一种用于时间分数阶对流-扩散-反应方程的有限体积-完全通量格式

《Mathematics and Computers in Simulation》：A finite volume–complete flux scheme for the time fractional advection–diffusion–reaction equation

　　

林基·拉瓦特（Rinki Rawat）|B.V. 拉蒂什·库马尔（B.V. Rathish Kumar）|奇特兰詹·潘迪（Chitranjan Pandey）|J.H.M. 特恩·蒂耶·布恩坎普（J.H.M. ten Thije Boonkkamp）

摘要

为了数值求解时间分数阶对流-扩散-反应方程（TFADRE），我们提出了一种隐式有限体积全通量方案（FV-CFS）。在所提出的方案中，空间离散化是通过应用有限体积方法来完成的，其中控制体积界面的通量是通过求解适当的局部非齐次边界值问题（BVPs）来评估的；而时间分数阶导数的离散化则是基于分段线性插值使用有限差分近似的。由于通量是通过求解适当的BVPs来评估的，因此这些通量可以表示为齐次部分和非齐次部分之和。这里，齐次部分代表对流和扩散项的贡献，而非齐次部分代表控制方程中存在的各种源的影响。对一致性、稳定性和先验误差估计的分析表明，所提出的方案是条件稳定的，其时空收敛阶数为$\mathcal{O}(\Delta t^{2-\gamma }+\Delta x^2)$' role="presentation">$\mathcal{O}(\Delta t^{2?\gamma }+\Delta x^2)$，其中$\Delta x$' role="presentation">$\Delta x$ 和 $\Delta t$' role="presentation">$\Delta t$ 分别表示空间网格尺寸和时间步长。该方案通过已知解进行了验证，验证了不同$\gamma \in (0,1)$' role="presentation">$\gamma \in (0,1)$ 的时间分数阶导数阶数，通过具有已知解析解的基准问题进行数值模拟，实现了时空精度。除了与现有方案的比较外，还评估了在Péclet数和时间分数阶导数阶数等关键参数的极端值下的时空数值能力$\gamma$' role="presentation">$\gamma$，并对其物理意义进行了适当的解释。通过展示多个示例的模拟结果的成功，我们的方案为更广泛的应用开辟了可能性。