能量释放函数作为橡胶类材料闭合形式断裂判据的研究

《Mechanics of Materials》：The energy release function as a closed form fracture criterion for rubber-like materials

　　

在本项研究中，研究人员提出了一种用于预测超弹性橡胶类材料中微观固有缺陷起始扩展的判据。为此，研究人员假设存在一个客观的标量值横向各向异性变形函数，称为能量释放函数（energy release function, ERF），从该函数可以获得与特征尺寸为c的微观缺陷增量扩展相关的能量释放率值，适用于任意变形状态。

为了确定平面样品中通厚缺陷以及远场平面应力条件下体材料中硬币形缺陷的ERF，研究人员进行了大量计算机模拟，并通过回归分析解释这些虚拟试验的结果。由此获得了ERF的闭合形式表达式，能够实现J积分（J-integral）的快速计算，并适用于有限元（finite element, FE）程序的实现。

该理论应用于一种特定的氟橡胶化合物，并从带有短横向切口的试样中确定了ERF的临界值。该实验足以标定建模方法，并成功预测了具有宏观缺陷试样的灾难性破坏起始以及材料撕裂的临界I型能量。与现有理论的比较表明，新方法提供了与现有概念相似甚至更高质量的预测，同时具有与闭合形式表达相关的计算便利性。该方法坚实的计算基础以及计算效率方面的优势，可能不仅有助于本文所展示的强度预测，也有利于橡胶疲劳的建模。

橡胶类材料因其优异的大变形抗力而在汽车工业、铁路、航空、航天、能源（包括石油天然气）、农业、食品饮料设备、建筑、生产机械和机器人等极广泛的工业领域中得到应用。这类材料的典型特征是在大应变工况下具有非线性应力-应变关系，且对温度、氧气、臭氧等多种物理化学降解效应敏感，因此预测其多层面的材料响应具有挑战性，尤其是寿命行为。鉴于许多橡胶产品在复杂的真实世界工况下需满足长寿命要求，且常用于高安全性要求的应用场景，开发可靠的疲劳预测模型对确保这些产品的安全性、效率性和可持续性至关重要。

材料的机械疲劳抗力通常是决定其使用寿命的主导因素。预测橡胶机械疲劳的理论可分为裂纹萌生和裂纹扩展两大类方法。裂纹萌生方法假设材料中不存在初始裂纹，并将寿命终止与裂纹的出现相关联；而裂纹扩展方法则基于预测橡胶零件中微小且初始无关紧要的裂纹在载荷作用下扩展速率直至达到某一临界阈值的理论。后者方法强调了单个缺陷在强度计算中的重要性，对于橡胶类材料而言，这与有限应变断裂力学有着内在联系。

Griffith于1920年提出的能量释放率概念为规避该领域中应力奇异性的繁琐分析提供了途径，即Γ=?dU/da，其中dU为总势能减小量，da为裂纹表面积增量。Rivlin和Thomas于1953年提出的"撕裂能"概念是基于应变能密度（strain-energy density, SED）和当前变形状态计算能量释放率的断裂预测判据。对于单边切口简单拉伸试样，他们推导出Γ=2kWc的形式，其中c为切口长度，W为SED，k为应变相关函数。

Mars进一步发展了该概念，引入了开裂能密度（cracking energy density, CED）W_c，假设能量释放率可计算为Γ=CW_cc，其中C为标量因子，假设近似独立于变形状态但一般依赖于假定的裂纹形状，通常取C=2π。CED可通过对应于特定材料平面（其当前单位法向量为n，代表裂纹面）的应力功率进行积分来评估任意变形和应力状态下的值。该概念已 implemented in commercial fatigue simulation software，并在过去数年得到进一步综述和发展。

断裂力学中的J积分可用于计算弹性材料中任意变形和应力状态下的能量释放率。假设代表性体积单元（representative volume element, RVE）中存在特定裂纹几何，可针对不同边界条件（对应于均匀宏观变形）预先计算J积分结果。Na?t-Abdelaziz等人研究了平面RVE中的圆形缺陷，获得了k=k?(I<sub>1)作为C的第一主不变量I1函数的经验表达式。Duffe等人最近考虑了三维RVE中具有不同方向的硬币形裂纹，在位移边界条件下计算了裂纹扩展时势能的变化作为能量释放率的估计。

构型力学提供了J积分的一般化形式，Verron等人将其发展用于橡胶断裂和疲劳的建模，其中裂纹扩展预测量以有限应变下的Eshelby应力张量表述。此外，也有基于单循环耗散能量的理论被提出。

在本研究中，研究人员重新审视了能量释放率作为裂纹驱动量的作用，旨在实现其在任意变形状态下快速可靠的计算。假设裂纹特征长度c较小，可认为其被均匀变形材料包围且不与其它长度尺度相干扰，能量释放率表达为Γ=cG。此处，研究人员假设存在一种材料特定的横向各向同性函数G=G?(F,N)，称为能量释放函数（ERF），以闭合形式给出，从而对于橡胶类超弹性各向同性材料中特征尺寸为c、参考裂纹面法向为N的微观缺陷，在给定变形状态F下的能量释放率可由该式确定。对于特定几何的现有缺陷，该函数允许在generic loads下确定断裂的临界状态（即Γ=Γc），并可作为疲劳模型中的裂纹驱动量。

研究人员采用的技术方法主要包括：基于代表性体积单元的有限元模拟方法，用于确定能量释放函数的数值形式；回归分析方法，用于从虚拟试验数据中拟合闭合形式表达式；以及针对氟橡胶试样的实验表征方法，包括单边切口和中心切口试样的拉伸试验，用于模型标定和验证。样本由Angst+Pfister AG（瑞士苏黎世）提供。

在断裂判据方面，研究人员假设位于变形超弹性橡胶类材料中宏观参考位置X处的微观缺陷，通过其参考构型中面积为a、单位法向为N的断开表面、当前变形状态（通过变形梯度F(X,t)=Gradχ(X)表达）以及弹性材料性质来表征。由此假设存在材料特定函数Γ=Γ?(F(X),a(X),N(X);X)。若材料的参考构型中裂纹表面演化，必将其与参考裂纹面取向N相关联的客观、标量值函数f存在或不存在分别为基础，建立裂纹扩展的客观判据。对于客观量Γ=Γ?(F,a,N)，要求函数Γ?在任意客观变形梯度F?、F?和F?以及任意旋转Q∈SO(3)下满足特定客观性条件。通过选择F?=F、F?=1?和F?=F，并利用唯一性施加Q=Q?，可导出Γ?在变换下满足的约束条件。最终，ERF作为独立的材料特征函数被提出，表征变形状态、缺陷尺寸几何及空间取向与Γ（缺陷自相似扩展时单位面积释放的能量）之间的本构关系。

在ERF的计算确定方面，研究人员不假设该本构函数的形式，而是通过计算确定，类似于Na?t-Abdelaziz等人的方法，但更一般化。考虑一微小材料片，其单位法向量为N，围绕裂纹进行映射。若材料行为可以用超弹性势ψ(I?1,I?2,J)描述，则有限元（FE）使用中的**C10**和**D1**的一阶和第二阶，Neo-Hookean、Mooney-Rivlin和Yeoh应变能函数可以用作示例。将超弹性势ψ(I?1,I?2,J)代入相关表达式，需要将这些不变量用对应于平面法向N的值表示。

通过适当的旋转，可使问题局部化，使N与坐标轴之一对齐。对于特定的Neo-Hookean本构模型（I?1=I?2=3, J=1时为无应力状态，ψ=C10(I?1?3)+K0/2(J?1)²，第二Piola-Kirchhoff应力为S=2?ψ/?C），研究人员展示了如何计算ERF。对于平面裂纹，通过消除面外应力分量的约束条件，并结合平面应力假设（厚度方向应力为零），可以建立局部应变的函数关系。对于硬币形裂纹，采用类似方法，但需满足体积约束条件。

在实验部分，为验证所提出方法的有效性，研究人员进行了一系列实验。在将SED函数标定到特定橡胶类材料的实验数据后，研究了同一材料中具有几毫米长度中心宏观切口的试样中裂纹扩展的起始。这些切口相对于施加载荷的主方向倾斜，假设根据切口方向的不同，会引入不同的应力和应变状态。实验结果特别是发生破坏时的远场拉伸量，与基于本文理论进行的FE模拟结果进行了比较，以进行验证并与现有理论进行比较。这包括带侧向和中心切口的试样以及简单拉伸试样。

将ERF作为独立的本构函数是本研究的核心创新。ERF作为闭合形式标量场，依赖于变形状态以及缺陷的形状和方向。乘以其特征尺寸，即可提供与缺陷自相似扩展相关的能量释放率或J积分。其功能类似于CED Wc（乘以常数因子），或是依赖于CED和膨胀应变能的函数f(Wc,Wdilat)。但ERF的优势在于其闭合形式表达带来的计算效率。

在总结与结论部分，研究人员提出了允许预测橡胶类材料中固有缺陷扩展的新局部判据。关键策略和主要结果包括：假设在超弹性材料中存在能量释放函数（ERF）G，反映了预测表面法向为N的小缺陷裂纹扩展的横向各向同性本构方法；与缺陷增量扩展相关的能量释放率由Γ=cG给出，其中G=G?(F,N)是变形梯度F和参考裂纹面法向N的函数；为了确定平面样品中通厚缺陷以及远场平面应力条件下体材料中硬币形缺陷的ERF，进行了大量计算机模拟；通过回归分析解释虚拟试验结果，获得了ERF的闭合形式表达式；该理论应用于特定氟橡胶化合物，从带短横向切口的试样中确定了ERF的临界值；该实验标定了建模方法，并成功预测了具有宏观缺陷试样的灾难性破坏起始以及材料撕裂的临界I型能量。与现有技术的比较表明，该概念以相当的精度甚至更高的精度预测了断裂的临界条件，但计算工作量远低于现有技术。

研究结论指出，所提出的ERF方法为橡胶类材料的断裂和疲劳预测提供了一种计算高效且理论基础坚实的替代方案。闭合形式表达不仅便于实现，而且为将该方法整合到商业有限元软件中奠定了基础。该方法在强度预测方面的成功应用，以及其向橡胶疲劳建模的潜在扩展，展示了其在工程实践中的广阔应用前景。</sub>