模拟实时热关联函数的混合量子算法

《Digital Discovery》：Hybrid quantum algorithm for simulating real-time thermal correlation functions

　　

研究人员介绍了一种混合路径积分蒙特卡洛（hybrid Path Integral Monte Carlo, hPIMC）算法，用于计算凝聚相体系的实时量子热关联函数（thermal correlation function, TCF）。该hPIMC算法基于经典PIMC作为高维系统研究计算工具的成功经验，通过在经典计算机上精确模拟耗散过程，利用Feynman-Vernon影响泛函（influence functional）实现。此方法不依赖于变分量子算法（variational quantum algorithm, VQA），为近期量子算法设计提供了替代路径。研究人员展示，通过使用量子计算机计算量子传播子（quantum propagator）的短时矩阵元，hPIMC在具备高效系统哈密顿量预言机（oracle）的前提下，相比其经典对应方法实现了渐进量子加速。为实现hPIMC的实际应用，研究人员采用了近期发展的概率虚时演化（Probabilistic Imaginary-Time Evolution, PITE）算法来精确模拟虚时演化，并引入了一种新型低深度量子电路，该电路利用近似离散变量表示（discrete variable representation, DVR）模拟动能算符下的实时演化。研究人员通过在一台经典计算机上计算质子转移反应的位置-位置热关联函数，研究了PITE与近似DVR相结合的精度。研究人员估计，对于一维体系，使用该方法计算短时矩阵元的电路深度和CNOT（controlled-NOT）门数量级约为10⁵，空间开销为30个量子比特。

研究背景与问题：实时热关联函数（real-time thermal correlation function, TCF）是化学家解释光谱数据和理解物理体系动态行为的重要工具。然而，实时TCF的计算面临根本性困难，因为需要将研究体系在其时间演化算符（time evolution operator, TEO）下传播，而经典计算机难以精确计算这一运算。因此，精确的实时TCF计算通常仅限于低维体系。路径积分表述将TEO分解为多个短时TEO的乘积，为计算实时TCF提供了一条途径，其中Feynman-Vernon影响泛函可精确包含环境自由度的效应。经典PIMC方法在此框架下取得了显著进展，但受限于系统TEO的计算可行性，通常仅能处理最多包含几个连续自由度的低维模型。量子计算领域虽已存在多种利用多项式资源实现近似TEO演化的量子算法，但当前可用的含噪声中等规模量子（noisy intermediate-scale quantum, NISQ）计算机受到量子比特数量少和相干时间短等严格硬件限制。为此，需要开发混合量子算法，将计算任务在经典计算机和量子计算机之间合理分配。

研究开展与核心结论：研究人员提出了首个混合PIMC（hPIMC）算法，并证明在具备高效系统哈密顿量oracle的假设下，该算法对于开放量子体系实时TCF的计算具有渐进加速优势。hPIMC的核心思想是在路径积分表述中仅需要短时TEO矩阵元，利用相对浅层的量子电路计算这些矩阵元以缓解深层电路带来的误差。蒙特卡洛路径采样和接受/拒绝准则等操作在经典计算机上执行，而计算TEO矩阵元这一昂贵任务则由低深度量子电路完成。该算法设计与Layden等人近期提出的量子增强蒙特卡洛混合算法具有相似特征，均从经典蒙特卡洛方法出发构建，且不使用VQA子程序，从而避免了贫瘠高原（barren plateau）等VQA固有限制。

关键技术方法：hPIMC算法的完整实现涉及以下主要技术组件。首先，算法采用Hadamard测试作为计算短时TEO矩阵元的基本量子子程序，该测试通过重复测量辅助量子比特来估计矩阵元。其次，对于虚时演化部分，采用PITE算法进行精确模拟，该算法将虚时演化转化为对实时间演化电路的概率性实现。第三，对于实时演化部分，研究人员提出了一种基于近似DVR的新方法：将动能算符在sinc基组下展开得到DVR表示，通过截断远离主对角线的矩阵元使DVR矩阵稀疏化，再对保留的对角线进行一阶Trotter分解，将每个2-稀疏矩阵进一步分解为最多两个1-稀疏厄米矩阵之和，最终利用Aharonov-Ta-Shma的稀疏矩阵模拟方法构造量子电路。第四，针对凝聚相体系，采用Caldeira-Leggett（CL）哈密顿量描述系统-环境耦合，利用Feyman-Vernon影响泛函解析积分掉环境自由度，将问题约化到系统自由度。数值验证部分以1D对称双势阱模型模拟质子转移反应。

研究结果：

hPIMC算法形式化建立与复杂度分析。研究人员推导了经典PIMC和hPIMC计算TCF的误差来源和计算复杂度。经典PIMC的误差包括蒙特卡洛采样误差ε_MC和TEO近似误差ε_C，空间复杂度为O(P^d×P^d)，时间复杂度为O(P^3d+MN)。hPIMC的额外误差项ε_Q来自量子计算机上矩阵元的近似计算，但总空间复杂度降为O(dn)+Anc.(?)，时间复杂度为O(MNSQ(?))，其中n=log(P)。在Q(?)和Anc.(?)均为多项式缩放的假设下，hPIMC在空间和时间复杂度上均相对于经典PIMC呈现指数级优势。

开放量子体系的hPIMC适配。针对由CL哈密顿量描述的凝聚相体系，研究人员将hPIMC适配到位置空间表示。通过将环境自由度解析积分得到影响泛函I(x)，积分维度从2Nd(η+f)降至2Ndη。影响泛函同时介导了从系统到环境的耗散，抑制被积函数中的振荡相位，从而缓解动态符号问题、改善蒙特卡洛收敛性。对于有限温度下的束缚体系，TEO矩阵元的幅值随能量指数衰减，仅需采样位置空间中邻近点的矩阵元连接，进一步提升了采样效率。

量子电路的具体实现。位置空间的连续积分被离散化为有限网格点的求和，网格点通过二进制编码映射到量子计算的计算基态。Hadamard测试电路中，复时间演化算符被分解为实时和虚时两部分：虚时部分通过PITE算法实现，实时部分采用二阶Trotter分裂。PITE算法以实时间演化电路为输入，通过辅助量子比特测量成功时的条件演化实现虚时演化；由于hPIMC中τ本身很小，通常只需单次应用PITE即可。动能算符的实时演化则通过量子傅里叶变换（quantum Fourier transform, QFT）方法或对DVR的近似实现。

DVR近似方法的建立与优化。研究人员提出的DVR近似将动能算符表示为sinc基组下的稠密矩阵，通过截断远离主对角线的元素使其稀疏化。对于给定误差容限δ，需保留的对角线数量ν_max(δ)由公式确定，与粒子质量成反比。每个2-稀疏矩阵可分解为最多两个1-稀疏厄米矩阵之和，再利用块对角化方法构造量子电路，单个diag(DVR_α,ν)_σ的模拟需要O(n)辅助量子比特、O(n log(n)) CNOT门和O(n)电路深度。

数值精度验证。通过对1D质子转移模型（标准对称双势阱势）的位置-位置TCF计算，验证了各近似组件的累积误差可控性。研究发现：（a）当Trotter步数N足够大时，近似结果与精确结果吻合；N减小时，TCF振幅出现偏差但振荡频率保持准确；（b）DVR矩阵可截断至保留约12.5%的对角线而几乎不影响结果；（c）网格点参数n≥7（即128点）时可获得与精确结果不可区分的结果，n=6时仅有轻微偏差；（d）采用优化参数组合（N=40, n=6, ν_max=5）可在最小计算资源下保持合理误差。值得注意的是，混合方案——实时演化采用QFT、虚时演化采用DVR——表现优于其他组合方式，其机制有待进一步研究。

资源估计。对于1D质子转移反应，n=6个量子比特时，模拟双势阱势的电路深度和CNOT门数估计为2.96×10⁵，需24个辅助量子比特。DVR电路仅额外增加4.2×10⁴个CNOT门和3.0×10⁴的深度（以ν_max=5计）。

讨论与结论部分：研究人员指出，尽管估计算法的电路深度约为10⁵，对于当前错误率约10^?3的量子计算机而言可能因误差累积而难以直接实现，但存在多种优化策略。主要优化方向包括：采用O(n²)复杂度的替代方案模拟双势阱势（先计算x²再相位反冲）；优化DVR电路的原始组件以减少常数因子；同时优化所有diag(DVR_α,ν)算子而非分别处理以消除冗余操作；应用误差缓解方案控制Hadamard测试的噪声影响；以及探索相干振幅估计等更优误差缩放的技术。研究人员强调，hPIMC的非变分特性使其避免了VQA的贫瘠高原问题，且主要系统误差来源（Trotter化和DVR近似）均可系统控制。

该论文发表于《Digital Discovery》。研究结论指出，hPIMC算法为有迫切需求的凝聚相实时TCF精确计算提供了新的混合量子-经典途径，当前虽需进一步优化以适应NISQ设备，但其理论框架已为实现高维凝聚相体系的量子模拟奠定了基础。