韧性退化相场模型中不同疲劳退化函数在高周疲劳（high-cycle fatigue，HCF）下的分析

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Fatigue phase-field modeling: Comparison and calibration

　　

研究人员针对韧性退化相场模型（toughness-degradation phase-field model）中不同疲劳退化函数（fatigue degradation function）对高周疲劳（high-cycle fatigue，HCF）模拟的影响开展研究。摘要指出，在相场断裂框架中引入标量疲劳退化函数以表征循环载荷下断裂韧性（fracture toughness，Gc）的渐进退化，是目前高效模拟高周疲劳裂纹演化的重要思路。已有研究中不同退化函数的形式差异会导致预测的S–N曲线、裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子幅ΔK关系出现明显偏差，且模型参数（如阈值能量变量αT、Paris幂n、函数内参m、κ、ξ等）对寿命及退化行为的影响规律尚缺乏系统化比较。研究人员采用包络载荷（envelope-load）疲劳历史累积规则与循环跳跃（cycle-jump）数值策略，在Felino代码（基于MOOSE有限元框架）中实现五种典型退化函数（Carrara渐近型F1、Carrara对数型F2、Sele?渐近能量型F3、Sele?有限寿命能量型F4、修正Sele?对数能量型F5）的系统性对比。通过对狗骨（dogbone）试样高周疲劳寿命模拟与紧凑拉伸（compact tension，CT）试样裂纹扩展模拟，结合实验测得的S–N数据（Basquin关系Sa=A Nf?b）与da/dN–ΔK数据（Paris律da/dN=C (ΔK)n），评估不同退化函数及参数对预测精度的影响。结果表明，退化函数形式主导S–N曲线斜率的灵活性，其中F1（Carrara渐近型，含指数m）可稳定调节斜率且连续光滑；αT主要平移S–N曲线而对斜率影响甚微；Paris幂n取自CT实验并固定输入；包络载荷下循环跳跃上限取ΔNmax≤Nf/50（即ΔN/Nf≤0.02）可在精度与效率间取得稳健平衡；F2因过快退化致寿命偏短，F3/F4/F5具特定渐近或有截断特性。该研究为韧性退化相场模型（toughness-degradation phase-field model）中疲劳退化函数（fatigue degradation function）的选择与参数标定提供了量化依据。

该研究发表于《International Journal of Mechanical Sciences》（国际机械科学学报）。研究背景方面，高周疲劳（high-cycle fatigue，HCF）是机械结构（如合金部件）在低于屈服强度的循环载荷下经10⁵以上循环发生失效的主要机制，传统经验模型（如Basquin关系、Paris律）难以描述复杂几何与多轴状态下的裂纹萌生与扩展的连续演化；相场断裂模型（phase-field fracture model）虽能自然捕捉裂纹路径而无须附加准则，但静态模型无法直接描述循环载荷下的疲劳退化效应。已有韧性退化相场框架通过在断裂韧性（fracture toughness，G_c）前引入标量疲劳退化函数f(α)（α为疲劳历史变量），将循环耗能或应变能累积映射为韧性衰减，从而高效模拟高周疲劳寿命与裂纹扩展。然而不同文献提出的退化函数形式（Carrara型、Sele?型等）及其内部参数对预测S–N曲线斜率、寿命绝对值及d_a/d_N–ΔK行为的影响尚未系统化量化，且数值策略（如循环跳跃步长ΔN、包络载荷累积规则）对精度与效率的权衡也需明确，因此研究人员开展此项研究以厘清上述问题，为模型标定提供准则。

关键技术方法上，研究人员采用三类核心手段：其一为疲劳相场建模框架，基于AT2正则化相场模型，总能量密度ψ(ε,d,?d;α)=g(d)ψ_e⁺(ε)+ψ_e^?(ε)+f(α)G_cγ(d,?d)，其中退化函数f(α)取五类形式（F1–F5），疲劳历史变量α按包络载荷规则每循环更新：Ψ?=2E ε_max²[(1+R)/2]²[(1?R)/2]ⁿ，α_N+1=α_N+Ψ?_N+1，R=ε_min/ε_max为应变比，n为Paris幂取自CT实验；其二为数值实现与效率控制，在基于MOOSE框架的自研Felino代码中采用交错求解（staggered scheme），相场正则化长度?=1 mm，狗骨网格最小尺寸0.25 mm并自适应细化，循环跳跃ΔN按ΔN_max≤N_f/50控制，阈值能量α_T按α_T=G_c/(6?)（AT2推导）再乘实际放大系数α_T^Actual=k·α_T设定；其三为实验校准数据集，包含三种材料（时效18Ni300、增材制造态18Ni300、AISI 1045）的狗骨高周疲劳S–N实验（R=0.1，共振系统，频率降判定失效N_f，Basquin拟合）与紧凑拉伸（CT）试样疲劳裂纹扩展实验（R=0.1，ASTM E647标准，七点增量多项式求d_a/d_N，Paris律拟合得n与C），所有材料参数（E、ν、G_c、σ_y、α_T、n）均列于表中。

研究结果如下：

2.1.2节包络载荷疲劳累积规则：研究人员采用循环域包络载荷策略，以峰值应变ε_max与应变比R构造每循环有效能量Ψ?，避免逐周循环求解，其中R=ε_min/ε_max，n为材料Paris幂；疲劳历史α_N+1=α_N+Ψ?_N+1，该规则保留R效应并可嵌入多循环跳跃ΔN。

2.1.3节疲劳退化函数具体形式：研究人员归纳两类函数——Carrara型：F1渐近f_C,asym(α)=1（α≤α_T）或[2α_T/(α+α_T)]^m（α>α_T），F2对数f_C,log(α)=1（α≤α_T）或[1?κ log₁₀(α/α_T)]²（α_T< />< />_T·10^1/κ）及0（≥）；Sele?型：F3渐近f_S,1(α)=[α_T/(α+α_T)]²，F4有限寿命f_S,2(α)=[1?α/α_T]²（0≤α≤α_T）及0（>），F5修正对数f_S,3(α)=1（α≤α_T）或1?[ξ log₁₀(α_T/α)]²（α_T< />< />_T·10^1/ξ）及0（≥），所有函数满足f(0)=1，lim_α→∞f(α)=0，df/dα≤0。

2.2节Felino中相场疲劳公式：研究人员在Felino内实现总能量ψ=g(d)ψ_e⁺+ψ_e^?+f(α)G_cγ(d,?d)，累积用包络规则，退化取F1–F5；α_T按AT2取G_c/(6?)，也可乘系数；G_c与?通过σ_c=(9/16)√(E G_c/(3?))关联，常取σ_c≈4σ_y；材料参数（E、ν、G_c、α_T、n）由实验标定列于表2、3。

3.1节狗骨高周疲劳实验：研究人员对三种材料加工狗骨试样，在R=0.1共振系统做恒幅高周疲劳试验，以频率显著下降定义失效N_f，数据按Basquin S_a=A N_f^?b拟合（R²：时效18Ni300 0.603、增材18Ni300 0.271、AISI 1045 0.803），作为相位场标定基准。

3.2节CT裂纹扩展实验：研究人员制备CT试样（R=0.1），用柔度法与光学测量联合获取a–N，按ASTM E647七点增量多项式求d_a/d_N，ΔK按标准公式计算，数据按Paris d_a/d_N=C(ΔK)ⁿ拟合提取n与C，供相场n输入。

4.1节狗骨相位场模型参数描述：研究人员建狗骨几何（图6），边界为上端加F_max、下端固定，网格自适应（图7），?=1 mm（≈4×最小尺寸0.25 mm）；疲劳寿命N_f^sim取最大相场d_max首达1的循环数；循环跳跃ΔN影响研究表明ΔN/N_f≤0.02（即ΔN_max≤N_f/50）时寿命偏差<1%且加速约1数量级（表4、5，图8），故采纳此准则；F1（m=2）与α_T^Actual=8α_T做参数扫描基础。

4.2节不同退化函数对S–N曲线的影响：研究人员固定其余参数，对比F1–F5的S–N曲线（图9），发现退化越陡（如F2）寿命越短，F1连续光滑且可通过m稳定调节斜率，F3渐近衰减类似F1但无阈值平台，F4截断致有限寿命，F5对数在α>α_T弱衰减、长尾截断；内部参数影响为F1的m与F2的κ明显改变S–N斜率（图10a,b,d,e），F5的ξ主要移长尾截断而对中低α衰减与斜率影响小（图10c,f）；因此F1更适合需灵活调斜率且连续退化的S–N标定。

4.3节模型参数对S–N曲线的影响：研究人员变动α_T、G_c、n发现α_T与n主要平移S–N曲线（右移长寿命）而对斜率影响极小，G_c对斜率影响很弱（附录图B.1–B.5）；退化函数内参（如F1的m、F2的κ）才主要控制斜率；据此给出标定顺序：先固定n取自CT实验，选F1并定m调斜率，再用α_T（或α_T^Actual系数）平移曲线匹配寿命绝对值，G_c按AT2与σ_c≈4σ_y设定（表6）。

5节（文中为sec5引用未展开全文，据摘要与上下文）CT裂纹扩展模拟：研究人员用相同框架做CT试样相位场模拟，对比d_a/d_N–ΔK曲线与实验Paris行为，发现F1可复现中间Paris幂段，截断型（F4）过早归零致偏离，包络载荷累积能合理预测扩展率；循环跳跃ΔN需更小（因关注连续a–N而非单N_f）但未给出统一ΔN/N_f准则。

讨论部分总结：研究人员指出韧性退化相场模型（toughness-degradation phase-field model）中疲劳退化函数（fatigue degradation function）形式的选择是决定S–N斜率灵活性与连续退化行为的关键，F1（Carrara渐近型）因光滑连续且含可调指数m，最适宜S–N标定；阈值α_T与Paris幂n仅平移寿命曲线而不改斜率，宜分别用α_T系数与CT实验固定n；包络载荷下循环跳跃准则ΔN/N_f≤0.02兼顾精度与效率；G_c可按AT2与σ_c≈4σ_y设定。对于裂纹扩展模拟，相同退化函数可复现Paris律中段，但需注意ΔN选取更严。结论翻译：研究人员得出结论——在韧性退化相场模型（toughness-degradation phase-field model）中，不同疲劳退化函数（fatigue degradation function）对高周疲劳（high-cycle fatigue，HCF）寿命预测及裂纹扩展行为有关键影响；Carrara渐近型F1因连续光滑且可通过指数m稳定调节S–N曲线斜率，是最稳健的标定选择；阈值能量α_T与Paris幂n主要来自材料本征（α_T=G_c/(6?)，n由CT实验Paris律提取并固定，二者仅平移S–N曲线；包络载荷累积规则与循环跳跃ΔN≤N_f/50（ΔN/N_f≤0.02）在狗骨寿命模拟中可实现偏差<1%且加速约十倍；G_c与正则化?通过σ_c=(9/16)√(E G_c/(3?))关联，常取σ_c≈4σ_y；该系统化参数—函数映射准则可为高周疲劳相位场模拟的标定提供量化依据。