribution）：性质、估计、模拟及其在失效时间与辐照数据中的应用

《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》：The power Juchez distribution: Properties, estimation, simulation, and applications to failure time and irradiation data

　　

准确捕捉现实世界数据中复杂模式需要灵活的概率模型。然而，现有Juchez分布（Juchez Distribution, JD）的扩展形式常缺乏接受多种分布形态的灵活性，因此需要更具通用性的模型。本研究提出一种多功能的Juchez分布扩展——幂次Juchez分布（Power Juchez Distribution, PJD）。研究人员采用十五种不同的估计方法来估计所提模型的参数，并推导若干重要统计性质。通过全面的模拟研究评估这些方法的性能，证明其在不同条件下的有效性和一致性。进一步利用三个真实数据集（包括辐照数据集）验证所提模型的适用性，展示其在多个行业中的实用性。基于拟合优度指标和标准模型选择的比较分析表明，幂次Juchez分布比竞争模型提供更优的拟合。这些结果证明所提分布具有适应性，可用于拟合真实数据。

该论文发表于《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》，旨在解决经典Juchez分布（JD）在刻画实际数据多样性行为方面的不足。在统计分布理论中，向现有分布族添加新参数以增强模型灵活性是一种重要技术，但现有Juchez分布的扩展形式仍难以充分捕捉非单调或浴盆形（bathtub-shaped）风险率等复杂结构。辐射相关研究中的寿命观测常受环境变异性和处理效应影响，包括辐照与未辐照材料（如暴露于药材甲虫侵染的胡椒薄荷包装）的测试，这些复杂性需要灵活的统计模型。传统寿命分布如指数分布（Exponential Distribution）和Lindley分布灵活性不足，难以捕捉复杂风险率特征。尽管已有多种广义分布被提出，但许多模型要么增加数学复杂性，要么未能充分解决风险率灵活性问题。Juchez分布虽为寿命数据建模提供了相对简单的框架，但其基线模型在捕捉多种风险率形态方面仍显局限。

基于此，研究人员提出了幂次Juchez分布（PJD），通过幂变换引入额外形状参数δ，显著增强基线分布的灵活性。该分布可建模多种风险率形态，包括非单调、递增和递减形式，且当δ=1时退化为基线Juchez分布，保证了模型扩展的逻辑连贯性。

研究首先定义了PJD的概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）、生存函数（Survival Function）和风险率函数（Hazard Rate Function）。密度图表明，不同参数组合下PJD呈现多种形态。风险率函数的灵活性尤为突出，可呈现浴盆形（非单调）、单调递增、单峰形和单调递减等形态，验证了其建模多种真实数据的潜力。

在统计性质方面，研究人员推PJD的r阶原点矩和矩生成函数（MGF）。r阶原点矩表达式为μ_r=ρ^?r/δ[Γ(r/δ+4)+ρ²Γ(r/δ+2)+ρ³Γ(r/δ+1)]/(ρ³+ρ²+6)，由此可得均值、方差、偏度和峰度。矩生成函数通过级数展开表示，可获取各阶矩。r阶不完全矩ψ_r(z)的推导对风险分析和可靠性应用至关重要，其表达式涉及不完全伽马函数γ(·,·)。基于不完全矩，研究人员进一步得到平均剩余寿命（Mean Residual Life, MRL）和平均等待时间（Mean Waiting Time, MWT）函数，这些指标在评估系统老化特征方面具有重要作用。Lorenz曲线和Bonferroni曲线用于量化分布不平等程度和条件均值，Rényi熵则衡量随机试验结果的不确定性，其表达式包含双重无穷级数和伽马函数。次序统计量的PDF和CDF也被详细推导，为极值分析和风险评估提供理论基础。

参数估计方面，研究人员采用十五种方法构建完整推断框架：最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）、Anderson-Darling估计（Anderson-Darling Estimation, ADE）、Cramér-von Mises估计（Cramér-von Mises Estimation, CVME）、最大间距乘积估计（Maximum Product of Spacings Estimation, MPSE）、最小二乘估计（Least Squares Estimation, LSE）、右尾Anderson-Darling估计（Right-tail Anderson-Darling Estimation, RTADE）、加权最小二乘估计（Weighted Least Squares Estimation, WLSE）、左尾Anderson-Darling估计（Left-tail Anderson-Darling Estimation, LTADE）、最小间距绝对距离估计（Minimum Spacing Absolute Distance Estimation, MSADE）、最小间距绝对对数距离估计（Minimum Spacing Absolute-Log Distance Estimation, MSALDE）、Anderson-Darling左尾二阶估计（Anderson-Darling Left Tail Second Order Estimation, ADSOE）、Kolmogorov估计（Kolmogorov Estimation, KE）、最小间距平方距离估计（Minimum Spacing Square Distance Estimation, MSSDE）、最小间距平方对数距离估计（Minimum Spacing Square-Log Distance Estimation, MSSLDE）以及最小间距Linex距离估计（Minimum Spacing Linex Distance Estimation, MSLNDE）。模拟研究表明，MLE在偏置（Bias）和均方误差（Mean Squared Error, MSE）方面表现最优，MPSE位列第二。

研究结果部分包含以下方面：

**密度与风险率函数的灵活性**：通过不同参数组合绘制密度图和风险率图，得出PJD可呈现递增、递减、单峰和浴盆形等多种风险率形态，验证了所提分布的理论灵活性。

**矩与生成函数性质**：推导PJD的r阶原点矩、矩生成函数、不完全矩、平均剩余寿命、平均等待时间、Lorenz与Bonferroni曲线、Rényi熵以及次序统计量的闭合表达式，得出各统计量均可通过参数δ和ρ显式表示，且基线Juchez分布作为特例嵌套于模型中的结论。

**估计方法比较**：基于样本量n=20, 70, 130, 200, 240, 300，重复1000次模拟，评估各估计方法的|偏置|、均方误差、平均相对误差（Mean Relative Error, MRE）、平均绝对差（Average Absolute Difference, D_abs）和最大绝对差（Maximum Absolute Difference, D_max）。结果表明MLE得分最优（70.0），MPSE次之（100.0），各度量随样本量增加趋于精确。

**失效时间数据应用（数据集I）**：分析50个项目的失效时间（周），PJD在AIC（303.7522）、-2logL（299.7522）、HQIC（305.2084）、KS统计量（0.0770，p=0.9286）、CVM统计量（0.0383，p=0.9432）和AD统计量（0.2077，p=0.9882）方面均优于Juchez分布、Lindley分布、X-Lindley分布、指数分布、扩展指数分布、Weibull分布和Chen分布等竞争模型。

**可靠性数据应用（数据集II）**：分析另50个项目的失效时间（周），PJD在AIC（309.7913）、-2logL（305.7913）、HQIC（311.2475）、KS统计量（0.0762，p=0.9124）、CVM统计量（0.0329，p=0.9669）和AD统计量（0.2544，p=0.9679）方面再次表现最优，尤其在Anderson-Darling统计量上的优势表明其更好地刻画了尾部行为。

**辐照数据应用（数据集III）**：分析未辐照与经伽马射线（6、8、10 kGy）或微波辐射（1、2、3分钟）处理的胡椒薄荷包装对药材甲虫侵染的易感性指数（Susceptibility Index, SI），样本量n=21。PJD在AIC（21.3363）、-2logL（17.3363）、HQIC（21.7897）方面最优，Weibull分布和Chen分布表现接近，但PJD在所有度量上仍保持领先。

讨论与结论部分指出，幂次Juchez分布作为Juchez分布的灵活扩展，允许概率密度和风险率函数的广泛形态，适用于复杂寿命和可靠性数据建模。十五种估计技术的比较揭示了准确性、稳定性和计算效率的明显差异，MPSE在多种情境下表现优异，而传统MLE并非总是最优。真实数据应用证明所提分布优于竞争模型，尤其在尾部行为和非单调风险结构方面。研究局限性包括：额外形状参数增加模型复杂度，对小样本或重度删失数据可能造成计算困难；当前限于单变量框架，未纳入协变量效应或回归模型；未探讨贝叶斯估计等先进计算技术。未来研究方向可扩展至回归情境、应用贝叶斯方法、以及处理高维数据和删失数据。

研究结论部分表明：为克服经典Juchez模型在反映实践数据行为多样性方面的不足，本工作提出了幂次Juchez分布作为灵活扩展。该分布适用于复杂寿命和可靠性数据建模，因其允许概率密度和风险率函数的广泛形态。通过十五种估计技术构建了完整推断框架，模拟结果显示各估计量在准确性、稳定性和计算效率方面存在明显差异。具体而言，最大间距乘积估计在多种情境下提供更优性能，而最大似然估计等传统方法并非总是最优。对真实数据集（包括失效时间和辐照相关数据）的应用展示了模型的实用价值，所提分布始终优于竞争模型，证明其识别数据底层模式的能力。这些发现强调了灵活分布建模在获得更可靠统计推断中的关键作用。总体而言，研究不仅提出了新分布，还提供了估计方法的全面评估及其实用建议。未来可基于所提PJD模型创建回归框架以纳入协变量效应，探索贝叶斯估计技术以解决最大似然估计的数值问题，并将应用扩展至删失数据和更复杂的可靠性结构。

该研究所用主要关键技术方法包括：基于幂变换的分布构造方法；十五种经典频率学参数估计方法（MLE、ADE、CVME、MPSE、LSE、RTADE、WLSE、LTADE、MSADE、MSALDE、ADSOE、KE、MSSDE、MSSLDE、MSLNDE）；蒙特卡洛模拟评估方法；以及基于AIC、-2logL、HQIC等信息准则和KS、CVM、AD等拟合优度检验的模型比较方法。真实数据来源包括：Arshad等（2021）的50个项目失效时间数据集、Murthy等（2004）的50个项目失效时间数据集，以及Abdelfattah和Sayed（2022）的胡椒薄荷包装辐照处理易感性指数数据集。