基于解析解的锂离子电池分数阶模型高效参数辨识方法：LL-X方法

《Journal of Energy Storage》：An efficient parameter identification method for the fractional-order model of lithium-ion batteries based on analytical solutions: LL-X method

　　

分数阶模型（FOMs）能够比传统整数阶模型更准确地描述锂离子电池的动态行为，但其实际应用仍受限于低效的参数辨识。现有辨识方法主要依赖于全局优化算法，如粒子群优化（PSO）和遗传算法（GA），这些方法往往存在计算成本高、对搜索空间设置依赖性强以及物理可解释性有限等问题。为解决上述问题，本研究提出了一种面向分数阶模型的高效参数辨识方法，称为LL-X方法。通过利用分数阶模型的解析零输入响应，该方法为参数估计建立了直接优化路径，从而避免了昂贵的随机搜索。此外，研究人员还开发了一种两阶段辨识框架，以分别捕捉电池的短期和长期极化动力学。实验验证在多种工况条件下对一块16.8 Ah的富锂锰基（LRMB）电池进行了测试。结果表明，所提方法将计算时间减少了90%以上，同时在电压预测中实现了比代表性全局优化方法至少低10 mV的均方根误差。进一步在五块不同老化程度的NCM622电池及多种温度条件下的验证，确认了该方法在不同老化和温度条件下的鲁棒性与适用性。总体而言，LL-X方法为分数阶电池模型参数辨识提供了一种准确、高效且物理意义明确的解决方案。

锂离子电池（LIBs）凭借其高能量密度、高功率密度、长循环寿命及无记忆效应等特性，近年来随着电动汽车（EVs）和新型储能系统的快速发展而备受关注并得到广泛应用。电池的电化学性能、成本及安全性高度依赖于其构成材料，其中正极材料尤为关键。目前，多种正极材料如磷酸铁锂（LiFe₄）、锰酸锂（LiMn₂O₄）、钴酸锂（LiCoO₂）和三元材料LiNi_1/3Co_1/3Mn_1/3O₂（NCM）等已广泛应用于商业锂离子电池系统。然而，在当前电池体系下，电动汽车的里程焦虑问题仍是亟待解决的挑战，这凸显了开发具有更高能量密度正极材料的重要性。近年来，富锂锰基（LRMB）层状氧化物作为一种有前景的正极材料受到越来越多的关注。该材料相比传统材料具有显著更高的放电容量（250 mAh/g）和能量密度（900 Wh/kg），使其成为下一代锂离子电池正极的领先候选材料。此外，LRMB在与全固态电池等新兴电池技术集成时展现出独特的协同优势。在固态体系中，固态电解质的高电压耐受性（>4.8 V）与LRMB电池的高工作电压相匹配；同时其物理屏障可有效抑制锰离子溶解并缓解传统液态电池中的氧释放问题，从而提升电池的稳定性和安全性。因此，LRMB电池在突破能量密度限制和推动下一代高安全性储能技术发展方面具有重要潜力。

在实际应用中，确保电池在安全运行范围内工作并延长其使用寿命，很大程度上依赖于有效的电池管理系统（BMS）。荷电状态（SOC）是BMS中最关键的指标之一，有助于防止电池过充和过放。然而，准确的SOC估计往往依赖于精确的电池模型以提供可靠的电压估计，这在采用卡尔曼滤波等后验状态估计方法时尤为关键，因为电池模型的开环电压估计误差直接影响最终SOC估计的准确性。此外，精确的电池模型还为某些故障诊断算法（特别是内短路诊断）提供重要支持。因此，电池模型的开发一直是研究热点，包括电化学模型、数据驱动模型、整数阶等效电路模型（ECMs）和分数阶等效电路模型（FOMs）。电化学模型基于描述电化学动力学的偏微分方程组构建，并结合巴特勒-沃尔默（Butler-Volmer）方程，能够准确刻画锂离子在充放电过程中的迁移行为，但其依赖众多难以测量的参数且需要大量计算资源，这可能损害SOC估计精度并限制其在实际电池系统中的广泛应用。近年来，数据驱动模型也因能直接通过机器学习技术从测量数据中学习电池行为而受到关注，但其有限的物理可解释性、未见工况下的泛化不足以及相对较高的计算负担，仍阻碍其在实际车载BMS中的广泛部署。整数阶ECMs采用多个RC元件模拟电池的极化行为，因其对复杂电化学系统的简化表示和相对较低的计算复杂度，已广泛用于SOC估计和端电压模拟。分数阶ECMs近年来作为锂离子电池建模的有前景方法应运而生。与传统整数阶ECMs相比，FOMs引入恒相位元件（CPEs）替代传统RC网络中的电容器，从而更准确地表征电池的电化学反应动力学。鉴于电池内部电化学反应的复杂性和非线性，传统整数阶模型难以准确捕捉这些行为；而FOMs凭借其更灵活的数学表述，能够更精确地模拟这些复杂行为，特别是在阻抗谱的中频区域，能更准确地反映电池的真实阻抗特性。

LRMB层状氧化物从根本上不同于LFP和NMC等传统正极材料。其通过耦合的阳离子-阴离子氧化还原过程提供超高比容量（>250 mAh·g^-1），其中晶格氧的参与补充了过渡金属的氧化还原。在Li₂MnO₃组分的高压激活过程中，可能发生氧氧化还原甚至氧释放，伴随过渡金属迁移和局部结构重排。这些反应导致缓慢固态扩散、显著的电压衰减（voltage fade）以及循环过程中强烈的充放电滞后。在电压-SOC域中，LRMB电池通常表现出初始的高电压平台（约4.5 V），随循环逐渐下移，并可能演变为额外的低电压平台；此外，充放电曲线之间存在显著的路径依赖性。在时域中，弛豫测量常揭示延长的长尾特征，表明分布式扩散和反应动力学。这些化学特异性行为使LRMB有别于传统体系，直接影响模型结构和参数辨识。为LFP或NMC化学体系校准的标准ECMs通常无法再现多平台行为和长低频响应，在动态负载下常导致有偏的电压预测和SOC估计误差。这些挑战促使研究人员开发包含色散和记忆效应（如分数阶元件）的模型，以及利用弛豫窗口区分快速界面过程与缓慢扩散极化的辨识策略。然而，据研究人员所知，目前尚未有针对LRMB电池的分数阶建模研究报道。为填补这一研究空白，本工作旨在开发面向LRMB电池的分数阶模型，并基于其独特的弛豫特性提出高效的参数辨识方法。

参数辨识是分数阶模型实施的关键步骤，旨在从实验数据中准确提取控制电池动态行为的关键参数。近年来，大量研究工作致力于此问题。Ma等人开发了锂离子电池的分数阶阻抗模型，通过频率拟合和输出误差估计辨识其参数，建立了基于电化学阻抗谱（EIS）的早期分数阶电池建模途径，但该方法强烈依赖频域测量。Hu等人采用混合群体协同粒子群优化策略进行分数阶模型辨识，在不同温度、SOC范围和驾驶条件下展示了比传统二阶RC模型更好的准确性和鲁棒性。Wang等人对比研究了四种典型分数阶模型，采用龙格-库塔优化器结合电化学阻抗谱分析辨识精度和计算成本，为模型选择和参数辨识提供了比较基础。Wang等人提出了BAS-RLS混合辨识框架，通过甲壳虫触角搜索确定分数阶，其余参数通过最小二乘法递归更新，实现了分数阶电池模型的在线辨识以用于SOC估计。Wu等人建立了完全耦合的多时间尺度框架，包含全参数在线辨识和实时SOC估计，进一步推进了该类方法的在线适用性。Mao等人将分数阶本身作为可辨识变量，采用基于粒子群优化的策略联合辨识阶数值和电路参数，突出变阶建模对提升分数阶等效电路模型描述能力的重要性。Zeng等人开发了适应全参数更新的电池多时间尺度分数阶建模方法，表明特征分离和多时间尺度协调可提升分数阶模型在SOC估计任务中的适应性。Qin等人提出了具有在线参数辨识和分数阶计算截断近似策略的复合分数阶电池模型，表明通过截断近似可在控制计算负担的同时提高模型精度。Yu等人引入了多策略和均值因子差分进化算法用于分数阶电池模型的参数估计，展示了改进差分进化策略在求解分数阶电池模型非凸参数估计问题中的持续应用。Putri等人探索了分数阶电池模型参数辨识的混合深度学习方法，表明数据驱动混合策略也开始在该领域涌现。总体而言，尽管这些研究显著推动了分数阶电池建模的发展，现有参数辨识方法仍普遍依赖EIS测量、元启发式优化或重复在线迭代更新，因此常存在计算成本高、对初始化和搜索空间设置依赖性强以及辨识过程物理透明度有限等问题。

为应对这些局限性，本研究提出了一种基于解析解的新型参数辨识方法，称为滞后学习-X方法（LL-X方法）。与现有辨识方法相比，该方法具有以下优势：其一，通过利用FOM零输入响应的闭式解析解，直接将可测量的弛豫数据与关键模型参数相关联，从而避免了不必要的迭代探索，大幅降低计算成本的同时保持高辨识精度；其二，解析结构提供了更具物理引导性的优化路径，使该方法对搜索空间设置的依赖性更低，更适用于高维、多参数问题；其三，所提方法自然匹配基于弛豫的实验协议，非常适用于离线校准，并可能为未来BMS中的在线自适应提供基础。

该研究的主要贡献可总结为：（1）提出了一种基于解析解的参数辨识方法——LL-X方法，用于分数阶电池模型。通过利用闭式零输入响应，该方法将参数辨识从基于群体的随机搜索转化为物理引导的约束拟合问题，从而同时提升计算效率和辨识精度。（2）开发了两阶段辨识框架，从弛豫数据中分别辨识短期和长期极化参数。该设计缓解了参数耦合，降低了高维优化难度，并提高了多时间尺度电池动力学辨识的鲁棒性。（3）系统验证了所提框架和分数阶模型对LRMB电池的适用性。在LRMB电池和五块不同老化程度NCM622电池于不同温度条件下的实验结果表明，所提方法相比PSO和PSO-GA实现了更优的精度-效率权衡，而分数阶模型优于传统整数阶ECMs。

该论文发表于《Journal of Energy Storage》。研究人员为开展研究所采用的主要关键技术方法包括：基于Caputo分数阶定义的解析推导方法以获得零输入响应的闭式表达；两阶段参数辨识框架，通过分离短期与长期极化动力学降低参数耦合；以弛豫实验数据为基础的约束拟合优化策略；以及在多种工况（不同温度和老化状态）下进行的系统性实验验证。

研究结果部分主要包含以下内容：

电化学阻抗谱分析：研究人员通过电化学阻抗谱（EIS）技术探测电池动态特性，测量不同频率下的阻抗以深入分析电池内部界面、电荷转移和扩散过程。EIS曲线的特征阻抗参数揭示了电池的反应机理。对于LRMB电池，其阻抗谱呈现出区别于传统正极材料的独特特征，为后续分数阶模型的结构设计提供了依据。

分数阶建模与解析求解：研究人员采用Caputo分数阶导数定义进行解析推导，因其便于将初始条件表示为经典整数阶形式，有利于参数辨识阶段的解析推导。与建模阶段使用的G-L（Grünwald-Letnikov）定义相比，Caputo定义更适合分析推导。基于该定义，研究人员推导得到了分数阶模型零输入响应的解析解，为LL-X方法的建立奠定了理论基础。

LL-X方法的具体实现：研究人员提出的LL-X方法通过利用分数阶模型零输入响应的解析形式，建立了可测量弛豫数据与模型参数之间的直接映射关系。该方法采用两阶段框架：第一阶段辨识与短期极化相关的参数，第二阶段辨识与长期极化相关的参数，从而有效分离不同时间尺度的动力学过程，避免参数间的强耦合。

实验验证与对比分析：研究人员搭建了实验平台，对两类电池样本进行了测试：（1）标称容量为16.8 Ah的富锂锰基（LRMB）电池；（2）五块标称容量为40.2 Ah、健康状态（SOH）从约80%到100%不等的老化镍钴锰（NCM622）电池，该五块电池为同一生产批次的相同商业电池。LRMB电池在恒定环境温度下进行测试。实验结果表明，所提LL-X方法将计算时间减少了90%以上，同时在电压预测中实现了比PSO和PSO-GA等代表性全局优化方法至少低10 mV的均方根误差（RMSE）。在五块不同老化程度的NCM622电池及多种温度条件下的进一步验证，确认了该方法在不同老化和温度条件下的鲁棒性与适用性。

在讨论部分，研究人员指出LL-X方法通过解析解避免了传统全局优化算法中的昂贵随机搜索，实现了计算效率与辨识精度的协同提升。两阶段框架的设计有效缓解了参数耦合问题，使得高维参数优化更加稳定可靠。分数阶模型相比传统整数阶ECMs，能够更好地捕捉LRMB电池特有的多平台行为和长弛豫尾特征，这对于准确估计SOC和进行故障诊断具有重要意义。该方法不仅适用于LRMB电池的离线校准，其基于弛豫的辨识特性也为未来在线自适应BMS中的应用提供了潜在路径。研究人员还强调了该方法物理透明度高的特点，即参数估计过程具有明确的物理意义，有助于理解电池内部的极化机制和老化演变规律。

研究结论为：本研究提出了一种面向分数阶电池模型的高效参数辨识方法——LL-X方法。通过利用分数阶模型的解析零输入响应，该方法为参数估计建立了直接优化路径，从而避免了传统全局优化算法通常所需的昂贵随机搜索。此外，研究人员还开发了两阶段辨识框架以分别辨识短期和长期极化参数，有效提升了多时间尺度电池动力学辨识的鲁棒性。该方法在LRMB电池和NCM622电池上的综合验证表明，LL-X方法在保持高精度的同时显著降低了计算成本，为分数阶电池模型的实际工程应用提供了有力支撑。